【全程复习方略】2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 3.3 解三角形的综合问题教学ppt课件

1、1第三讲解三角形的综合问题2【主干知识主干知识】1.1.必记公式必记公式(1)(1)正弦定理正弦定理定理定理变形公式变形公式变形变形1 1变形变形2 2_=2R_=2R(2R(2R为为ABCABC外接圆的直径外接圆的直径) )a=_a=_b=_b=_c=_c=_重要结论重要结论:abc=sinAsinBsinC:abc=sinAsinBsinCabcsin Asin B sin C2RsinA2RsinA2RsinB2RsinB2RsinC2RsinCasin A2Rbsin B2Rcsin C2R3(2)(2)余弦定理余弦定理定理定理推论推论a a2 2=_=_b b2 2=_=_c c2

2、2=_=_ cosA= cosA= cosB=_ cosB=_ cosC=_ cosC=_ b b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAa a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosBa a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC222bca2bc222acb2ac222abc2ab（3 3）面积公式）面积公式S SABCABC bcsin Abcsin A_=_._=_.121acsin B21absin C2abc4R42.2.易错提醒易错提醒(1)(1)忽视解的多种情况忽视解的多种情况如已知如已知a,ba,b和和A,A,应先用正弦定理求应先用正弦定理求

3、B,B,由由A+B+C=A+B+C=，求，求C C，再由正弦定理或余弦，再由正弦定理或余弦定理求边定理求边c c，但解可能有多种情况，但解可能有多种情况. .（2 2）忽略角的范围）忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值（范围）时，要注意角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值（范围）时，要注意角的范围. .（3 3）忽视解的实际意义）忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合. .5【考题回顾考题回顾】1.(20141.(2014台州模拟）在台州模拟）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C对应的边分别对应的

4、边分别为为a,b,ca,b,c，若，若A=120A=120,a=2,b= ,a=2,b= ,则则B=( )B=( )【解析解析】选选D.D.由于由于A=120A=120为钝角，所以只有一解为钝角，所以只有一解. .由正弦定由正弦定理得：理得：2 3355A.B.C.D.36666或22 31sin B,B.sin 1203sin B26所以62.2.（20142014绍兴模拟）在绍兴模拟）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c，向量，向量m=(a,b),=(a,b),n=(cos A,-cos B)=(cos A,-cos B)，若，若

5、mn，则，则ABCABC的形状为（的形状为（ ）A.A.等腰三角形等腰三角形 B.B.直角三角形直角三角形C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形7【解析解析】选选D.D.因为因为mn，所以所以acos A-bcos B=0,acos A-bcos B=0,由正弦定理得由正弦定理得sin Acos A-sin Bcos B=0,sin Acos A-sin Bcos B=0,所以所以sin 2A=sin 2B,sin 2A=sin 2B,所以所以2A=2B2A=2B或或2A+2B=2A+2B=，所以所以A=BA=B或或A+B=A+B=所以三角形

6、所以三角形ABCABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形. .2，83.3.（20142014杭州模拟）在杭州模拟）在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别的对边分别是是a,b,ca,b,c，若，若b b2 2-c-c2 2= ac,sin A=2 sin C,= ac,sin A=2 sin C,则则B=B=（ ）A.30A.30 B.60 B.60 C.120 C.120 D.150 D.150【解析解析】选选A.A.将将sin A=2 sin C,sin A=2 sin C,利用正弦定理化简得利用正弦定理化简得a=a=2 c,2 c,代入代入b b2

7、2-c-c2 2= ac,= ac,得得b b2 2-c-c2 2=6c=6c2 2，即，即b b2 2=7c=7c2 2，整理得，整理得b=b= 所以所以cos B=cos B=333337c,2222222acb12cc7c3,B 30 .2ac24 3c则94.4.（20142014湖北高考）在湖北高考）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别所对的边分别为为a a，b b，c.c.已知已知A= A= ，a=1a=1，b= b= ，则，则B=_.B=_.【解析解析】依题意，由正弦定理知依题意，由正弦定理知由于由于0B0B，所以，所以B=B=答案：答案： 6133sin

8、 B.sin B2sin6，得出2.33或233或3105.5.（20142014北京高考）在北京高考）在ABCABC中，中，a=1a=1，b=2b=2，cos C= cos C= ，则则c=_c=_；sin A=_.sin A=_.14【解析解析】由余弦定理得由余弦定理得cos C=cos C=又又a=1,b=2,cos C= ,a=1,b=2,cos C= ,代入得代入得c=2,c=2,而而sin C=sin C=由正弦定理得由正弦定理得答案：答案：222abc2ab，14221151 cos C1 ( ),44ac15,sin A.sin Asin C8解得152 8116.6.（201

9、42014衢州模拟）在某海滨城市衢州模拟）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市风中心位于城市O O（如图）的东偏南（如图）的东偏南(cos = )(cos = )方向方向300 km300 km的海面的海面P P处，并以处，并以20 km/h20 km/h的速度向西偏北的速度向西偏北4545方向移动，台风侵袭的范围为方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为圆形区域，当前半径为60 km60 km，并以，并以10 km/h10 km/h的速度不断增大，则的速度不断增大，则_小时后，该城市开始受到台风的侵袭，小时后，该城市开始受到台风的侵

10、袭，受到台风侵袭的时间有受到台风侵袭的时间有_小时小时. .21012【解析解析】设在时刻设在时刻t(h)t(h)台风中心为台风中心为Q Q，此时台风侵袭的圆形区，此时台风侵袭的圆形区域半径为域半径为10t+60(km)10t+60(km)，若在时刻，若在时刻t t城市城市O O受到台风的侵袭，则：受到台风的侵袭，则：OQ10t+60.OQ10t+60.由条件知：由条件知：cosOPQ=cos(-45cosOPQ=cos(-45)=cos cos 45)=cos cos 45+sin sin 45+sin sin 45= = 由余弦定理知：由余弦定理知：OQOQ2 2=(20t)=(20t)2

11、 2+300+3002 2- -2 220t20t300300 =20 =202 2t t2 2-9 600t+300-9 600t+3002 2, ,故故20202 2t t2 2-9 600t+300-9 600t+3002 2(10t+60)(10t+60)2 2,t,t2 2-36t+2880,12t24,-36t+2880,12t24,所以所以1212小时后该城市开始受到台风的袭击，受到台风侵袭的时间小时后该城市开始受到台风的袭击，受到台风侵袭的时间有有1212小时小时. .答案：答案：12 1212 122222241.10210254513热点考向一热点考向一 正、余弦定理在解三

12、角形及定形中的应用正、余弦定理在解三角形及定形中的应用 【考情快报考情快报】难度难度: :基础题、中档题基础题、中档题命题指数命题指数: :题型题型: :选择题、填空题、解答题选择题、填空题、解答题考查方式考查方式: :主要考查利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算主要考查利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算, ,三角形形状三角形形状的判定以及有关范围的计算的判定以及有关范围的计算, ,常与三角恒等变换综合考查常与三角恒等变换综合考查14【典题典题1 1】(1)(2013(1)(2013陕西高考陕西高考) )设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,

13、c,a,b,c,若若bcosC+ccosB=asinA,bcosC+ccosB=asinA,则则ABCABC的形状为的形状为( () )A.A.直角三角形直角三角形 B.B.锐角三角形锐角三角形C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.不确定不确定15(2)(2)（20142014衢州模拟）在衢州模拟）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别所对的边分别为为a,b,ca,b,c，满足，满足b b2 2+c+c2 2-a-a2 2=bc, =bc, 则则b+cb+c的取值范的取值范围是围是_._.(3)(3)已知已知ABCABC的三个内角的三个内角A A，B B，C C所对的边分

14、别为所对的边分别为a,b,ca,b,c，且且求角求角A A的大小的大小; ;若若a= ,cos B= ,a= ,cos B= ,求求ABCABC的面积的面积. .3ABBC 0,a,2 2B C74sincos 2A.2233516【信息联想信息联想】(1)(1)看到看到bcosC+ccosB=asinA,bcosC+ccosB=asinA,想到想到_._.(2)(2)看到看到b b2 2+c+c2 2-a-a2 2=bc,=bc,想到想到_._.(3)(3)看到看到ABCABC的面积的面积, ,想到想到_._.用正弦定理用正弦定理将边角关系转化为三角函数关系将边角关系转化为三角函数关系余弦定

15、理余弦定理三角形的面积公式三角形的面积公式17【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.因为因为bcosC+ccosB=asinA,bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinsinBcosC+sinCcosB=sin2 2A,A,所以所以sin(B+C)=sinsin(B+C)=sin2 2A,sinA=sinA,sinA=sin2 2A,A,sinA=1,sinA=1,所以三角形所以三角形ABCABC是直角三角形是直角三角形. .18（2 2）由）由b b2 2+c+c2 2-a-a2 2=bc=bc结合余弦定理，结合余弦

16、定理， 0 0得得B B为钝角，故为钝角，故A+CA+C ,0,0C C , ,由正弦定理由正弦定理可知：可知：b+c=2R(sin B+sin C)=sin B+sin C=b+c=2R(sin B+sin C)=sin B+sin C=答案：答案：3a2A,2R13sin A32得，ABBC 262sin(C) sin C3sin(C),363 30 C,b c (, ).62 2 因为 所以3 3(, )2 219(3)(3)由由4sin4sin2 2 -cos 2A=-cos 2A=得得4sin4sin2 2 -(2cos -(2cos2 2A-1)=A-1)=即即cos A= ,co

17、s A= ,因为因为0 0A A,所以所以A=60A=60. .B C27,2A27.22222A71 cos A74cos2cos A 142cos A 1,2cos A 10,2222 得1220由由cos B= ,cos B= ,得得sin B= ,sin B= ,由正弦定理由正弦定理sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=所以所以ABCABC的面积的面积S=S=354543abasin B85,b.sin Asin Bsin A532得3 3 1 43 3 4.25 2 510

18、118 3 3 48 3 18absin C3.2251025 21【互动探究互动探究】题题(1)(1)中条件变为中条件变为“(a(a2 2+b+b2 2)sin(A-B)sin(A-B)=(a=(a2 2-b-b2 2)sin(A+B)sin(A+B)”, ,则则ABCABC的形状如何的形状如何? ?【解析解析】方法一方法一: :由已知由已知(a(a2 2+b+b2 2)sin(A-B)sin(A-B)=(a=(a2 2-b-b2 2)sin(A+B),)sin(A+B),得得a a2 2sin(A-B)-sin(A+B)sin(A-B)-sin(A+B)=b=b2 2-sin(A+B)-s

19、in(A-B),-sin(A+B)-sin(A-B),所以所以2a2a2 2cosAsinB=2bcosAsinB=2b2 2cosBsinA.cosBsinA.由正弦定理得由正弦定理得sinsin2 2AcosAsinB=sinAcosAsinB=sin2 2BcosBsinA,BcosBsinA,即即sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.22因为因为0A,0B,0A,0B,所以所以sin2A=sin2B,sin2A=sin2B,所以所以2A=2B2A=2B或或2A=-2B,2A=-2B,即即A=BA=B或或A+B=

20、.A+B= .所以所以ABCABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形. .方法二方法二: :同方法一可得同方法一可得2a2a2 2cosAsinB=2bcosAsinB=2b2 2cosBsinA,cosBsinA,由正、余弦定理得由正、余弦定理得 所以所以a a2 2(b(b2 2+c+c2 2-a-a2 2)=b)=b2 2(a(a2 2+c+c2 2-b-b2 2),),即即(a(a2 2-b-b2 2)(c)(c2 2-a-a2 2-b-b2 2)=0.)=0.所以所以a=ba=b或或c c2 2=a=a2 2+b+b2 2, ,所以所以ABCABC是等腰三角形或直角三角

21、形是等腰三角形或直角三角形. .222222222bcaacba bb a.2bc2ac23【规律方法规律方法】1.1.解三角形常见类型及解法解三角形常见类型及解法在三角形的六个元素中要知三个在三角形的六个元素中要知三个( (除三角外除三角外) )才能求解才能求解, ,常见类型及其解法见常见类型及其解法见下表下表: :已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法一边和二角一边和二角( (如如a,B,C)a,B,C)正弦定理正弦定理由由A+B+C=180A+B+C=180, ,求角求角A;A;由正弦定理由正弦定理求出求出b b与与c;Sc;S= acsinB,= acsinB,在有解时在有解

22、时只有一解只有一解 两边和夹角两边和夹角( (如如a,b,C)a,b,C)余弦定理余弦定理由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c;c;由正弦定理由正弦定理求出一边所对的角求出一边所对的角, ,再由再由A+B+CA+B+C=180=180求出另一角求出另一角.S.S= absinC,= absinC,在有解在有解时只有一解时只有一解 121224已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法三边三边(a,b,c)(a,b,c)余弦定理余弦定理由余弦定理求出角由余弦定理求出角A,B,A,B,再利用再利用A+BA+B+C=180+C=180求出角求出角C.SC.S= absinC,= absinC

23、,在有解时在有解时只有一解只有一解 两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角( (如如a,b,A)a,b,A)正弦定理正弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B:B:由由A+B+C=A+B+C=180180求出角求出角C;C;再利用正弦定理求再利用正弦定理求出出c c边边.S.S= absinC,= absinC,可有两解、一解或无可有两解、一解或无解解 1212252.2.确定三角形的形状主要的途径及方法确定三角形的形状主要的途径及方法途径一途径一: :化边为角化边为角途径二途径二: :化角为边化角为边主主要要方方法法(1)(1)通过正弦定理实现边角互化通过正弦定理实现边角互化(2)(2)通

24、过余弦定理实现边角互化通过余弦定理实现边角互化(3)(3)通过三角变换找出角之间的关系通过三角变换找出角之间的关系(4)(4)通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界性判断三角形形状性判断三角形形状26【变式训练变式训练】1.(20141.(2014江西高考江西高考) )在在ABCABC中，内角中，内角A,B,CA,B,C所对所对的边分别是的边分别是a,b,ca,b,c，若，若c c2 2=(a-b)=(a-b)2 2+6,C= +6,C= 则则ABCABC的面积为的面积为 ( )( ),393A.3 B.3 C.3 D.3 32227【解析解析】选选C

25、.C.由已知得由已知得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2ab+6-2ab+6，而余弦定理中而余弦定理中c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcos C-2abcos C，故故-2abcos C=-2ab+6-2abcos C=-2ab+6，即即-ab=-2ab+6-ab=-2ab+6，得，得ab=6ab=6，所以所以ABCABC的面积为的面积为1133 3absin C6.2222 282.2.已知已知ABCABC的周长为的周长为 +1+1，且，且sin A+sin B= sin C.sin A+sin B= sin C.(1)(1)求边求边ABAB的长的长. .(2)(2

26、)若若ABCABC的面积为的面积为 sin C,sin C,求角求角C.C.221629【解析解析】（1 1）由题意及正弦定理得：）由题意及正弦定理得：AB+BC+AC= +1,BC+AC= ABAB+BC+AC= +1,BC+AC= AB，两式相减得两式相减得AB=1.AB=1.(2)(2)由由S SABCABC= BC= BCACACsin C= sin Csin C= sin C，得得BCBCAC= ,AC= ,由余弦定理得，由余弦定理得，cos C=cos C=121613222ACBCAB2ACBC22AC BC2ACBC AB1,C0,2ACBC2C.3又所以2230【加固训练加固

27、训练】（20132013西城模拟）在西城模拟）在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c.c.已知已知（1 1）求）求 的值的值. .（2 2）若）若cos B= cos B= ，b=2,b=2,求求ABCABC的面积的面积. .cos A 2cos C2c a.cos Bbsin Csin A1431【解析解析】（1 1）由正弦定理得）由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,所以所以即即sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos

28、 B-sin Acos B,sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B,即有即有sin(A+B)=2sin(B+C),sin(A+B)=2sin(B+C),即即sin C=2sin A,sin C=2sin A,所以所以cos A 2cos C2c a2sin C sin A,cos Bbsin Bsin C2.sin A32（2 2）由（）由（1 1）知）知: =2,: =2,即即c=2a.c=2a.又因为又因为b=2,b=2,所以由余弦定理得：所以由余弦定理得：b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2accos B,-2accos B,即

29、即2 22 2=4a=4a2 2+a+a2 2-2a-2a2a2a , ,解得解得a=1(a=1(负值舍去负值舍去),),所以所以c=2.c=2.又因为又因为cos B= cos B= ，所以，所以sin B=sin B=故故ABCABC的面积为的面积为csin Casin A1414154，111515acsin B1 2.2244 33热点考向二热点考向二 正、余弦定理的实际应用正、余弦定理的实际应用 【考情快报考情快报】难度难度: :中档题中档题命题指数命题指数: :题型题型: :以解答题为主以解答题为主考查方式考查方式: :主要考查利用正、余弦定理解决一些现实生活中航海主要考查利用正、

30、余弦定理解决一些现实生活中航海( (空空) )测量、测量、设计问题设计问题, ,体现知识的应用能力体现知识的应用能力34【典题典题2 2】(2014(2014浙江高考浙江高考) )如图如图, ,某人在垂直于水平地面某人在垂直于水平地面ABCABC的墙面前的点的墙面前的点A A处进行射击训练处进行射击训练. .已知点已知点A A到墙面的距离为到墙面的距离为AB,AB,某目标点某目标点P P沿墙面的射击线沿墙面的射击线CMCM移动移动, ,此人为了准确瞄准目标点此人为了准确瞄准目标点P,P,需计算由点需计算由点A A观察点观察点P P的仰角的仰角的大小的大小( (仰仰角角为直线为直线APAP与平面

31、与平面ABCABC所成的角所成的角).).若若AB=15m,AC=25m,BCM=30AB=15m,AC=25m,BCM=30, ,则则tantan的最大值是的最大值是( () )3530304 35 3A.B.C.D.5109936【信息联想信息联想】看到题中所给图象及看到题中所给图象及tantan的最大值的最大值, ,想到构造三角形想到构造三角形, ,利用勾利用勾股定理求出边长股定理求出边长, ,进而转换为函数问题求解进而转换为函数问题求解. .37【规范解答规范解答】选选C.C.由勾股定理可得，由勾股定理可得，BC=20 mBC=20 m，过，过P P作作PPBCPPBC，交，交BCBC

32、于于PP，连接连接APAP，如图，则，如图，则tan =tan =设设BP=xBP=x，则，则CP=20CP=20 x x，由由BCM=30BCM=30得，得，PP=CPtan 30PP=CPtan 30= (20= (20 x).x).在在RtRtABPABP中，中，AP=AP=PPAP，3322215x225 x ，3822223(20 x)20 x320 x3tan. y3225 x225 x225 x20 xy0,20225 x4 3x 0 tan .9故令，则函数在上单调递减，故时取得最大值，最大值为39【规律方法规律方法】应用正、余弦定理解决实际问题的步骤及流程应用正、余弦定理解决

33、实际问题的步骤及流程(1)(1)解题步骤解题步骤读题读题. .分析题意分析题意, ,准确理解题意准确理解题意, ,分清已知与所求分清已知与所求, ,尤其要理解题中的有关名尤其要理解题中的有关名词、术语词、术语, ,如坡度、仰角、俯角、方位角等如坡度、仰角、俯角、方位角等; ;图解图解. .根据题意画出示意图根据题意画出示意图, ,并将已知条件在图形中标出并将已知条件在图形中标出; ;建模建模. .将所求解的问题归结到一个或几个三角形中将所求解的问题归结到一个或几个三角形中, ,通过合理运用正弦定理、通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解余弦定理等有关知识正确求解; ;验证验证. .检

34、验解出的结果是否具有实际意义检验解出的结果是否具有实际意义, ,对结果进行取舍对结果进行取舍, ,得出正确答案得出正确答案. .40(2)(2)思维流程思维流程41【变式训练变式训练】1.1.如图如图, ,在某灾区的搜救现场在某灾区的搜救现场, ,一条搜救犬从一条搜救犬从A A点出发沿正北方点出发沿正北方向行进向行进xmxm到达到达B B处发现生命迹象处发现生命迹象, ,然后向右转然后向右转105105, ,行进行进10m10m到达到达C C处发现另一处发现另一生命迹象生命迹象, ,这时它向右转这时它向右转135135回到出发点回到出发点, ,那么那么x=x=m.m.42【解析解析】由题图可知

35、，由题图可知，ABABx x，ABCABC1801801051057575，BCABCA1801801351354545. .因为因为BCBC1010，BACBAC180180757545456060，答案：答案：x1010sin 4510 6x.sin 45sin 60sin 603所以，解得 10 63432.2.（20142014烟台模拟）如图，某广场中间有一块扇形状绿地烟台模拟）如图，某广场中间有一块扇形状绿地OABOAB，其中，其中O O为扇形所在圆的圆心，为扇形所在圆的圆心，AOB=60AOB=60，广场管理部，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在门欲在绿地上修建观光小路：在 上

36、选一点上选一点C C，过，过C C修建与修建与OBOB平行的小路平行的小路CDCD，与，与OAOA平行的小路平行的小路CECE，问，问C C应选在何处，才能使得修建的道路应选在何处，才能使得修建的道路CDCD与与CECE的总长最大，并说明理由的总长最大，并说明理由. .AB44【解析解析】由题意知由题意知, ,四边形四边形ODCEODCE是平行四边形是平行四边形. .因为因为AOB=60AOB=60, ,所以所以ODC=120ODC=120. .连接连接OC,OC,设设OC=r,OD=x,OE=y,OC=r,OD=x,OE=y,则则CE=x,CD=y.CE=x,CD=y.在在ODCODC中中,

37、 ,由余弦定理由余弦定理, ,得得OCOC2 2=OD=OD2 2+DC+DC2 2-2OD-2ODDCcos120DCcos120, ,即即r r2 2=x=x2 2+y+y2 2+xy.+xy.45所以所以(x+y)(x+y)2 2=r=r2 2+xyr+xyr2 2+ +解得解得x+y ,x+y ,当且仅当当且仅当x=y= rx=y= r时取等号时取等号, ,所以所以x+yx+y的最大值为的最大值为 , ,此时此时C C为为 的中点的中点, ,即点即点C C应选在应选在 的中点处，才能使得修建的道路总长最大的中点处，才能使得修建的道路总长最大. .2x y() .22 3r3332 3r

38、3ABAB46【加固训练加固训练】1.(20141.(2014北京模拟北京模拟) )如图如图, ,A,CA,C两岛之间有一片暗礁两岛之间有一片暗礁, ,一艘小船于某日上午一艘小船于某日上午8 8时时从从A A岛出发岛出发, ,以以1010海里海里/ /小时的速度小时的速度, ,沿北偏东沿北偏东7575方向直线航行方向直线航行, ,下午下午1 1时到达时到达B B处处. .然后以同样的速度然后以同样的速度, ,沿北偏东沿北偏东1515方向直线航行方向直线航行, ,下午下午4 4时到达时到达C C岛岛. .(1)(1)求求A,CA,C两岛之间的直线距离两岛之间的直线距离. .(2)(2)求求BAC

39、BAC的正弦值的正弦值. .47【解析解析】(1)(1)在在ABCABC中中, ,由已知由已知,AB=10,AB=105=50(5=50(海里海里),),BC=10BC=103=30(3=30(海里海里),),ABC=180ABC=180-75-75+15+15=120=120. .据余弦定理据余弦定理, ,得得ACAC2 2=50=502 2+30+302 2-2-250503030cos120cos120=4900,=4900,所以所以AC=70(AC=70(海里海里).).故故A,CA,C两岛之间的直线距离是两岛之间的直线距离是7070海里海里. .48 BCAC2ABC,sin BAC

40、sin ABCBCsin ABC30sin 1203 3sin BAC.AC70143 3BAC.14在中，据正弦定理，得所以故的正弦值是492.(20132.(2013江苏高考江苏高考) )如图如图, ,游客从某旅游景区的景点游客从某旅游景区的景点A A处下山至处下山至C C处有两种路径处有两种路径. .一种是从一种是从A A沿直线步行到沿直线步行到C,C,另一种是先从另一种是先从A A沿索沿索道乘缆车到道乘缆车到B,B,然后从然后从B B沿直线步行到沿直线步行到C.C.现有甲、乙两位游客从现有甲、乙两位游客从A A处下山处下山, ,甲沿甲沿ACAC匀速步行匀速步行, ,速度为速度为50m/

41、min.50m/min.在甲出发在甲出发2min2min后后, ,乙乙从从A A乘缆车到乘缆车到B,B,在在B B处停留处停留1min1min后后, ,再从再从B B匀速步行到匀速步行到C.C.假设缆车假设缆车匀速直线运动的速度为匀速直线运动的速度为130m/min,130m/min,山路山路ACAC长为长为1260m,1260m,经测量经测量, ,cosA= ,cosC= .cosA= ,cosC= .12133550(1)(1)求索道求索道ABAB的长的长. .(2)(2)问问: :乙出发多少分钟后乙出发多少分钟后, ,乙在缆车上与甲的距离最短乙在缆车上与甲的距离最短? ?(3)(3)为使

42、两位游客在为使两位游客在C C处互相等待的时间不超过处互相等待的时间不超过3 3分钟分钟, ,乙步行的速度应控制在乙步行的速度应控制在什么范围内什么范围内? ?51【解析解析】（1 1）在）在ABCABC中，因为中，因为cos A= ,cos C= ,cos A= ,cos C= ,所以所以sin A= ,sin C= .sin A= ,sin C= .从而从而sin B=sinsin B=sin-(A+C)-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=1 040(m).=1 040(m).所以索道所以

43、索道ABAB的长为的长为1 040 m.1 040 m.1213355134553 12 463.13 5 13 565ABACAC1 260 4ABsin C63sin Csin Bsin B565 由正弦定理得52(2)(2)假设乙出发假设乙出发t t分钟后，甲、乙两游客距离为分钟后，甲、乙两游客距离为d,d,此时，甲行此时，甲行走了走了(100+50t)m(100+50t)m，乙距离，乙距离A A处处130t m130t m，所以由余弦定理得，所以由余弦定理得d d2 2=(100+50t)=(100+50t)2 2+(130t)+(130t)2 2-2-2130t130t(100+50

44、t)(100+50t)=200(37t=200(37t2 2-70t+50),-70t+50),因因0t ,0t ,即即0t8,0t8,故当故当t= (min)t= (min)时，甲、乙两游客距离最短时，甲、乙两游客距离最短. .12131 040130353753(3)(3)由正弦定理由正弦定理乙从乙从B B出发时，甲已走了出发时，甲已走了5050(2+8+1)=550(m)(2+8+1)=550(m)，还需走，还需走710 m710 m才能到达才能到达C.C.设乙步行的速度为设乙步行的速度为v m/minv m/min，由题意得，由题意得-3-3所以为使两位游客在所以为使两位游客在C C处

45、互相等待的时间不超过处互相等待的时间不超过3 3分钟，乙步分钟，乙步行的速度应控制在行的速度应控制在 （单位：（单位：m/min)m/min)范围内范围内. . BCACAC1 2605,BCsin A500 m .63sin Asin Bsin B1365得500 7101 2506253v,v504314 ，解得1 250 625,431454热点考向三热点考向三 正、余弦定理与三角函数、正、余弦定理与三角函数、 平面向量的交汇问题平面向量的交汇问题 【考情快报考情快报】高频考向高频考向多维探究多维探究难度难度: :中档中档命题指数命题指数: :题型题型: :以解答题为主以解答题为主考查方

46、式考查方式: :主要考查正、余弦定理及三角函数的图象、性质与平面向量的综主要考查正、余弦定理及三角函数的图象、性质与平面向量的综合应用合应用, ,体现在知识交汇点命题的思想体现在知识交汇点命题的思想55命题角度一命题角度一 与三角函数的综合与三角函数的综合【典题典题3 3】（20142014温州模拟）设温州模拟）设R,f(x)=cos x(sin xR,f(x)=cos x(sin x-cos x)+cos-cos x)+cos2 2( -x)( -x)满足满足f(- )=f(0).f(- )=f(0).(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的对称轴和单调递减区间的对称轴和单调递减区间. .

47、(2)(2)设设ABCABC三内角三内角A A，B B，C C所对边分别为所对边分别为a,b,ca,b,c且且求求f(x)f(x)在在(0,A(0,A上的值域上的值域. .23cos Aa,cos Bb 2c56【现场答案现场答案】57【纠错析因纠错析因】找出以上现场答案的错误之处，分析原因并给出正确答案找出以上现场答案的错误之处，分析原因并给出正确答案. .提示：以上解析中在（提示：以上解析中在（1 1）处的两个结果中均忽视了）处的两个结果中均忽视了kZkZ的条的条件；在（件；在（2 2）处由）处由x(0, )x(0, )求求f(x)f(x)范围时对范围时对2x- 2x- 的范围认定不准确导

48、致的范围认定不准确导致f(x)f(x)的范围求错的范围求错. .23658【规范解答规范解答】（1 1）f(x)=sin xcos x-cosf(x)=sin xcos x-cos2 2x+sinx+sin2 2x=x= sin 2x-cos 2x, sin 2x-cos 2x,因为因为f(- )=f(0),f(- )=f(0),所以所以=2 ,=2 ,所以所以f(x)=2sin(2x- )f(x)=2sin(2x- )，对称轴为：，对称轴为：x= (kZ),x= (kZ),所以所以f(x)=2sin(2x- )f(x)=2sin(2x- )的单调递减区间为的单调递减区间为12336k2365

49、k,k k Z .3659(2)(2)因为因为 由正弦定理得由正弦定理得可变形为：可变形为：sin(A+B)=-2cos Asin C,sin(A+B)=-2cos Asin C,所以所以cos A=- ,cos A=- ,又又0 0A A,所以所以A= ,A= ,所以所以x(0, x(0, ，2x- (- , ,2x- (- , ,所以所求值域为所以所求值域为-1,2-1,2. .cos Aa,cos Bb 2ccos Asin Acos Bsin B 2sin C，122323667660命题角度二命题角度二 与平面向量的综合与平面向量的综合【典题典题4 4】（1 1）（）（2014201

50、4成都模拟）成都模拟）ABCABC的三内角的三内角A A，B B，C C所对边的长分别为所对边的长分别为a,b,c,a,b,c,设向量设向量p=(sin B,a+c),=(sin B,a+c),q=(sin C-=(sin C-sin A,b-a).sin A,b-a).若若RR，使，使p=q，则角，则角C C的大小为（的大小为（ ）(2)(2)（20142014宜春模拟）已知在宜春模拟）已知在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对边的对边长分别为长分别为a,b,ca,b,c，已知向量，已知向量m=(sin A+sin C,sin B-sin A),=(sin A+sin C,si

51、n B-sin A),n=(sin A-sin C,sin B),=(sin A-sin C,sin B),且且mn. .求角求角C C的大小的大小; ;若若a a2 2=b=b2 2+ c+ c2 2，试求，试求sin(A-B)sin(A-B)的值的值. .2A.B.C.D.63321261【信息联想信息联想】(1)(1)看到看到p=q, ,想到想到_,_,进而想到进而想到_._.(2)(2)看到看到mn, ,想到想到_,_,进而想到进而想到_._.pq, ,即即(b-a)sinB-(a+c)(b-a)sinB-(a+c)(sinC-sinA)=0(sinC-sinA)=0正、余弦定理正、余

52、弦定理mn=0=0正、余弦定理正、余弦定理62【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.因为因为R,R,使使p=q, ,所以所以pq, ,所以有所以有(b-a)sinB-(a+c)(sinC-sinA)=0,(b-a)sinB-(a+c)(sinC-sinA)=0,由正弦定理得由正弦定理得:b:b2 2-ab-c-ab-c2 2+a+a2 2=0,=0,cosC= .cosC= .又又C(0,),C(0,),所以所以C= .C= .222abc12ab2363(2)(2)由题意得由题意得: :mn=(sin=(sin2 2A-sinA-sin2 2C)+(sinC)+(sin2 2B-sin

53、AsinB)=0,B-sinAsinB)=0,即即sinsin2 2C=sinC=sin2 2A+sinA+sin2 2B-sinAsinB,B-sinAsinB,由正弦定理得由正弦定理得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-ab,-ab,再由余弦定理得再由余弦定理得cosC= ,cosC= ,因为因为0C,0Ccac，已知，已知 =2=2，cos B=cos B=b=3b=3，求：（，求：（1 1）a a和和c c的值的值. .（2 2）cos(B-C)cos(B-C)的值的值. .BABC 13，69【解析解析】（1 1）由）由 =2=2，cos B= cos B= 得得 =cacos

54、 B=2=cacos B=2，所以所以ac=6ac=6；又由；又由b=3b=3及余弦定理得及余弦定理得b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos B-2accos B，所以所以a a2 2+c+c2 2=13=13，结合，结合acac，解得，解得a=3,c=2.a=3,c=2.（2 2）由）由a=3,b=3,c=2a=3,b=3,c=2得得cos C=cos C=BABC 13BABC 222abc72ab9 ，224 2sin C1 cos C912 2cos Bsin B1 cos B;cos B C331 72 2 4 223cos Bcos C sin BsinC.3 93

55、927 ，由得所以702.2.（20142014绍兴模拟）已知向量绍兴模拟）已知向量m=(2sin x,1),=(2sin x,1),n=( cos x,=( cos x,2cos2cos2 2x)x)，函数，函数f(x)=f(x)=mn-t.-t.(1)(1)若方程若方程f(x)=0f(x)=0在在x0, x0, 上有解，求上有解，求t t的取值范围的取值范围. .(2)(2)在在ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分别是分别是A A，B B，C C所对的边，当所对的边，当(1)(1)中的中的t t取最大值且取最大值且f(A)=-1,b+c=2f(A)=-1,b+c=2时，求时，求a a

56、的最小值的最小值. .3271【解析解析】(1)f(x)=2sin(2x+ )+1-t,(1)f(x)=2sin(2x+ )+1-t,f(x)=0f(x)=0，即，即2sin(2x+ )+1=t,2sin(2x+ )+1=t,当当x0, x0, 时，时，2x+ 2x+ sin(2x+ )- ,1sin(2x+ )- ,12sin(2x+ )+12sin(2x+ )+10,30,3, ,所以所以0t3.0t3.(2)(2)由（由（1 1）知）知t=3,t=3,所以所以f(x)=2sin(2x+ )-2,f(x)=2sin(2x+ )-2,f(A)=-1f(A)=-1A= ,A= ,a a2 2=

57、b=b2 2+c+c2 2-2bccos A=b-2bccos A=b2 2+c+c2 2-bc=(b+c)-bc=(b+c)2 2-3bc=4-3bc-3bc=4-3bc4- =4-3=14- =4-3=1a1a1a aminmin=1.=1.66267 ,6 66126632b c3()272【加固训练加固训练】(2014(2014郑州模拟）已知向量郑州模拟）已知向量m=(sin x,-1)=(sin x,-1)，向量向量n=( cos x,- )=( cos x,- )，函数，函数f(x)=(f(x)=(m+ +n)m. .(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期T.T.

58、(2)(2)已知已知a,b,ca,b,c分别为分别为ABCABC内角内角A A，B B，C C的对边，的对边，A A为锐角，为锐角，a=2 ,c=4,a=2 ,c=4,且且f(A)f(A)恰是恰是f(x)f(x)在在0, 0, 上的最大值，求上的最大值，求A A和和b.b.3122373【解析解析】(1)f(x)=(1)f(x)=(m+ +n) )m=sin=sin2 2x+1+ sin xcos x+x+1+ sin xcos x+(2)(2)由由(1)(1)知：知：f(x)=sin(2x- )+2,x0, f(x)=sin(2x- )+2,x0, 时，时，- 2x- 2x- ,- ,所以当

59、所以当2x- = 2x- = 时时,f(x),f(x)取得最大值取得最大值3 3，此时，此时x=x=所以由所以由f(A)=3f(A)=3得得A= A= 由余弦定理，得由余弦定理，得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos A-2bccos A，所以所以12=b12=b2 2+16-2+16-24b4b , ,所以所以b=2. b=2. 3121 cos 2x31311sin 2xsin 2xcos 2x 2222222sin(2x) 2,T.62 所以626656623，3，1274建模思想建模思想解决与三角形相关的实际问题解决与三角形相关的实际问题【思想诠释思想诠释】解决与三角形相关的实际问题中应用建模思想的常见类型解决与三角形相关的实际问题中应用建模思想的常见类型1.1.与测量有关的山高、堤坝、土地面积与测量有关的山高、堤坝、土地面积: :求解时求解时, ,运用所学的解三角形知识运用所学的解三角形知识, ,构建可解的三角形模型构建可解的三角形模型