广东省华附、省实、深中、广雅2019-2020学年高三下学期四校联考数学(理)试题(带答案解析)

1、广东省华附、省实、深中、广雅2019-2020学年高三下学期四校联考数学（理）试题卷（选择题）、单选题1 原命题为 若W,Z2互为共轭复数，则=Z2”，关于其逆命题，否命题，逆否命题26.试卷第1页，总5页真假性的判断依次如下，正确的是（A 真，假，真B 假，假，真C.真，真，假D 假，假，假2 .已知平面向量v v a，lb是非零向量,|a|=2,a丄（a+2 b）,则向量b在向量a方向上的投影,a线，B . -1C. 2D . -2F是双曲线垂足为22x yC ： 221 aa2 b20,b0的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂A，交另一条渐近线于点B，若uur uuu2AF FB，则C的

2、离心率是（）2.33C.2函数f2sinx cos2x 在2,2上的单调减区间为（已知圆1，点 A(1,0),ABC内接于圆,BAC60，当B , C在圆上运动时,BC中点的轨迹方程是（x2x2函数f（x） = “1-?-1的值域为（）?-2C 0,1k17.集合Mx|x,k Z ,N24A . M = NB M N8.平面/平面的一个充分条件是（)A .存在一条直线a ,a/, a /B .存在一条直线a ,a?, a /C.存在两条平行直线a,b, a?,b?D .存在两条异面直线a,b, a?,b?9 .已知函数f xasin2x bcos2x(ak1小x|x -,k Z ，则（)42C

3、. NMD. MN,a /, b /,a /, b /b为常数，a 0, x R )在x 处124D °，3试卷第3页，总5页取得最大值，则函数y f x -是（）A 奇函数且它的图象关于点,0对称2B偶函数且它的图象关于点C.奇函数且它的图象关于x对称D偶函数且它的图象关于对称10 已知函数f X的图象连续且在2,上单调，又函数的图象关于y轴对称，若数列 an是公差不为0的等差数列,f a2016，贝y an的前2019项之和为（B . 2019c.4038404011函数f（x） log2x 3si%x）零点的个数是C.12 .若正四面体 SABC的面ABC内有一动点 P到平面S

4、AB、平面SBC、平面SCA的距离依次成等差数列，则点P在平面ABC内的轨迹是A 一条线段B 一个点c. 一段圆弧D 抛物线的一段请点击修改第第II卷（非选择题）II卷的文字说明二、解答题13 .已知数列an 满足：曰 2, an an 1 4n 2 n 2 (I)求数列 an的通项公式;(n )若数列bn满足：b,3b27鸟2n 1bnan ,求数列bn的通项公式.14 .已知函数 f x x a lnx, a R.(I )求函数f x的单调区间；(n)当x 1,2时，都有f x 0成立，求a的取值范围；(川)试问过点P 1,3可作多少条直线与曲线 y f x相切？并说明理由.x 求在未来的

5、连续 4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝 的概率； 用 表示在未来4天里日销售量不低于 100枝的天数，求随机变量的分布列和 数学期望.17.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A , B的点，直线PC 平面ABC , E , F分别是PA , PC的中点 y2215 已知椭圆C ：二 21 a b 0的离心率为，过左焦点F的直线与椭圆a2 b222 1交于A , B两点，且线段AB的中点为 ，-.3 3(I )求椭圆C的方程；(n)设M为C上一个动点，过点M与椭圆C只有一个公共点的直线为11，过点F与MF垂直的直线为12，求证：h与12的交点在定直线上，并求出该

6、定直线的方程16 某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立.a2a5a8A(I )记平面BEF与平面ABC的交线为I，试判断直线I与平面PAC的位置关系, 并加以证明；(D)设PC 2AB，求二面角E I C大小的取值范围18 .已知函数 f x 2x a 2 x 2a .(I)若f 13，求实数a的取值范围；(n)若不等式f x 2恒成立，求实数a的取值范围19 .已知直线I的参数方程为x m tcosy tsi n(t为参数，0),以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

7、的极坐标方程为4cos ，射线一5負,分别与曲线C交于A B、C三点(不包4444括极点0)(I)求证：OBOCa/2|0A ；(n)当-时，若B、C两点在直线I上，求m与 的值.12三、填空题20 .在锐角 ABC中，角A, B , C所对的边分别为a , b , c, 2b2 2a2 c2，当 tan B A取最大值时，角 A的值为.-一 vv_21.在区间0,2上分别任取两个数 m, n，若向量a m, n , b 1,1，则满足 a b 1的概率是.22 已知随机变量 X B(2, p)，丫N(2, 2)，若 P(X 1)0.64 , P(0 Y 2) p ,则 P (Y 4).,An

8、3n 123 已知两个等差数列4和bn的前n项和分别为An和Bn,且；7，则Bnn 1b3b7试卷第5页，总5页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考参考答案1. B【解析】试题分析：设复数 乙 a bi，则z2 z, a bi，所以z,z2| JO2b2，故原命题为真；逆命题：若乙Z2,则z,Z2互为共轭复数；如zi3 4i ,Z24 3i，且z,z?5，但此时z,Z2不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若z,Z2不互为共轭复数，则z,Z2 ；如z, 3 4i，Z2 4 3i，此时z,Z2不互为共轭复，但 ZiZ2 5，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；

9、故选B.考点：命题以及命题的真假 .2. B【解析】【分析】先根据向量垂直得到a g（a+2b）,=o，化简得到；gb=-2,再根据投影的定义即可求出.【详解】平面向量a，b是非零向量al=2，a丄（a+2b），r r r- a g（a+2b）,=0，即 a2 -a 2b 0即 a gb = - 2V V crra b2向量b在向量a方向上的投影为_v= - 1，b aa 2故选B.【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用.解答关键在于要求熟练应用公式.3. A【解析】试题分析：由题意得 AF b,BF 2b, AB 3b;0A a,OB 2a，因此(2a)2

10、a2 (3b)2a2 3b2 3(c2 a2)e2 - e 二，选 A.33考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率(取值范围)的策略求双曲线离心率是一个热点问题若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于 a，b，c的不等式求解，正确把握 4= a2+ b2 的应用及e> 1是求解的关键.4. B【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化为2x2sin x 2 sin x 1，进而可得x2sin x21-，根据x22厂，利用复合函数的单调性即可求解答案第8页，总21页【详解】f x 2 sinx cos2x22sin x 2 sin x

11、 12 sin x令 t sinx ，由 x,，则 t 0,12 2所以y21 312 t 1-，在0,-上单调递增，在2 22丄,1单调递减2又t sinx在2, 6上单调递减，在6,?上单调递增，此时t利用复合函数的单调性可得函数f X在-,-上单调递减;tsinx在 一,0上单调递减，在60-上单调递增，此时t6利用复合函数的单调性可得函数f x在 一,0上单调递减;6故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性 同增异减”的特征，此题属于中档题5. D【解析】【分析】1将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直

12、角三角形得0D -，从而得2BC中点的轨迹方程设BC中点为D，Q圆心角等于圆周角的一半，BAC 60，BOD 60°，1 1在直角三角形 BOD中，由OD -OB -，2 2故中点D的轨迹方程是：x2 y2-，41如图，由 BAC的极限位置可得，x丄.4故选：D【点睛】本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题 6. C【解析】 令？?= cos? 0, n，则？?(?= ?(?= cOS?2的几何意义是单位圆(在？?由及其上方)上的动点？?(cos?sin?与点？?(2,1)连线的斜率？由图象，得0 < ?< 1,即函数？?(?的值域为0,1,2,厂

13、1yi11K1故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个,是利用VIF的形式和平方关系联想到三角代换，二是由 竺巴的形式联想到过两点的直线cos?-2的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合 7. B【解析】【分析】首先求出集合M、N中的元素,由集合的包含关系即可求解【详解】k 1,k Z24x| xk 1,k Z422,k Z ,2k 1表示全体奇数,故选:【点睛】 本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题 8. D【解析】试题分析：对于 A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行.故A不对；对

14、于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行,故D正确考点：空间线面平行的判定与性质9. A【解析】【分析】首先根据已知可得 f x , a Z可表示全体整数, b2 sin 2x，然后根据正弦函数的图像与性质得到2k3，再化简函数3X -，从而求解问题【详解】x asin2xbcos2x , a2 b2 sin 2x ，在x处取得最大值,122k122k Z，2kx 、a2 b2 sin2X亍，, a2 b2 sin

15、2xa2 b2 sin 2x，3奇函数且它的图象关于点2,0对称.故选:【点睛】 本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题 10. C【解析】【分析】 由函数y f X 2的图象关于y轴对称，平移可得 y f x的图像关于x 2对称，由题意可得a4 a2oi6 4，禾U用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和.【详解】函数y f x 2的图象关于y轴对称，且函数f x的图象连续且在 2,上单调,可得y f x的图像关于x 2对称，由数列an是公差不为0的等差数列，且f a4f a20i6 ，可得a4a20164，又an是等差数列，可得a4a2016

16、a1a20194，所以an的前2019项之和为2019 a1a2019S201940382故选：C【点睛】本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前n项和，需熟记公式与性质,属于基础题 11. C【解析】【分析】2X3si n( x)，在同一平面直角坐标系内，画出y= y log2 x, y 3sin( x)的图象,由图可得交点个数为 3,所以函数f(x) log 2 x 3sin( x)零点的个数是3,2故选C.12. A【解析】试题分析：设点到三个面的距离分别是一.因为正三棱锥的体积为定值，所以- 一-.为定值, 因为 '成等差数列,:仝;.为定值, 所以点一-的轨迹

17、是平行三.的线段.考点：等差数列的性质；抛物线的定义.点评：本题以等差数列为载体,考查正三棱锥中的轨迹问题,关键是分析得出P到侧面SBC的距离为定值.13.(i)an 2n ； (n) bn22n 1【解析】【分析】(i )由 an an 1 4n 2 n2可化为an2nan 12n 20，令Cn an 2n,推出CnCi 1，根据Cn的特征即可求出.(n)根据题意可得b, 3b2 7b3L2n 11 bnann 2 ，与原式作差再由(i)即可求解.【详解】(i )由 an an 1 4n 2 n2可化为an 2nan 12 n 20令 Cnan2n ,贝V CnCn 10 ,即 CnCn 1

18、 .因为a 2，所以g 420,所以Cn0 ,本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考即 an 2n °，故 an 2n .(n)由 bi 3b2 7ban21 bnan ,可知 b 3b2 7b3 Ln 121 bn 1 an 1 n 2x°答案第10页，总21页两式作差得 2n 1 bn an an 12 n 2 ,2即bn厂n 2 .2 1又当n 1时，也b1 a12满足上式，故bn【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及Sn与an的关系，属于中档题14.（ I）见解析；（n）2ln2；（川）见解析，理由见解析【解析】【分析】（I ）首先求出函数的定义域

19、和导函数，根据导函数分类讨论a的取值范围；当a °时,当a °时，分析f x的正负即可求解（n）由（I）中的导函数讨论a是否在区间1,2内，利用函数的单调性求出函数的最值,min°即可解不等式即可（川）法一：设切点为 x°, x° alnx°，求出切线方程yx° aln x°1 x x° ， x°x°112 x °，讨论a的取值x1从而可得alnx°12°，令g x alnx范围，分析函数g x的的单调性以及g x °在°,上的零点即可

20、求解;法二：设切点为x°,x° alnx°，求出切线方程y x°aln x°1x°，从而可得a In x°12°，分离参数可得ln x 1x°xIn x本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考答案第12页，总21页讨论g x的单调性求出函数 g x的值域，根据值域确定-的范围即可求解.a(I )函数f x的定义域为 x|x 0 ，f ' x 1(1)当a0时,f' x0恒成立，函数f x在(2)当a0时，令f' X0，得 xa1 0xa时,f' x0，函数f x为

21、减函数；1 xa 时，f'x 0,函数f x为增函数.【详解】0,上单调递增;综上所述，当a 0时，函数f x的单调递增区间为0,当a 0时，函数f x的单调递减区间为0, a，单调递增区间为 a,(n)由(I )可知，(1 )当 a1时，即a1时，函数f所以在区间1,2 上, fx minf1 1(2 )当 1a 2时，即2 a1时,增函数，所以 f x min f aa a Ina .依题意有fX minaaIn a0,(3 )当 a2时，即ai2时，f x所以 f X min f 2:2 aln2.依题意有fx min2aI n2 0,解得x在区间1,2上为增函数,，显然函数f

22、x在区间1,2上恒大于零;函数f x在1, a上为减函数，在a,2上为解得a e，所以2在区间1,2上为减函数,综上所述，当a另解：当x1时,2时，函数f xIn 2显然x aln x 1在区间1,2上恒大于零.0恒成立.a 2.当 x 1,2时，xalnx 0恒成立a 恒成立In xx的最大值.In x1 In x则 m' x2In x0，易知m x在1,2上单调递增,In x本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考答案第1O页，总21页所以m x最大值为m，此时应有aIn 22In 2综上，a的取值范围是2In 2(川)设切点为Xo,Xoa In xo，则切线斜率kXo切

23、线方程为yXoaln x0ax XoXo .因为切线过点P1,3，则 3Xoaln XoIn Xo-0 (1)在区间h所以函数故方程g因此当a(2)当 aXo.a In xo，则gO时，在区间上, g' XX的最大值为O,1上,g' X O,单调递增;X单调递减,2 O.X O无解，即不存在Xo满足式.O时，切线的条数为O.O时，在区间0,1上, g' X单调递减，在区间1, 上, g'g X单调递增,所以函数g X的最小值为O.21 -ae e 则g X11 2ae aO.1,上存在唯一零点.X2，则 g X2a1ae本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案

24、仅供参考122aea2 1a设t12t1 ， u tet2t，则 u' tet 2.a当t1时，I utet 2 e20恒成立.所以ut在1,单调递增，u tu 1 e 20恒成立所以gX20故gx在0,1上存在唯一零点因此当a 0时，过点P 1,3存在两条切线.（3）当a 0时，f xx，显然不存在过点 P 1,3的切线.综上所述，当a 0时，过点P 1,3存在两条切线；当a 0时，不存在过点 P 1,3的切线a另解：设切点为 xo,Xo alnxo，则切线斜率k 1 -Xo切线方程为）/Xaln x01a XXX .因为切线过点P1,3，则 3X）aln x01卫X1 X ，即 a

25、 In x01X12 0.当a 0时，020无解.当a 0时，In1x -X1 z，a令 g x InX1X1，则 g' xx 12 ， X易知当0 x1时，,X 1g X20 ；当x 1时，g'x X210，2 2 XX所以g x在0,1上单调递减，在1,上单调递增又 g 10，且 lim g x lim g x，x 0x答案第11页，总21页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考故当20时有两条切线，当a20时无切线,a0时无切线即当a 0时有两条切线，当 a答案第i2页，总2i页综上所述，a 0时有两条切线,a0时无切线.【点睛】 本题考查了导数在研究函数单调

26、性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题2X215. (I) y2 1 ； (n )证明见解析，x 2，2【解析】【分析】(I )设A Xi,yi ，B X2,y2，根据点A，B都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根 据 设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解2X2(n )设M X0,y0，由对称性，设y。0，由专 y i，得椭圆上半部分的方程为两方y j乡，从而求出直线li的方程，再由过点 F与MF垂直的直线为12，求出12， 程联立，消去y，即可求解.【详解】(I )由题可知F c,0，直线AB的斜率存在设A Xi,yi ， B X2, y2，由于点A

27、，B都在椭圆上，2 2 2 2 所以务¥ i，与与i，a ba b 222-，化简得 2*2 y2a Xf x2又因为离心率为上2，所以与丄.2a2 22 i又因为直线 AB过焦点F，线段AB的中点为，一3 3所以X-!X24，yiy22，yiy233XiX2i3 2 ， c 3本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考代入式,，解得c 1.再结合a2b2c2，解得2，b2故所求椭圆的方程为(n)证明：设xo, yo ，由对称性,yo o，由2X21，得椭圆上半部分的方程x22x2，且与椭圆只有一个公共点，所以XoXo所以l1:yoXox Xo ，2yo因为l2过点F且与MF

28、垂直，所以|2: y2xfxo 1-X 1， y。2联立，消去y，得22yoXoX2Xo X，又心1所以宁Xo从而可得x 2，所以l1与l2的交点在定直线2上.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系， 考查了圆锥曲线中 设而不求”的思想, 考查了学生的计算能力，属于中档题 16. (1) 0.06 (2)见解析.【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于1OO枝，另外2天不低于15O枝为事件的概率，可根据 4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望试题解析：(1)设日销量为X，有2天日销售量低于100枝

29、，另外2天不低于150枝为事件A 则 P x 1000.002 50 0.006 50 0.4，P x 1500.005 50 0.25，2 2 2二 P AC4 0.40.250.06 (2)日销售量不低于100枝的概率P 0.6，则 B 4,0.6，于是P kC： 0.6k 0.44 k k 0,1,2,3,4，则分布列为01234169621621681P6256256256256252.4 卫1西2空3 216 4旦625625625625625【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概 率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，

30、会计算概率，正确列出 分布列，正确计算数学期望及方差 亿(I)/平面PAC，证明见解析；(n)【解析】【分析】(I )证出EF/平面ABC，由线面平行的性质定理可证出EF /I，再由线面平行的判定定理即可求解(n)法一：证出FBC是二面角E l C的平面角，FC tan FBCBCAB1，根据 ABC的范围即可求解.BC cos ABC法二：以CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，求出平面DBF的法向量与平面BCD的法向量，禾U用向量的数量积即可求解【详解】(I )证明如下:«一t tt EF / AC，AC 平面 ABC，EF 平面 ABC , EF/平面 ABC.

31、又EF 平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为I，- EF/I.而I 平面PAC，EF 平面PAC， I/平面 PAC .(n)解法设直线I与圆0的另一个交点为D，连结 DE，FB .由（I ）知，BD / /AC，而 AC BC， BD BC . PC 平面 ABC，- PC BD .而 PC BC C，- BD 平面 PBC，又 FB 平面 PBC，- BD BF， FBC 是二面角E IC的平面角tan FBCFCAB1BCBCcos ABC注意到0ABC2 0 cos ABC 1， tan FBC 1 0FBC 2，FBC 右，即二面角E I C的取值范围是，一.4 2解法二：由题

32、意，AC BC，以CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系,答案第22页，总21页uuuBF0, t,2，uurBD4 t2,0,0 .设平面DBF的法向量为irm x, y,z，则 B 0,t,0，F 0,0,2 ，D .4 t2,t,0，则由JmuuvBF 0uuv 得一BD 0,4 tty 2z 0ir，取 y 2 得 m 0,2,t .x 0易知平面BCD的法向量n0,0,1，C的大小为，易知为锐角,4 t24t2即二面角E IC的取值范围是本题考查了线面平行的性质定理、【点睛】判定定理以及求面面角、 空间向量法求面面角， 考查了学生的空间想象能力以及推理能力,属于中档题1

33、8. (I )【解析】试题分析:13可得a2a3，根据分类讨论法解不等式组即可.(n )根据绝对值的几何意义求得 f x的最小值为aaf (1 -)，由f(1 -) 2可得实数a的取值范围.22试题解析:(I)由川1)乙可得，同+|1-剑门,当.1 < 'I时，不等式化为 I -,解得'-j3当时，不等式化为 - !7 ，解得-，.| ；2当， 时，不等式化为：J】- '1 -，解得，23.1123综上实数卅的取值范围是(n)由7( = 2 x+-l + |：t-纲及绝对值的几何意义可得, 当I -二时，一上取得最小值.不等式f x2恒成立，实数X的取值范围是i .一 一二.19. (I)证明见解析；(n )m 2,【解析】 试题分析：(I)由曲线C的极坐标方程可得点 A B C的极径，即得到0A , OB , 0C，计算后即可证得结论正确.(n)根据12可求得点B，C的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC的 直角坐标方程，结合方程可得m与 的值.试题解析:，0C = 4cos+已ug炉一才=.(I )证明：依题意，.:,： ,；，上，'(n)当.7 -时，日、】两点的极坐标分别为故两点的