八年级数学上册13.3等腰三角形利用等腰三角形的“三线合一”性质解题素材(新版)华东师大版

1、利用等腰三角形的“三线合一”性质解题 我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合， “三线合一” 等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用， 现举例说明 一、证明线段相等 例 1 1 如图 1 1，在 ABC中，AB= AC BD= CD DEL AB于点 E, DF1 AC于点 F. .求证：DE =DF 分析 由于 DEL AB DF! AC 所以要证明 DE= DF只要证明点 D是/ BAC的平分线上 的点，于是连结 AD而由AB= AC BD= CD即可证明AD是/ BAC的平分线. . 证明 连结AD因为AB= AC BD= CD所以AD是等腰三

2、角形底边 BC上的中线，即 AD 又是顶角的平分线. . 又因为DEL AB DF丄AC所以DE= DF 二、证明两条线垂直 例 2 2 如图 2 2 , AB= AE, / B=Z E, BC ED CF= DF 求证：AF丄 CD 分析 由已知条件 AB= AE / B=Z E, BC= ED显然只要连结 AC AD则厶ABCA AED 于是AC= AD而CF= DF,则由等腰三角形的“三线合一”性质即可证明 AFL CD 证明 连结 AC AD 因为 AB= AE / B=Z E, BC= ED 所以 ABCA AED( SAS , 所以AC= AD 三、证明角的倍半关系 1 例 3 3

3、 如图 3 3, ABC中 , AB= AC BDL AC交 AC于 D.求证：/ DBC=/ BAC 2 1 分析 要证明/ DBC= - / BAC只要作出/ BAC的平分线,然后利用等腰三角形的“三 2 线合一”性质即可证明被称做为 所以AF也是CD边上的高， 即 AFL CD A A A A B B E E E E - - F F VJVJ D/D/ B B D D C C C C D D 图 1 1 图 2 2 又因为CF= DF所以AF是等腰三角形底边 CD的中线, E E 图3 3 证明 作/ BAC的平分线 AE因为 AB= AC,所以由等腰三角形的“三线合一”可知 AEL B

4、C 又因为 BDL AC 所以/ ADB= 9090，而/ BFE=Z AFD 所以/ DBC=Z CAE 1 故/ DBC=丄 / BAC 2 四、证明线段的倍半关系 例 4 4 如图 4 4 ,已知等腰 RtRt ABC中，AB= AC / BAC= 9090, BF 平分/ ABC CDL BD 交BF的延长线于 D.求证：BF= 2 2CD 分析 由BF平分/ ABC CDL BD可想到等腰三角形的“三线合一”性质， 于是延长线 BA CD交于点E,于是 BCE是等腰三角形，并有 ED= CD余下来的问题只需证明 BF= CE 而事实上，由/ BAC= 9090 , CDL BD /

5、AFB=Z DFC 得/ ABF=Z DCF 而 AB= AC 所以 ABFA ACE贝U BF= CE从而问题获解 证明 延长线BA CD交于点E.因为BF平分/ ABC CDL BD所以可得 BC= BE DE= DC 又因为/ BAC= 9090, / AFB=Z DFC 所以可得/ ABF=Z DCF 又 AB= AC / BAF=Z CAE 所以 ABFA ACE(SAS ,即 BF= CE 故 BF= 2 2CD 五、证明一个角是直角 例 5 5 如图 5 5, ABC中 , / ACB= 2 2/ B, BC= 2 2AC 求证：/ A= 9090. 分析 要证明/ A= 909

6、0,可构造出直角，然后使/ A与之相等. .由于条件中有两个倍半 的关系，因此首先考虑对/ ACB= 2 2/ B和BC= 2 2AC进行技术处理，可先作倍角的平分线和 BC 边上的垂线，这样利用等腰三角形的“三线合一”性质和全等三角形的知识即可解决问题 . . 1 证明 作CD平分/ ACB交AB于D,过D作DEL BC交BC于 E,则/ ACD=Z BCD=丄/ ACB 2 / DEC= 9090 C C 图 5 5 D E D E 图6 6 1 因为/ ACB= 2 2/ B,所以/ B= B= _ _ / ACB=Z BCD 即卩 DB= DC 2 又DEL BC所以DE是BC边上的中

7、线，即 E是BC的中点，所以 BC= 2 2CE 又因为BC= 2 2AC所以AC= CE 所以 ACD ECD(SAS,所以/ 心/ DEC= 9090. 六、证明线段的和差关系 例 6 6 如图 6 6，在 ABC中, ADL BC于 D,且/ ABC= 2 2/ C 求证：CD= AB-BD 分析 要证明CD= ABBD可以A为圆心，AB长为半径画弧交 CD于点E,连结AE趁 下来的问题只要能证明 DE= DBCE= AE即可，而由已知条件结合等腰三角形的“三线合一” 性质和等腰三角形顶角的外角与底角的关系即证 证明 以A为圆心，AB长为半径画弧交 CD于点E,连结AE则AE= AB,即/ AEB=Z ABC 因为ADL BC,所以AD是BE