主析取范式的求法ppt课件

1、1 第一章 命题逻辑第七讲第七讲2 定义定义 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式对于给定的命题公式，如果有一个等价公式仅由小项的析取所组成，则该等价式称为原式的仅由小项的析取所组成，则该等价式称为原式的主析主析取范式。取范式。内容回顾内容回顾小项小项 定义 n个命题变元的合取式，称为布尔合个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。存在，但两者必须出现且仅出现一次。3 每个小项可用每个小项可用n位二进制编码表示。以变元自身出现位二进制编码表示。以变元自身出现的用的用1 表示，以其否定出现的用

2、表示，以其否定出现的用0表示：表示： 小项的性质如下：小项的性质如下： （1）每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为）每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为1，其余的其余的2n1种均为种均为0; （2）任意两个不同小项的合取式永假：）任意两个不同小项的合取式永假： （3）全体小项的析取式永为真，记为：）全体小项的析取式永为真，记为：. , , , , , , , 111011110010101100001000rqpmrqpmrqpmrqpmrqpmrqpmrqpmrqpm )( 0 jimmji 1 1-2101-20nniimmmm4主析取范式的求法主析取范式的求法 真值表法真

3、值表法 等值演算法等值演算法5趣味推理题趣味推理题 A、B、C三人去餐馆吃饭，他们每人要的不是火三人去餐馆吃饭，他们每人要的不是火腿就是猪排。腿就是猪排。 （1）如果）如果A要的是火腿，那么要的是火腿，那么B要的就是猪排。要的就是猪排。 （2）A或或C要的是火腿，但是不会两人都要火腿。要的是火腿，但是不会两人都要火腿。 （3）B和和C不会两人都要猪排。不会两人都要猪排。 谁昨天要的是火腿，今天要的是猪排？谁昨天要的是火腿，今天要的是猪排？ 只有B才能昨天要火腿，今天要猪排。 6154 主合取范式主合取范式定义定义1- n个命题变元的析取式，称为布尔析取个命题变元的析取式，称为布尔析取或极大项，

4、其中每个变元与它的否定不能同时或极大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。存在，但两者必须出现且仅出现一次。7例如，例如，2 2个命题变元个命题变元p p和和Q Q 的大项为：的大项为：3 3个命题变元个命题变元p p、Q Q、R R的大项为：的大项为： n n个命题变元共有个命题变元共有2 2n n个大项，每个大项可表示为个大项，每个大项可表示为n n位二进制编码，以变元自身出现的用位二进制编码，以变元自身出现的用0 0表示，以变元的否表示，以变元的否定出现的用定出现的用1 1表示；且对应十进制编码。这一点与小项的表示；且对应十进制编码。这一点与小项的表示刚好相

5、反。表示刚好相反。 若若n n= 2= 2，则有，则有qpqpqpqp ，rqprqprqprqprqprqprqprqp ， 311210201000MqpMMqpMMqpMMqpM 8若若n= 3，则有，则有:大项的性质如下：大项的性质如下： (1)每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为0，其余的其余的2n1种赋值均为种赋值均为1; (2)任意两个不同大项的析取式永真：任意两个不同大项的析取式永真： (3)全体大项的合取式必为假，记为：全体大项的合取式必为假，记为：71113011611020105101110040010000 MrqpM

6、MrqpMMrqpMMrqpMMrqpMMrqpMMrqpMMrqpM )( jiMMji 1021020 1 -1 - nniiMMMM9定义定义1- 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式仅由极大对于给定的命题公式，如果有一个等价公式仅由极大项的合取所组成，则该等价式称为原式的主合取范式。项的合取所组成，则该等价式称为原式的主合取范式。定理定理1- （主合取范式存在惟一定理）任何命题公式的主合（主合取范式存在惟一定理）任何命题公式的主合取范式一定存在，并且惟一。取范式一定存在，并且惟一。 由真值表方法可由真值表方法可知知：一个公式的真值为：一个公式的真值为0的真值指派所的真值指派所对应的大

7、项的合取，即为此公式的主合取范式。对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式。例例1- 用真值表方法求用真值表方法求 的主合取范式的主合取范式解解: 公式的真值表如下公式的真值表如下rqp )(P Q R PQ R(pQ)R0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 010所以公式所以公式 的主合取范式为的主合取范式为:用等值演算方法构成主合取范式的主要步骤如下：用等值演算方法构成主合取范式的主要步骤如下：（1）将原命题公式化归为合取范式；）将原命题公式化归为合取范式

8、；（2）除去合取范式中所有永真的合取项；）除去合取范式中所有永真的合取项；（3）合并相同的析取项和相同的变元；）合并相同的析取项和相同的变元；（4）对合取项补入没有出现的命题变元，即添加）对合取项补入没有出现的命题变元，即添加如如(pp) ) 的式子，再按分配律进行演算；的式子，再按分配律进行演算；（5）将大项按下标由小到大的顺序排列。）将大项按下标由小到大的顺序排列。rqp )(111011001)(MMMrqp )()()(rqprqprqp 11例例1- 用等值演算方法求用等值演算方法求 的主合取范式。的主合取范式。解：解：rqp )(rqp )(rqp )(rqp )(rqp )()(

9、)(rqrp )()()()(rqprqprqprqp )()(rqpprqqp )()()(rqprqprqp 111011001MMM12【说明说明】(1)(1)主析取范式的析取项为小项，用小主析取范式的析取项为小项，用小m m加下标表示。加下标表示。如如m m010010，其中其中0 0表示对应的命题变元的否定出现在析表示对应的命题变元的否定出现在析取项中取项中,1 ,1表示对应的命题变元出现在析取项中。表示对应的命题变元出现在析取项中。(2)(2)主合取范式的合取项为大项主合取范式的合取项为大项, ,用大用大MM加下标表示加下标表示, ,如如MM010010, ,其中其中0 0表示对应

10、的命题变元出现在合取项中表示对应的命题变元出现在合取项中,1 ,1表表示对应命题变元的否定出现在合取项中。示对应命题变元的否定出现在合取项中。(3)(3)在真值表中在真值表中, ,一个公式的主析取范式由其真值为一个公式的主析取范式由其真值为1 1的的真值指派所在对应的小项的析取组成。真值指派所在对应的小项的析取组成。(4)(4)在在真值表真值表中中, ,一个公式的一个公式的主合取范式由其主合取范式由其真值为真值为0 0的的真值指派所对应的大项的合取所组成。真值指派所对应的大项的合取所组成。13极小项与极大项极小项与极大项由由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项两个命题变项形成的极小项与极大

11、项 公式公式 成真赋值成真赋值名称名称 公式公式 成假赋值成假赋值名称名称 p q p q p q p q0 0 0 1 1 0 1 1 m0m1m2m3 p q p q p q p q 0 0 0 1 1 0 1 1 M0M1M2M3 极小项极小项 极大项极大项 14 由由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项三个命题变项形成的极小项与极大项 极小项极小项 极大项极大项 公式公式 成真成真赋值赋值名称名称 公式公式 成假成假赋值赋值名称名称 p q r p q r p q r p q rp q rp q rp q rp q r0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0

12、11 1 01 1 1m0m1m2m3m4m5m6m7p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1M0M1M2M3M4M5M6M7 15.D.C.B.A.002,2的的主主合合取取范范式式为为则则大大项项，的的主主合合取取范范式式中中不不含含极极若若的的主主析析取取范范式式为为则则小小项项，的的主主析析取取范范式式中中不不含含极极若若是是矛矛盾盾式式则则个个极极大大项项，的的主主合合取取范范式式中中含含若若是是重重言言式式则则个个极极小小项项的的主主析析取取范范式

13、式中中含含若若，下下列列结结论论错错误误的的是是：是是含含个个命命题题变变元元的的公公式式设设AAAAAAAAAnn161.6 蕴含公式蕴含公式 如果双条件命题如果双条件命题AB 为重言式，则为重言式，则A B 。而。而条件命题条件命题AB 是不对称的，如果是不对称的，如果AB为真，为真，B B不一不一定能推出定能推出A 。那么。那么A和和B究竟存在什么关系呢？究竟存在什么关系呢？161 蕴含公式蕴含公式定义定义1-26 设设A，B是命题公式是命题公式, 若若AB是重言式是重言式, 则则称称AB是蕴含重言式，记为是蕴含重言式，记为ABB ，读作读作“A永真蕴永真蕴含含B”。简称。简称A蕴含蕴含

14、B 即即 AB iff AB 1注意注意: 与与 是意义不同的符号。是意义不同的符号。 17证明：证明：QQPP )(QQPP )(QQPPP )()(QQP )(QQP )(QQP 11 P所以所以P(pQ)Q下面介绍几种证明下面介绍几种证明A永真蕴含永真蕴含B的方法。的方法。 方法一：用真值表法或等价变换方法一：用真值表法或等价变换(推导推导)法证明法证明AB 1 。例例1-24 证明证明 。QQPP )(18P Q PQ P(PQ) (P(PQ) )Q0 00 11 01 11101000111111)(QQPP由真值表可知：)(QPP故Q19方法二：通过分析的方法来证明一个条件命题是蕴

15、含方法二：通过分析的方法来证明一个条件命题是蕴含式。由于原命题等于其逆反命题，即式。由于原命题等于其逆反命题，即 ABBA ，所以用分析法证明，所以用分析法证明AB ， 有如有如下两种方法下两种方法: (1) 假设前件假设前件A为真时为真时, 推出后件推出后件B也为真也为真, 则则AB ; (2) 假设后件假设后件B为假时为假时, 推出前件推出前件A也为假也为假, 则则AB 。 20例例1-25证法证法1： PQPQ )(证证明明：，则则为为假假设设前前件件1)(QPQ ，为为又又因因为为1QP ，蕴蕴含含式式成成立立。为为故故1P 。为为，则则为为假假设设后后件件1P0P ，为为，则则为为若

16、若00Q) 1 (QP ；为为所所以以0)(QPQ ，为为，则则为为若若01)2(QQ 。也也为为所所以以0)(QPQ 成成立立。故故PQPQ )(, 0为为即即Q。必必为为所所以以0P,)(QP，Q也也为为为为 证法证法2：21RQPRQP )()(则则符符号号化化为为：，为为设设前前件件1)()(QPRQP ，为为则则1QP，为为1PR 。也也为为1Q 。为为，故故为为又又0P1QP 。为为，所所以以也也为为而而01RPR ，推推导导有有效效。为为故故1R例例1-26 如果我认真学习，我的如果我认真学习，我的“离散数学离散数学”不会不及格，不会不及格， 如果我不热衷于玩电子游戏，我将认真学

17、习，如果我不热衷于玩电子游戏，我将认真学习， 但我的但我的“离散数学离散数学”不及格。不及格。 结论：我热衷于玩电子游戏。结论：我热衷于玩电子游戏。证明：证明： 设设P：我认真学习。：我认真学习。 Q：我的：我的“离散数学离散数学”及格。及格。 R：我热衷于玩电子游戏。：我热衷于玩电子游戏。为为所所以以0Q22 常见的蕴含重言式析取三段论假言推论拒取式假言三段论二难推论化简式一附加式化简式二23例例1-27 分析证明分析证明 。证明：假设后件证明：假设后件 为为0，则，则P为为1，R 为为 0。 (a)若若Q为为1，则，则 为为0，所以，所以 为为0； (b)若若Q为为0，则，则 为为0，所以

18、，所以 为为0。 故此：故此： 成立。成立。RPRQQP )()(RP )()(RQQP )()(RQQP RQQP)()()(RPRQQP 24162 蕴含公式的性质蕴含公式的性质（1）设）设A、B是命题公式，若是命题公式，若ABB 且且A为重言式，则为重言式，则B必是重言式。必是重言式。 证明证明: 因为因为ABB ，所以，所以 AB 为为1，又因为，又因为A为为1，所以，所以B为为1，即，即B为重言式。为重言式。 （2）蕴含关系是传递的，即）蕴含关系是传递的，即ABB 且且BCC ， 则则ACC 。 251.8 推理理论推理理论 逻辑学的主要任务是提出一套推理规则，按照公认的逻辑学的主要

19、任务是提出一套推理规则，按照公认的推理规则从前提集合中推导出一个结论来，这个推理过程推理规则从前提集合中推导出一个结论来，这个推理过程称为演绎或形式证明。称为演绎或形式证明。 在一般的论证中，主要是根据实践经验。如果确认前在一般的论证中，主要是根据实践经验。如果确认前提为真，并遵守恰当的推理规则，则可期望所得的结论也提为真，并遵守恰当的推理规则，则可期望所得的结论也是真的。倘若认定前提是真的，从前提推导出结论的论证是真的。倘若认定前提是真的，从前提推导出结论的论证是遵守逻辑推理规则，且公认此结论是真实的，则这个论是遵守逻辑推理规则，且公认此结论是真实的，则这个论证称为合法论证。一般论证中必须特

20、别注意论证的合法性。证称为合法论证。一般论证中必须特别注意论证的合法性。 所谓合法是指前提和结论都符合客观实际情况，大家所谓合法是指前提和结论都符合客观实际情况，大家公认是真实的。即合情、合理、合法，令人信服。公认是真实的。即合情、合理、合法，令人信服。 26 在数理逻辑中情况稍有不同，它把注意力集在数理逻辑中情况稍有不同，它把注意力集中在推理规则的研究上，如果依据这些推理规则，中在推理规则的研究上，如果依据这些推理规则，从前提推导出来的任何结论都称为有效结论，这从前提推导出来的任何结论都称为有效结论，这种论证称为有效论证。在确认论证有效性时，前种论证称为有效论证。在确认论证有效性时，前提与结

21、论的真实性不起任何作用，也就是说，在提与结论的真实性不起任何作用，也就是说，在数理逻辑中，只关心论证的有效性，而不大关心数理逻辑中，只关心论证的有效性，而不大关心论证的合法性。论证的合法性。 前提前提：如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑。熟的鸭子不会跑。结论结论：羊不吃草。羊不吃草。 27 蕴含式的定义是：给定两个命题公式蕴含式的定义是：给定两个命题公式A和和B，当且仅当，当且仅当AB 是一个重言式，则称是一个重言式，则称A蕴含蕴含B，记为，记为 AB ，又称

22、，又称B是是A的有的有效结论或效结论或B由由A逻辑推出。这个定义可以推广到有逻辑推出。这个定义可以推广到有n个前提的个前提的情况。情况。定义定义1-27 设设 是命题公式，当且仅当是命题公式，当且仅当 则称则称C是前提集合是前提集合 的有效结论。的有效结论。 判别有效结论的过程就是论证的过程，论证方法千变万化，判别有效结论的过程就是论证的过程，论证方法千变万化，但基本方法是真值表法、直接证法和间接证法。但基本方法是真值表法、直接证法和间接证法。CHHHHn,.,321CHHHHn .321nHHHH,.,32128（一）真值表法（一）真值表法 设设 是出现的前提集合是出现的前提集合 和和C中的

23、所有命题分量，假定对中的所有命题分量，假定对 作全部作全部的真值指派就能确定的真值指派就能确定 和和C的真值，的真值，那么通过真值表就可以确定结论那么通过真值表就可以确定结论C是否是前提集合的有效是否是前提集合的有效论证，这个方法称为真值表法。论证，这个方法称为真值表法。mpppp,.,321nHHHH,.,321mpppp,.,321nHHHH,.,32129利用真值表判别一个有效论证的方法：利用真值表判别一个有效论证的方法：方法一：方法一： 在真值表上，若前提在真值表上，若前提 H1,H2,H3,Hn 均为真的所有行，均为真的所有行，结论结论C也为真，则论证有效。也为真，则论证有效。方法二

24、：方法二： 在真值表上，若结论在真值表上，若结论C为假的每一行，其前提为假的每一行，其前提 H1,H2,H3,Hn 中至少有一个为假，则论证有效。中至少有一个为假，则论证有效。例例1-28 如果我认真学习，我的如果我认真学习，我的“离散数学离散数学”不会不及格，不会不及格， 如果我不热衷于玩电子游戏，我将认真学习，如果我不热衷于玩电子游戏，我将认真学习， 但我的但我的“离散数学离散数学”不及格。不及格。 结论：我热衷于玩电子游戏。结论：我热衷于玩电子游戏。 P:我认真学习，我认真学习， Q:我的我的“离散数学离散数学”及格，及格， R:我热衷于玩电子游戏。我热衷于玩电子游戏。30符号化为：符号

25、化为：其真值表如下：其真值表如下：解：解： 判断法一：真值表中，只有第判断法一：真值表中，只有第2行的前提都为行的前提都为1，其结论也，其结论也为为1，所以论证有效。，所以论证有效。 判断法二：真值表中，第判断法二：真值表中，第1、3、5、7行为行为0，每行的前提，每行的前提至少有一个为至少有一个为0，所以论证有效。，所以论证有效。rq、pr、qp )()(P Q RRpQRpQ R0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 31否正确。否正确。例题：判断下列推理是例题：判断下列推理是华华书书店店。没没上上街街，所所以以我我没没去去新新我我新新华华书书店店。如如果果我我上上街街，我我一一定定去去最后进行判断。最后进行判断。推理的形式结构，推理的形式结构，然后写出前提、结论和然后写出前提、结论和将命题符号化，将命题符号化，解这种推理问题，应先解这种推理问题，应先32我我去去新新华华书书店店。我我上上街街，解解：设设:qp。，前提前提pqp :。结论