八年级数学上册6.5《一次函数与二元一次方程》用二元一次方程组确定一次函数表达式例题与讲解素材(

1、 用二元一次方程组确定一次函数表达式 基础知识鹉車技麓 _ 罷 1 m j - z ir I s J f ii j f Ji I - J i F N f； 1二元一次方程与一次函数的关系 若k, b表示常数且k0,则y kx = b为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得 y =kx + b,将x, y看作自变量、因变量，则 y = kx + b是一次函数.事实上，以方 程y kx =b的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y = kx+ b的图象相同.2 1 3 由，得y = - 2x_ 2* 在同一直角坐标系内作出一次函数 y= x 3 的图象11和一次函数 y= 2x 弓的图象 3利用二元

2、一次方程组确定一次函数的表达式 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从数”的角度 看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从 “形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标因此一次函数与二元一次方 程组有密切联系. 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下: (1) 写出函数表达式：一次函数 y = kx + b; (2) 把已知条件代入，得到关于 k, b的方程组; 解方程组，求出k, b的值，写出其表达式. 【例 3】 已知一次函数 y = ax + 2 与y = kx + b的图象 如图所示，且 方程组 分析：根

3、据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点 A的坐标，再代入表 达式，求出字母a, k, b的值. ax y = 2, 解：方程组 kx y = b 12,如图所示观察图象，得 故方程组 x-y = 3, + 2y ax y = 2, i kx y = b x = 2, 的解为I iy = i 点B坐标为(0， 1) 你能确定两个一次函数的表达式 吗？ 的解是x= 2, 的解为y = 2. 3 交点A的坐标为(2,1) 点A在函数y= ax + 2 的图象上，2a + 2= 1. 1 a=- 2. 点A（2,1），点B（0，- 1）在函数y = kx + b图象上， 2k+ b= 1,

4、b=- 1. Z|k =1, 解得 b=- 1. 1 两个一次函数的表达式为 y=於+ 2, y= x 1. 析规律方程组的解与交点坐标 方程组的解就是两个一次函数图象的交点的坐标. 基本方法培祜fig力 用n m :TH、-二 - ： - ： - - - - 4用待定系数法求一次函数的表达式 用待定系数法求一次函数的表达式的方法可归纳为“一设，二列 ，三解，四还原”. 具体的说明如下： 一设：设出一次函数表达式的一般形式 y = kx+ b（ kz 0）； 二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于 k, b的二元一次方程组； 三解：解这个方程组，求出 k, b的值； 四还原：将已求

5、得的 k, b的值再代入y= kx+ b（kz0）中，从而得到所要求的一次函数 的表达式. 确定二元一次方程（组）中字母的取值，是一类常见的题目，解这类问题的基本方法是 利用方程（组）的有关知识，得到含有字母系数的方程 （组），然后解这个方程（组），求出待 定字母. 析规律求与坐标轴的交点坐标 解答这 类问题要切记，函数图象与 x轴的交点的纵坐标是 0，函数图象与y轴的交点的 横坐标是 0. 【例 4】 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印 数不少于5 000 册时，投入的成本与印数间的相应数据如下： 印数x（册） 5 000 8 000 10 000 15 00

6、0 成本y（元） 28 500 36 000 41 000 53 500 （1） 经过对上表中数据的探究，发现这种读4 物的投入成本 y（元）是印数x（册）的一次函 数，求这个一 次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （2） 如果出版社投入成本 48 000 元，那么能印该读物多 少册？解：(1)设所求一次函数的解析式为 y= kx + b(kz0), 5 f5 000 k+ b= 28 500 , 由题意，得 I 000 k+ b= 36 000. 解得 2， b= 16 000. 所以所求的函数关系式为 y = 5x + 16 000. 5 将y= 48 000 代入y= qx +

7、16 000 中，得 48 000 = 5x+ 16 000. 解得 x= 12 800. 所以能印该读物 12 800 册. 思维拓展创新应川 5利用数形结合法理解二元一次方程组解的三种情况 (1) - 方程组有唯 组 解：即方程组中的两个二元一次方程有唯一公共解，如方程组 线，只有一个交点. (2) 方程组无解：即方程组中的两个二元一次方程没有公共解，如方程组 x+ y= 5, 1 无解，这类方程组也叫做矛盾方程组.函数 y= 5 x和y=二(5 3x)的图象 3x + 3y= 5 3 是两条平行直线，无交点. (3) 方程组有无数组解：即方程组中的两个二元一次方程有无数个解，如方程组 x

8、+ y= 2, 1 有无数组解.函数 y= 2 x和y=：(4 2x)的图象是同一条直线. 2x + 2y=4 2 【例 5】 如图表示两辆汽车行驶路程与时间的关系 (汽车B在汽车A后出发)，试回答 下列问题： (1) 图中丨1,丨2分别表示哪一辆汽车的路程与时间的关系？ (2) 写出汽车A和汽车B的路程与时间的函数关系式，汽车 A和汽车B的速度各是多少？ (3) 图中交点是什么意思？x y= 3, : x+ y= 5 x = 4, 有唯 - 组解彳 y = 1. 函数y = x 3 和y = 5 x的图象是两条相交的直 6 (3) 汽车A出发 3 h(或汽车B出发 1 h)两车相遇，此时两车

9、行驶路程都是 100 km.【例 1】(1)方程x+ y= 5 的解有多少个？写出其中的几个. (2) 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y= 5 x的图象上 吗？ (3) 在一次函数y = 5 x的图象上任取一点，它的坐标适合 x + y= 5 吗？ 以方程x + y=5 的解为坐标的所有点所组成的图象与一次函数 y= 5 x的图象相同 吗？ 分析：方程x+ y=5 的解有无数个，以这些解为坐标的点组成的图象与一次函数 y = 5 x的图象相同，二者是相同的. 解：有无数个. x = 1, x= 2, x = 3, x= 0, y = 4； |y= 3； y = *

10、1 2 3 ； y= 5. (2) 以这些解为坐标的点，都在一次函数 y = 5 x的图象上. (3) 适合. 相同. 2.用图象法求二元一次方程组的近似解 分析：图中丨1,丨2表示的是一次函数的图象由图象可知，直线 11经过点(0,0)和 (3,100)，直线1 2经过点(2,0)和(3,100)，由待定系数法求表达式. 解：(1) 11表示A车的路程与时间的关系，12表示B车的路程与时间的关系. 汽车A的函数关系式是s =罟上, 汽车B的函数关系式是 s= 100t 200; 汽车A的速度是 100 km/h，汽车B的速度是 100 km/h. 7 用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤： (1) 先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式： y1= k1X + b1和y2= k?x + b2； (2) 建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；