常用坐标系之间的关系与转换

1、7.5常用坐标系之间的关系与转换'、大地坐标系和空间大地直角坐标系及其关系大地坐标系用大地纬度企丈地经度 L和丈地髙H来表示点的位置°这种坐标系是经 典大 地测量甬:両用座标紊7屜据地图投影的理论,大地坐标系可以通过一定的投影转 化为投影平面 上的直角坐标系，为地形测图和工程测量提供控制基础。同时，这种坐标系还是研究地球形状和大小的种有用坐标系。所以大地坐标系在大地测量中始终有着重要的作用.空间大地直角坐标系是-种以地球质心为原点购亘墮？坐标系，一般用 X、化Z表 示点 BSSTSTT逐碇SS範菇飞両H绕禎扭转冻其轨道平面随时通过地球质心。对它们的跟踪观测也以地球质心为坐标原

2、点，所以空间大地直角坐标系是卫星 大地测量中一种常用的基本坐标系。 现今，利用卫星大地测量的手段 *可以迅速地测定点的空间大地直角坐拯，广泛应用于导航定位等空间技术。同时经过数学变换，还可求岀点的大地坐标I用以加强和扩展地面大地网，进行岛屿和洲际联测，使传统的大地测量方法发生了深刻的变化，所以空间大地宜角坐标系对现今大地测量的发展具有重要的意义。如图7- 23所示尸点的位置用空间大地 直角坐标X, Y, Z)表示，其相应 的大地坐 标为(E, L)a将该图与图？ 一 5 加以比较可见，图7-5中的子午椭圆平面 相当于图7-23中的OJVP平面.其中 PPz=Z.相 当于图7-5中的j7； OP

3、3相当丫于图7-5中的 仏两平面的经度乙可视为相同，等于"叽于是可以直接写岀 X=jrcQsi f Y二jrsinL, Z=y将式(7-21).式(7-20)分别代入上式,井考虑 式(7-26)得bb 7-23X=NcosAcosZr ”Y= NcQsBsi nL >(7 78)Z=N (1 护si nA ；上式表明了 2种基本坐标系之间的关系。、大地坐标系和空间大地直角坐标系的转换1.由大地坐标求空间大地直角坐标当已知椭球面上任一点 P的大地坐标(B, L)时，可以按式(7-78)直接求该点的 空间大地 直角坐标(X, Y, Z)。如果P点不恰好位于椭球面，例如位于大地高为H

4、的H点处，此时由大地坐标求空间大地直角坐标的公式则为(N+H) cosBcosL(N 十 H) cosBsinL、(779)N (1 e2) +刃sinBJ2由空间大地直角坐标求大地坐标当已知X、y、Z反求B、L、H时，可以采用直接解法或迭代解法。由公式(7-79)第、二两式得X=y=z=L=arctan §(7-80)利用上式可直接由空间大地直角坐标X、Y求出大地经度厶。为了求岀B和H,还应对公式作些变化，以适应迭代计算的需要。由公式(7-79)第一、三式得(N 十 H) ZcosL?a =(1_e2)式中，cos厶仍由式(7-79)得出cos. (n+h)cosB yy2_|_y

5、2代入前式B=arctan VXaY2(7-81)又由式(7-79)得H =7 : N(7-82)cosB式(7-81).式(7-82)就是求3、H的迭代公式。迭代开始时设NQ = QHo=+ W+Z2_ 应2Bo=arcta n2 2vx2ay2随后，每次迭代按下列公式进行N V 1 , sin 叨一cosB厂宜至b-B和Hi-H 小于要求的限值为止。一般，在要求H精确至0.001m、占精确 至0.0000/时，需要迭代 4 次。图 724、不同空间大地直角坐标系的换算利用“GPS定位所获取的点位属于空间大地直弟坐标系。可是由于各国所采用的参考椭球及其定位不同，参考椭球中心也不和地球质心重合

6、，所以世界上存在着各不相同的空 间大地直角坐标系。为了将 “GPS定位成果转换成各自需用的成果，就出现了不同空间大 地 直角坐标系的换算。这在 “ GPS定位的数据处理中，应用十分广泛.在高等数学的解析几何里，曾经论证了二维直角坐标系中，当坐标轴旋转角度。时(图7-24),用 旧系坐标表示新系坐标的公式为>(7-33)丁弄=日 sma-FAia costfj在三维空间直角坐标系中，新、旧两坐标系的变换需要在3个坐标平面上，分别通过3次转轴才能完 成。如图7-25所示.2个空间大地直角坐标系和0 心Yirr Z e，它们的原点一致，但相应的坐标轴互不平行，存在微小差异。按以下步骤进行转轴可

7、以将 0 心丫旧乙日转换成0-X新第一*保持0Z时轴不动，绕其将 OX" ox日轴錠转微小角度殳，旋转后的坐标轴设为图725则有X* XA cose.+Yjg sinefY1 = X| 日 sin?十 F 旧 coses<7-84)ZT日第二，保持OF轴不动，绕其将OZJOX,轴旋转微小角度旋转后的坐标轴设为 0X"、则有X"= X，cos? Z'sinYr=r(7-85)Z"=X'sin Y+Z'cos&Y,第三，保持OX"轴不动，绕其将0严、OZ"轴旋转微小角度匕，旋转后的坐标轴设为 OX*、

8、OY祈、OZ輪,则有XA=Xn *=y"coss+Z"sin x£(7-86)= 一 y"sinEx+Z"cos&x这样，将O X旧Y旧Z旧分别绕3个坐标轴旋转了 3个微小角度竝、弘5,使其和O 天新丫新Z新重合。£、£ 丫、£称为欧勒角。将式(7 84)代入式(7 85),再代入式(7 86),由于馭、£ 丫、£乙是秒级微小量，略 去其正弦、余弦函数展开式中 2次及以上各项，得Xgj =X| 日+£疔旧r £Z日y.y h zX b+?xZ|32新=2旧十£

9、;丫乂旧一5 丫旧当新、旧2个坐标系的原点不相一致时，还需根据坐标轴的平移原理，将旧系原点移至新系原点，其变化公式为X新=Xo+X|日+£疔口一£丫乙日(7-87)式中，X。、y。、Z。称为3个平移参数，是旧坐标系原点在新坐标系中的 3个坐标分量。若再考虑两个坐标系的尺度比例也不一致，即存在有尺度变化的参数，设为虹则有(788)Xgf=Xo+ (1+ 上)Xia+?YiB &Z(.日 丫新=丫。+ (1+ “ 丫旧一叨八+谄旧Zjfi=Zo+ (1+ &) Zig+CyAS -?xY|o .上式即为布尔莎公式。公式中存在 7个参数：3个平移参数X。、丫。和Z

10、。，3个旋 转参 数昭为、切1个尺度变化参数虹习惯上称这种换算法为七参数法。七参数法除布尔莎 公式外，还有莫洛琴斯基公式和范士公式等。由公式(7-88)可知，由一个坐标系换算成另一个坐标系，必须知道其转换参数。转 换 参数可以通过联测一些公共点获得，因为通过公共点联测，可以得到这些公共点在新、IB 2 个坐标系中的坐标值，于是就可以利用公式(7-88)求出转换参数。当公共点数较多时，观测 方程式个数就大丁所求参数个数，这时还可根据测董平差原理列立观测值的误差方程式,组成并解算法方程，求得转换参数。四、不同大地坐标系的换算地面点在椭球面上的位置，是由一定元素和定位的椭球所规定的.如果选择的椭球元

11、 素和定位发生变化，地面点在椭球面上的大地坐标必将随之变化？根据椭球元素和定位的变化推求点的大地经纬度和大地高变化的公式，叫做大地坐标微分公式，它是不同大地坐标换算的基础，下面首先来推导大地坐标微分公式。由公式（7-79）可以看出，点的空间大地直角坐标是椭球几何元素 （用长半径和扁 率产表 示）和椭球定位元素（吕、L、H）的函数口当椭球元素和定位结果发生了变化时，点 的空间大地 直角坐标必然发生变化*取式（7-79）的全微分，即dX器也+訓/?+報盼報"爲刃=凱+%“十爲心需肌+翥dH卜（7-89）辽=飘碍+篇d£J+等血+篇dH考虑到dN d r, j > NdN

12、37Vde 3 f找、丄 M .石=厉石二厉卫（1 一代曲一刃石 -r）2匚严历需=磊復 tl-ehin2B）3 "sinBcosB则根据式（7-79）可以求出3X二 AcosBcosL= -cosBcosL3入da aoU寻=AcosBcosL= yAjcosBcosLs in 2BcosBcosL (N+H) sin cdsZ= (M+H) sinBcosL3X dL=(N+H) cosBs inLdH=cosBcosL将以上5式代入式（7-89）第1式得dX=NcosB(aos 厶虫 +McosBcos 厶 sin?" 7A7 (M+Zps/nBcosLdB (N+H

13、) cosBsinLd +cbsBcosLd/l同理dy二NcosBsinL 4-A/cosBsinLsin 2B 7八7 (M+H) sinBsin 厶 dB> (7-90)> (7-91)a1 j+ (M+H) cosBcosLdL+cosBsinLdHdZ=N (1 e2) sinB M (l+coszBa2s in 2B) sinB 县：a- 1 J+ (M+H) cosBdB+s in BdH若以dH、dB、d厶为未知数解算以上 3式，则得dH二cosBcosLdX+cosBsi nLdY+si nBdZ N (1 A2sin2B)乎+M (l-e2si n2B) sin

14、 2BdB=肚*芳一 sinBcosLdX sinBsinLdy-4-cosBdZ+WsinBcosB 乎+M (2- ? siiM) sinBcosB 筲dL= xt rj (secBsin dX+secBcosLdy) h+H式中，血、”表示椭球元素(长半径、扁率)的变化；dx、収、dz表示楠球中心的变化,即椭球 定位的变化。因此，式(7-91)就是由于椭球元素和定位变化引起点的大地坐标变化的公式，亦即大地坐标微分公式。将上式代入下式，即得不同大地坐标系的换算公式力新二厶旧+d 厶BA=BA+dB (7-92)日新=H旧+dH :当考虑欧勒角和尺度变化参数时，可将式 (7-88)写成如下形

15、式dX=X新一/=&+宓旧+莎旧一翻旧dK=ym 一丫旧=人+羽旧rzXm +翻旧dZ=Zfr %=Zo+ Z 旧 +&X 旧一 “ Y日上式等号右端的X旧、Zi3用式(7-79)等号右端的函数代入后，再将上式代入式 (7 91),经过整理可得广义大地坐标的微分公式,2(i二cosBcosLX o+cosBsinjLy a+sinBZo-Ve2sinBcosBsinZxx+N/si nBcosBcosL?y+N (1 (1 /sirfB) sin 2Be;in2B) kN (1 e2sin2B) +MdaadB= 十 (sinBcos 厶 X° sinBsinZyo+cosBZo)sin Lex M 十 HN 24-cosLeyAe2s in BcosBA+N/sinBcosB 屯+M (2 护 sin'B) sinBcosBd