小学数学竞赛：质数与合数(二).教师版解题技巧培优易错难

1、5-3-2.质数与合数（二）削M蚱 知识框架1 .掌握质数与合数的定义2 .能够用特殊的偶质数 2与质数5解题3 .能够利用质数个位数的特点解题4 .质数、合数综合运用且 tMlH 知识点拨一、质数与合数一个数除了 1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了 1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数 .要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、97,共计25个；除了 2其余的质数都是奇数；除了 2和5,其余

2、的质数个位数字 只能是1, 3, 7或9.考点：值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. 除了 2和5,其余质数个位数字只能是1, 3, 7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除p,那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于 p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2,再列出所有不大于 K的质数，用这些质数去除 p,如没有能够除尽的那么 p就为 质数.例如：149很接近144 12 12 ,根据整除的性质 149不能被2、3、5、7

3、、11整除，所以149是质数.。"也|昨 例题精讲模块一、偶质数2【例1】 如果a,b,c都是质数，并且a b c,则c的最小值是 【考点】偶质数 2【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，17题【解析】本题考察的是最小的偶质数 2,所以c最小是2.【答案】2【例2】 两个质数之和为39,求这两个质数的乘积是多少 .【考点】偶质数 2【难度】2星【题型】解答【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2,另一个是37,乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。【答案】74【巩固】将1999表示为两年质数之和：1999= 口 +口，在口中填入质数。共有

4、多少种表示法？【考点】偶质数2【难度】2星【题型】填空1题因 为两个奇数的和是偶数，所以将1999 表示成两个质数的和，这两个质数中必有一个是偶数，因而也就是2,另一个是 19992 = 1997即1999= 2十1997,只有一种填法（我们将2+ 1997与1997 2 作为同一种）【答案】一种3】A， B ， C 为 3 个小于 20 的质数，A B C 30，求这三个质数.2 【难度】2 星 【题型】解答因 为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是2 ，另两个奇质数之和为 28，又因为这三个数都要小于20，所以只能为11和 17，所以这三个质数分别是2， 11，

5、17 .2， 11， 17巩 固 】 把 100 分拆成三个质数（只能被1 和它本身整除且大于1 的自然数叫做质数）的和， 共有 种方法。2 【难度】2 星 【题型】填空6题100 是个偶数，拆成3 个质数之和，而质数中除2 以外，其他的都是奇数，3 个奇数之和为奇数，所以其中必有2，现在知两个质数之和为98，则可拆成61+37、 67+31、 19+79。所以共有3 种方法。3种4 】 已知 3 个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3 个质数的乘积是多少？2 【难度】2 星 【题型】解答最 小的合数是4，其平方为16我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3 个质数中必然有2，那么其余 2

6、 个的和是14，只能一个是3一个是11，因此这3 个质数的乘积是2 3 11 6666【例5】7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？2 【难度】2 星 【题型】解答因 为 7 个质数的和是偶数，所以这7 个质数不可能都是奇数. 我们知道是偶数的质数只有2，因此这7 个质数中必有一个是2.又因为2 是最小的质数，并且这 7 个连续质数是从大到小排列的，所以 g 2 .其他 6 个数从大到小依次是17、 13、 11、 7、 5、 3.这样d 7 .76】如果a， b 均为质数，且3a 7b 41，则 a b .2 【难度】3 星 【题型】填空8 题

7、， 4 分根 据题意 a,b 中必然有一个偶质数2， ， 当 a 2时，b 5， 当 b 2时不符合题意，所以 a b 2 5 7 .7【巩固】如果a, b均为质数，且 3d +7b=41,则a+b=。2 【难度】3 星 【题型】填空9 题， 4 分【解析】根据奇偶性我们可以知道 a、b中必然有一个是2,若a=2,则b=7,满足题意；若b=2,则a=9,与题 意不符。所以a 为 2、 b 为 7，则a+b=9。97 】 已知 P,Q 都是质数，并且P 11 Q 93 2003 ，则 P Q =2 【难度】3 星 【题型】填空解 析 】 本 题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题

8、目中有2 个未知数，但是都是质数，从结果上看2003 是一个奇数，那么前面2 个乘积必须为1 个奇数 1 个偶数，那么P 和 Q 中必须有一个是2才可以。由大小关系可以发现只能Q是2,解出P=199,PXQ=398。398【例8】 a、b> c都是质数，如果 a b b c 342,那么b 。【考点】偶质数 2【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，6分【解析】由于342是2的倍数，不是4的倍数，所以a b与b c为一奇一偶，则a或者c为质数2,令a 2, 而 342=2X3X3X19,贝U a b 9或者 a b 3 19 57或者 a b 9 19 171,对

9、应的 b为 7 或者 55 或者169,只有7是质数，所以b=7o【答案】7【例9】 三个质数、O，如果口 1, 口 O，那么是多少？【考点】偶质数 2【难度】3星【题型】填空【解析】除了 2以外的质数都是奇数，这样的两个奇数相加必然得偶数不成立，所以 、口必有一个偶质数 2,又因为口 1,所以 2【答案】2【例10】a, b, c都是质数，并且a b 33, b c 44, c d 66,那么cd。【考点】偶质数 2【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第8题，5分【解析】a b 33为奇数，所以 a=2, b=31 , c=13, d=53,那么 cd=13X53=689

10、【答案】689【例11】已知P是质数，P2 1也是质数，求P5 1997是多少？【考点】偶质数 2【难度】3星【题型】解答【解析】P是质数，P2必定是合数，而且大于1.又由于P21是质数，P2大于1,P21 一定是奇质数，则P2一定是偶数.所以 P必定是偶质数，即 P 2 . P5 1997 25 1997 32 1997 2029【答案】2029【巩固】当p和p3+5都是质数时，p5+5=。【考点】偶质数 2 【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第6题，6分【解析】p和P3+5奇偶性不同，所以较小的 p一定是2,所以p3+5=13, p5+5= 37【答案】37【例12】

11、P是质数，P 10, P 14, P 102都是质数.求 P是多少？【考点】偶质数 2【难度】3星【题型】解答【解析】由题意知P是一个奇数，因为10 3 3L 1, 14 3 4L 2,所以P是3的倍数，所以P 3【答案】3【例13】4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油.每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8,9,10, 11, 12, 13.已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？【考点】偶质数 2【难度】3星【题型】解答【解析】由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（连瓶）共重（8 9 10 11 12 13）

12、 3 21 （千克）而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由 于2是唯一的偶质数，只有两种可能： 油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重千克，2119最重的两瓶内的油为 13-2 12（千克）. 油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重 24千克，最重的两瓶内的油为 132 7（千克），这与油重之和 2千克矛盾.因此最重的两瓶内共 42有12千克油。【答案】12【例14】 三个数p, p 1,p 3都是质数，它们的作数和的倒数是 。【考点】偶质数2 【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 12题，6分【解析】P与P+1和+2奇偶性不同，所以 P只

13、能是2,另外两个是 3和5,所以它们的倒数和的倒数是130111 31 .2 3 531【例15】用0, 1, 2,，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1、次,每个质数都不大于 500,那么共有多少种不同的组成6个质数的方法.请将所有方法都列出来.【考点】偶质数 2【难度】3星【题型】解答【关键词】小学数学夏令营【解析】 除了 2以外，质数都是奇数，因为 09中只有5个奇数，所以如果想组成 6个质数，则其中一定有2.又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数.另 4个质数分别以 1, 3, 7, 9 为个位数，从而列举如下：2, 3, 5, 7, 41, 89,

14、 2, 3, 5, 7, 61, 89, 2, 3, 5,7, 89, 401, 2 , 3, 5, 7, 89,461, 2 , 3,5,7, 61, 409, 2 , 3,5,47, 61, 89, 2 , 3,5, 41, 67, 89, 2 , 3, 5, 67,89, 401, 2 ,5,7, 43, 61, 89, 2 ,5,7, 61, 83, 409.即共有10种不同的方法.【答案】10【例16如果一些不同质数的平均数为21,那么它们中最大的一个数的最大可能值为 .【考点】偶质数 2【难度】4星 【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复赛， 4题【解析】对于任意一组数，其中大于

15、平均数的超出部分之和一定等于小于平均数的不足部分之和，所以为了使这些质数中最大的数更大，应该尽可能多地取小于 21的质数，由于大于21的所有质数都是奇数，所以大于平均数 21的超出部分之和一定是偶数，相应的所取的小于 21的质数与21的差之和也应该 是偶数，所以唯一的偶质数2是不能取的，因为它与21的差为奇数.剩下 7个数的和是 75,21 X8-75=93 ,小于93的最大的质数是 89.当这些质数取 3, 5, 7, 11, 13, 19, 89时符合条件. 【答案】89模块二、质数5【例17】已知n, n 6, n 84, n 102, n 218都是质数，那么n 。【考点】质数5【难度

16、】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第4题【解析】由于6, 84, 102, 218除以5的余数分别为1, 4, 2, 3所以n , n 6, n 84, n 102, n 218 这5个数除以5的余数互不相同，那么其中必然有除以5余0的，也就是有5的倍数，而这5个数都是质数，那么只能是 5。由于n 6, n 84, n 102, n 218都比5大，所以n为5。【答案】5模块三、数字的拆分【例18】将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？【考点】数字的拆分【难度】2星【题型】解答【解析】 最大的质数必大于 5,否则10个质数之和将不大于 50,又

17、60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8个7与2 个2的和为60,故其中最大的质数是 7.【答案】7【例19】 将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？【考点】数字的拆分【难度】2星【题型】解答【解析】若要求最大的质数尽可能大，则其余9个质数应尽可能小，最佳的方案是9个2。但是此时剩余的数为32,不是质数，所以退而求其次，另其余 9个数为8个2, 1个3,那么第10个数为31【答案】31【例20】将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘， 得到的乘积中，哪个最小？【考点】数字的拆分【难度】3星【题型】解

18、答【解析】 枚举法：有些学生会问，老师：什么时候用枚举法？1.数不大，种类比较少2.没有规律，不能用排列组合等方法3.能有方法做的时候建议不采用枚举的方法37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19 7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17 共有10种不同的拆法，其中 3X5X29=435最小【答案】10种，最小乘积为435【例21】甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13,甲比乙大13岁，那么乙今年多大？【考点】数字的拆分【难度】3星【题型】解答【解析】 个位与十位数字之和为 13,那么这样的质数在两位数中只有67,三位数中为167,再继续则不符合常理，所以甲乙年龄有可能分别为40,27岁，或者90, 77岁，所以乙的年龄可能为27岁或77岁。【答案】27或77【例22】三位数A满足：它的所有质因数之和是26。这样的三位数 A有 个。【考点】数字的拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，1试【解析】26以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23,所以这样的三位数