应用随机过程复习资料

1、一翻阅教材、教案明确1. 严平稳过程的均值函数和方差函数均为常数.自相关函数和方差函数均为一元函数2. 明Poisson程是计数过程，有3个等价定义，其中事件发生的时刻序列服从伽玛分布，事件发生 的间隔时间独立且均服从指数分布；明确复合Poisson ii程不一定是计数过程，从而不一定是 Poisson过程，但復合Poisson过程有平稳增址和独立增呈：3. 非负独立同分布师机变量序列与更新过程的关系.4. 连续型分布不是格点分布常见离散型分布是格点分布H周期-般都为15. 标准Brown运动高斯(正态)过程，也是半稳独立增呈过程，但不是半稳过程，其增呈2(f)占(s)服从正态分布N(0, t

2、-s).6. 延迟更新过程中更新间隔时间序列独立但不同分布.7. 离散参数不可约Markov链的全部状态要么都是常返态，要么都是非常返态.8 Brown运动的增虽服从不同参数的正态分布.9. 明确Poisson H程、复ft Poisson ii程和Brown运动都是平稳独立増虽:过程10. 明确独立同分布随机变鼠序列x”，nni和随机过程x(t)= y, rno,y为确定随机变虽均为 严平稳过程，而ex <co的独工同分布随机变戢序列x”，nni为宽平稳过程：U.明确独立增虽过程的定义12. 明确对强度为A的Po/sson过程N(f)J > 0,则N(§)服从参数为A6

3、的Poisson分仏13. 明确在更新过程中，事件发生一次称为一次更新，爭件发生的时刻称为更新时刻14. 明确在时齐离散必"0OV链中，吸收态2是非周期正常返态，且吗=115. 明确标> o中，E(f)N(o,r) E(r) B(s)N(o一s),堂握这些随机变虽:的 计算.见对应帝节的例題或教案.16. 明确大数定律中涉及的随机变届序列收敛是依槪率收敛，而中心极限定理中涉及的随机变吊:序列收敛是 依分布收敛17. 明确在离散參数时齐Markov链中：转移概率与起始时刻无关：互通圧等价关系：状态均为正常返非 周期的不可约链称为遍历链；常返状态的有限步首达概率为1；零常返状态的的

4、有限步肖达槪率<1,平均 由返歩数为正无穷，冇限维分布由初始分布和步转移概率确迟；互迪状态足同种状相同周期' 常返状态只能转移到常返状态18.明确参数为；1的Poisson过程N(£),r > 0,其均值函数为加19. 明确在更新过程中，对更新时刻人/=1,2,，当T)£t < 丁3时，意味着(0, t时间内发生的 更新次数为座.20. 明确在离散时间时齐Markov链中，当: m »1,召丫)>。= 0时，定义1的周期为正无穷大二会用教材上的定理即(1)平稳过程X(£) = X,rw(-s,s)均值具有遍历性1 e2T

5、I»pm - f (1-)/(r)6/r = 0 和i NT(2)平稳序列尤,为整数均值具有遍历性O liin Y7(r) = 0Nw N 二证明平稳过程均值具有遍历性例设平稳过程X(£),f w(-s,+s)的协方差函数7(f) = e_2|r|,证明该过程均值具令遍历件. 解：因 lim-2r(l-)/(rkfr = lim 丄drT->00 J7 Jo2TTt8 TIT11 一=lim (1 一) = 0t”2T 4T所以，该过程均值貝有遍历性。例 对平稳过程X© = sinS"12,QU(0Zr),证明该过程均值II有遍历性.证：因均值函数

6、E(X(0) = O(常数)，故协方差函数曲 2)"(X(MG)=-右=。，0,(2 h 工 0,1 N11又因恐詔如=辄站。，所以，该序列均值具有遍历性。N(t)三.掌握复合PO应"过程XC)=工乙的定义及其均值函数EX(t) = MEYX例i殳保险公司接到的索赔要求是强度为每月2次的Poison过程。每次赔付金额服从均值 为1万元的正态分布，求保险公司一年的平均赔付金额？解设N(t)= (0,灯内保险公司的赔付次数，二保险公司第门欠的赔付金额，21,2,，则A)为参数久=2次/月的Poisson 岭，1=1,2,独立均服从均值为1万元的正态N(f)分布，从而=工*为复介

7、P6SSOH过程，于是保险公司一年的平均赔付金额1=1EX(t)h=i2 =无册|占 2x12x1 = 24 7j7Co例 设一成批到达排队系统中，一段时间内的到达批数是强度为每小时久批的Pozsson过程。 每批到达的个数服从均值为a的均匀分布，求s小时内到达的平均个数？解设N(t) = (0，H内到达的批数,£ =第i批的到达个数，心1,2,则N(t)为参数为几批/小时的Poisson程，Yl9 i = 1,2,-独立均服从均值为a的均匀分n布，从而X(£) =工£为父合Poisson过程，于是s小时内到达的平均个数EX(s) = 个。四明确尾纣初等更新定理、

8、Blackwell更新定理(非格点情形)和Smith关键更新定理 (非格点情形)的内容并掌握其应用例在每个整数时刻独立地Bernoulli试验，设出现正而的概率为p ,出现反面的概率为1- p ,解设X”/ = l,2,表示第力-1次试验成功到第n次试验成功的间隔时间，则由于每个整 数时刻做Bernoulli试验，故圮表示首次试验成功时的试验次数，服从参数为p的几何分 布：又每个整数时刻Bemoulli试验是独立做的，故X“,n = l,2,独立，则A；/ = l,2,产 生更新过程N(n) (N(n)表示(0,町内试验成功的次数，且平均更新间隔时间为 9”)=丄。P由屁刃初等更新定理知，较长

9、时间后的单位时间试验成功的平均次数，即更新速率为 -= p : rtlBlacks更新定理知，较长时间后，在长为a的时间内试验成功的平均次 咛)数为一-=ap -Eg例设函数w(£) = P' ° W' =宀°，为更新间隔时间的分布函数，0, t>a,o,fvO,说明更新方程K(t) = w(0 + &(Ix)dF(x)解的存在唯一性、有界性，并求极限lim K(t)。 JQf->a>(1) 因w(£), £20为有界函数，故更新方程的解存在唯一，且在右限区间内有界。(2) 因w(f), rno非负单调

10、不增，且w(t)dt = ab<f又F(f)为非格点分布，故由关键更新定理，Um (0 = oW 仙理)2五时齐Markov链部分1. 掌握时齐Markov链一步转移矩阵的写法，明确n步转移矩阵等于一步转移矩阵的n次方并会应用4设某昆虫在如图的4个节点间杷行.当两个节点相邻时，昆虫以相同的槪率爬向临近的节点，川时刻昆 虫所在的节点位置记为.X”,n = l,2,则(1)证明,. = 1,2,-为时齐Markov钱： 写出 其-步转移概率矩阵，(3)设开始时昆虫位于节点1.求经2次爬行后位于节点3的槪率？爬冋节点1的 概率?解：(1)因为已知当前状态(昆虫所在的节点位建)乂=14/ = 0

11、人.则可知以后的状态 4及其槪率，比如= (),，则益耳=2或3且其概率Pg = 1|心"戶 0， Pg = 2Xn =1= 0.5PXn = 3区=1 = 0.5 ,即Markov性，又转移概率与起始时刻x无关，故n,n = 1,2,-为时齐必厂bov链.(2)其一步转移概率矩阵00.50.500.50.50 10p=1/31/301/31°00(3)昆虫从节点1开始经2次爬行后位于节点3的概率为，爬回节点1的概率为p& ,r 00.50.500.50.50、0，00.50.500.50.50、0r 00.50.500.50.500因 w = p =1/31/30

12、1/31/31/301/31/31/301/300丿300,0X0013/121/61/41/61/65/121/41/61/61/61/31/3.0001故经2次爬行后位于节点3的概率为0二5,爬回节点1的概率为5/12。例记硬币的正面为1,反而为2,每次投掷时以概率0二翻转，则投掷X次后出现的硬币而 Xn,n = 1,2, 为一时齐 Mai'kov 链解：(1)因为已知当前状态(出现的磯币面)匕=1或2/ = 0,，则以后的状态 -rn41= 1或2且其概率Pg = 1 区=1 = 0.8,Pm+1 = 2Xn = 1 = 0.2PXn =尿=2=0.2,PArn+1 = 2Xn

13、= 2=0.8 ,即具有Markov性，又转步转移概率矩阵尸=<0.8 0.2、0.2 0.8；移概率与起始时刻x无关，故乙/=1,2,为时齐Markov链，(2)其一步转移概率矩阵(3)开始投掷时硬币是正面，经2次投掷后是反面的概率为卩參，破币仍为正面的概率为S.8 0.2、”08 0.2、0.8 0.2、r0.68 0.32、卫.2 0.8丿、0.2 0.8,0.20.8 丿、0.32 0.68丿弗,因代=尸=,故经2次投掷后是反面的概率为0 32, ®币仍为止面的概率为0.68。2. 明确遗历必厂链的定义并会求其不变分布(极限分布)例：已知时齐必Wov链的转移矩阵0.5

14、0.50 _P= 0.500.5 ,(1)证明它是遍历Markov链;(2)求它的不变分布兀=(叭,心,心)。00.5 0.5(3)求lim P$), i,j eS = 1,2,3 n->co 7(1)证明(a) 由P的尤素取值或状态转移图Marlcov链的状态互通，即Markov链是不町约的；(b) 再由& =0.5 > 0得到状态1为非周期的：(c) 因该链是不可约的有限状态必厂尿v链，故所有状态均为正常返态。由(a) (b) (c)知该链是遍历Markov1：.(2)因有限状态遍历屁Wov链的不变分布兀=(叭,穴2，龙满足n. = 05兀+ 0.5 兀= '1

15、11开2 = 05叭+ 05才3及工叭=1知不变分布才=(才”心卯3)=(一，一，一) (=13 3 3开3 = 05兀2 +05才3且可得(3) liiiiP(M)=-,z,JGSr = l,23T8 73例：已知时齐马氏链的转移矩阵P= '_P P , Ovp,gvl, (1)证明它是遍历 q 1-qMarkov链：(2)求它的不变分布穴=(叭,心).(3) lim i,jeS = L,2*n->oo 卩(1) 证明(a) 由卩的元索取值或状态转移图 Markov链的状态互通，即Markov链是不可约的；(b) 再由Pn=l-p> 0得到状态1为非周期的：(c) 因该链

16、是不可约的有限状态屁广屁叩链，故所有状态均为正常返态。由(a) (b) (c)知该链是遍历MaWov链.叭(1_刃+兀詡=叭及乙 才1卩+兀,1_§)=才2 tl(2) 因冇限状态遍历Mu最”链的不变分布;r =(厲,兀2)满足=1知不变分布才=(心，心)=(一,一) p+q p+q且可得lim 月”)=,liin 尺俨=eS = 1,2 ”->8 p + q 28 p + q六掌握标准Brown运动> 0的自相关函数(即协方差函数)，由于标准Brown运动*(">()是高斯(正态)过程.从而它的n维分布'恥)1 阻)N(0)0訣”)丿111111

17、(2)minGJJiiiin( 上2)iuin(® D、 min(f 昇J niiii(f3,fw) minCMJ min(D且对mxn矩阵A.有純)、/0'min 仏,E) minCi，。) min()、B(t2)0nun(f2 右)nun(f2 /2) - nun(f2 ,tn)Id NA,A Hg)丿<J例 已知g(r)Q0为Brown运动,求Y = 5(1) + 5(2) + B+£的分布。7(1)/©、1111、5(2)012 2 2服从N恥)012 3 3Ek0；J 2 3 4,丿£(1)E(2) E £(b)由Brown运动为正态