一次函数综合类问题四大类

1、大类一、一次函数与几何综合第8页班级：知识点睛】姓名： 1. 一次函数表达式： y=kx+b（ k，b 为常数， k0） k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释坡 面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示， AM 即为竖直 高度， uj7BM 即为水平宽度，则 k = AM ，b是截距，表示直线与 yBM轴交点的纵坐标2. 设直线 l1：y1=k1x+b1，直线 l2：y2=k2x+b2，其中 k1，k2 0若 k1=k2，且 b1 b2，则直线 l1l2；若 k1 ·k2=- 1，则直线 l1l23. 一次函数与几何综合解题思路从关键点出发，关键点是信

2、息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交 点通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合 起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题精讲精练】1. 如图，点 B， C分别在直线 y=2x和 y=kx上，点 A，D 是 x 轴上的两点，已 知四边形 ABCD 是正方形，则 k 的值为 yBEl21CDOAx第 2 题图O第 1 题图ADy=2x y=kxyBDCO A x第 3 题图2. 如图，直线 l1交 x 轴、y轴于 A，B两点， OA=m，OB=n，将AOB绕点 O 逆时针旋转 90°得到 CODCD 所在直线 l2与直线 l1交于点 E，则 l1l2；

3、若直线 l 1，l 2的斜率分别为 k1，k2，则 k1·k2=3.4.5.如图，直线 y 4x 8交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线3交 x轴于点 C，交 AB于点 D，则点 C 的坐标为 如图，在平面直角坐标系中 ，函数 y=x的图象 l 是第一、三象限的角平分线探索：若点 A 的坐标为 （3，1），则它关于直线l 的对称点 A' 的坐标为 ；猜想：若坐标平面内任一点 P 的坐标为 （m，n）， 则 它 关 于 直 线 l 的 对 称 点 P的 坐 标 为 应用：已知两点 B（- 2，- 5）， C（- 1，- 3），试在 直线 l 上确定一点

4、Q，使点 Q 到 B，C 两点的距离之和最小，则此时点 Q的坐标为 如图，已知直线 l：y3 x 3与 x轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将第 5题图 第 6 题图yQDCPAOBx第 7 题图AOB 沿直线 l 折叠 ，点 O 落在点 C 处， 则直线 CA 的表达式为6.7.如图，四边形 ABCD 是一张矩形纸片， E是 AB上的一点，且 BE: EA=5: 3， EC=15 5 ，把 BCE 沿折痕 EC 向上翻折，点 B 恰好落在 AD 边上的点 F处若以点 A为原点，以直线 AD 为 x轴，以直线 BA 为 y 轴建立平面直角坐标系，则直线 FC 的表达式为 如图，矩形 ABCD

5、 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点与原点 O 重合， AB=2，AD=1，过定点 Q（0，2）和动点 P（a，0）的直线与矩形 ABCD 的边有公共点（1）a 的取值范围是 ；（2）若设直线 PQ为 y=kx+2（k0），则此时 k的取值范围是 8. 如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A（1，1），B（3，1），直线 y=2x+b 交边 AB于点 E，交边 CD 于点 F，则直线 y=2x+b在 y轴上的截距 b的变化范围是9. 如图，已知直线 l1： yC，直线 l1，l2分别交 x轴于 A，B两点，矩形 DEFG 的顶点 D，E 分别在 l1，l2上，顶点 F，G 都在 x 轴上，

6、且点 G 与点 B 重合，那么 S矩形 DEFG: SABC =10. 如图，在平面直角坐标系中， 点 A，B 的坐标分别为 A（4，0），B（0，- 4），P为y轴上 B点下方一点， PB=m （m>0），以点 P 为直角顶点， AP 为腰在第四象限 内作等腰 Rt APM（1）求直线 AB 的解析式；（2）用含 m的代数式表示点 M 的坐标；（3）若直线 MB 与 x 轴交于点 Q，求点 Q 的坐标yAQOxBPM大类二、一次函数之存在性问题班级： 姓名： 知识点睛】存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否 存在的题目，主要考查运动的结果 . 一次函数背景下解

7、决存在性问题的思考方向：1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来 解决问题43【精讲精练】1. 如图，直线 y33x 3与 x 轴、y 轴分别交于点 A，32.点 B，已知点 P 是第一象限内的点，由点 P，O，B 组成 了一个含 60°角的直角三角形，则点 P 的坐标为如图，直线 y=kx- 4与 x轴、y 轴分别交于 B，C 两点，且 OB（1）求点 B 的坐标和 k的值2）若点 A 是第一象限内直线 y=kx- 4上的一个 动点，则当点 A 运动到什么

8、位置时， AOB 的 面积是 6？3）在（ 2）成立的情况下， x 轴上是否存在一 点 P ，使 POA 是等腰三角形？若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .3. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC的边 OC，OA 分别与 x 轴、 y轴重合，ABOC，AOC=90°，BCO=45°，BC=6 2，点 C的坐标为（- 9，0）（1）求点 B 的坐标（2）若直线 BD交 y轴于点 D，且 OD=3，求直线 BD 的表达式（3）若点 P是（ 2）中直线 BD 上的一个动点，是 否存在点 P，使以 O，D，P 为顶点的三角形是等 腰三角形？若存在，求出点

9、 P 的坐标；若不存在， 请说明理由4. 如图，直线 y=kx+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两 点， OB 3 ，点 C 是直线 y=kx+3 上与 A，B 不重 OA 4合的动点过点 C的另一直线 CD 与 y轴相交于点 D，是否存在点 C使 BCD 与AOB全等？若存在， 请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由15.如图，直线 y 1 x 2与 x轴、y轴分别交于 A，B两点，点C 的坐标为（- 3， 210），P（x，y）是直线 y 1 x 2 上的一个动点2（点 P 不与点 A 重合）（1）在点 P的运动过程中，试写出 OPC的面积 S与 x之间的函数关系式2）当点

10、P 运动到什么位置时， OPC 的面积为 27 ？求出此时点 P 的坐8标（3）过 P 作AB的垂线与 x轴、y轴分别交于 E，F 两点，是否存在这样的 点 P，使 EOF BOA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由第9页大类三、一次函数之动点问题班级： 姓名： 【知识点睛】 动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向： 把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； 分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； 画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：路程即线段长，可

11、根据 s=vt 直接表达已走路程或未走路程； 根据研究几何特征需求进行表达， 既要利用动点的运动情况， 又要结合基 本图形信息【精讲精练】31. 如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 直线 y x 3与 x轴、4 y轴分别交于 A，B两点点 P从点 A出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 的运动时间为 t 秒（1）求 OA，OB 的长（2）过点 P 与直线 AB 垂直的直线与 y轴交于 点 E ，在点 P 的运动过程中，是否存在这样的 点 P，使 EOP AOB？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由第16页2. 如图，直线 y= 3x+4 3与x轴、y轴

12、分别交于 A，B两点，直线 BC与 x轴 交于点 C， ABC=60°（1）求直线 BC 的解析式（2）若动点 P从点 A出发沿 AC方向向点 C运动（点 P不与点 A，C重合）， 同时动点 Q从点 C 出发沿折线 CBBA向点 A 运动（点 Q不与点 A，C重 合），动点 P的运动速度是每秒 1个单位长度，动点 Q 的运动速度是每秒 2个单位长度设 APQ的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S与 t 之间的函 数关系式，并写出自变量 t 的取值范围（3）当 t=4 时，y轴上是否存在一点 M，使得以 A，Q，M 为顶点的三角形 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不

13、存在，请说明理由yBACOx3. 如图，在直角梯形 COAB中， OCAB，以 O为原点建立平面直角坐标系， A，B，C三点的坐标分别为 A（8，0），B（8，11），C（0，5），点 D为线段 BC 的中点动点 P从点 O出发，以每秒 1个单位的速度，沿折线 OAAB BD的路线运动，至点 D停止，设运动时间为 t 秒（1）求直线 BC 的解析式（2）若动点 P在线段 OA上运动，当 t 为何值时，四边形 OPDC 的面积是1梯形 COAB面积的 1 ？43）在动点 P的运动过程中，设 OPD的面积为 S，求 S与 t 之间的函数 关系式，并写出自变量 t 的取值范围4. 如图，直线 y 3

14、x 4 3 与 x 轴交于点 A，与直线 y 33 x交于点 P3（1）求点 P 的坐标（2）求 OPA 的面积（3）动点 E从原点 O出发，以每秒 1个单位的速度沿 OA方向向终点 A 运 动，过点 E 作 EFx 轴交线段 OP 或线段 PA 于点 F，FBy 轴于点 B设 运动时间为 t 秒，矩形 OEFB 与OPA 重叠部分的面积为 S，求 S与 t 之间 的函数关系式5. 如图，直线 l 的解析式为 y=- x+4，它与 x轴、y 轴分别交于 A，B两点，平 行于直线 l 的直线 m从原点 O 出发，沿 x轴的正方向以每秒 1 个单位长度 的速度运动，它与 x轴、 y轴分别交于 M，

15、N两点，设运动时间为 t 秒（0< t <4）（1）求 A，B 两点的坐标；（2）用含 t 的代数式表示 MON 的面积 S1；（3）以 MN 为对角线作矩形 OMPN，记 MPN 和OAB 重叠部分的面积 为 S2，试探究 S2 与 t 之间的函数关系式大类四、一次函数之面积问题班级： 姓名： 【知识点睛】1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线， 通常有以下三种思路：公式法（规则图形） ； 割补法（分割求和、补形作差） ； 转化法（例：同底等高） 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例割补求面积（铅垂法） ：转化求面积：B如图，满足 SABP=SABC的点 P 都在直

16、线 l1，l2上二、精讲精练1. 如右图，在平面直角坐标系中，已知 A（- 1，3），B（3， 则 AOB的面积为 2.如图，直线y=- x+4与x轴、 y轴分别交于点A，点 点P的坐标为（-2，2），则 S PAB=第3题图3. 如图，直线 AB：y=x+1与x轴、 y轴分别交于点 A，点B，直线CD：y=kx- 2与x 轴、 y轴分别交于点 C，点D，直线AB与直线 CD交于点P若 SAPD=4.5，则 k=14. 如图，直线 y 2 x 1经过点 A（1，m），B（4，n）， 点 C 的坐标为 （2，5），求ABC 的面积5. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A（2， 4），B（6，6）

17、，C（8，2），求四边形 OABC的面积6. 如图，直线 y x 1与 x轴、y 轴分别交于 A，B两点， C（1，2），坐标轴 2上是否存在点 P，使 SABP=SABC？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第18页17. 如图，已知直线 m 的解析式为 y 21 x 1，与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两 点，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 RtABC，且 BAC=90°，点P 为直线 x=1 上的动点，且 ABP 的面积与 ABC 的面积相等（1）求 ABC 的面积；（2）求点 P 的坐标8. 如图，直线 PA：y=x+2与 x轴、y轴分别交于 A，Q

18、两点，直线 PB：y=- 2x+8 与 x 轴交于点 B （1）求四边形 PQOB 的面积（2）直线 PA 上是否存在点 M，使得 PBM 的面积等于四边形 PQOB的面 积？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由y131分类一参考答案】、精讲精练2 2， - 1335y 3x 3 368【分类二参考答案】 二、精讲精练-3b-1 98: 910773，0）4x 1631）y=x- 4；（2）M（m+4，- m- 8）；4（1，3）；（n，m）；（7（1）-2a2；（2）13，5，k13）或 k -1Q（-4，0）1（1，3）或（3，3）或（3， 3）或（ 3，3 3）4 4 4 442（1）B（3，0）， k 432）A（6，4）133） P1（2 13，0）或P2（- 2 13，0） 或P3（12，0）或P4（ ，0）