4.3高阶微分方程的降价和幂级数解法ppt课件

1、14.3高阶高阶微分方程的降阶和幂级数解法微分方程的降阶和幂级数解法 2一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式:0),()(nxxxtF)57. 4(0),()()1()(nkkxxxtF阶方程的则可把方程化为若令knyyxk,)()58. 4(0),()(knyyytF 1、 不显含未知函数不显含未知函数x 或更一般不显含未知函数及其直到或更一般不显含未知函数及其直到 阶导数的方程：阶导数的方程：1 (1)kk3若能求得若能求得(4.58)的通解的通解),(1knccty对上式经过对上式经过k次积分次积分,即可得即可得(4.57)的通解的

2、通解即即( )1( ,).kn kxt cc11( ,),nnxt cccc这里为任常数.4 解题步骤解题步骤:则方程化为令,)(yxk第一步第一步:0),()(knyyytF第二步第二步:求以上方程的通解求以上方程的通解),(1knccty即即),(1)(knkcctx第三步第三步: 对上式求对上式求k次积分次积分,即得原方程的通解即得原方程的通解为任常数这里nncccctx,),(11)57. 4(0),()()1()(nkkxxxtF5解解:令令,44ydtxd则方程化为则方程化为01ytdtdy这是一阶方程这是一阶方程,其通解为其通解为,cty 即有即有,44ctdtxd对上式积分对上

3、式积分4次次, 得原方程的通解为得原方程的通解为53212345.xctc tc tc tc例例1.014455的通解求方程dtxdtdtxd6 2、 不显含自变量不显含自变量t的方程的方程 一般形式一般形式:)59. 4(, 0),()(nxxxF 解题步骤解题步骤:第一步第一步:,yxyx令并以 为新的未知函数 为新的自变量 原方程化为0),()1()1(nndxyddxdyyxG7第二步第二步: 求以上方程的通解求以上方程的通解),(11nccxy第三步第三步: 解方程解方程),(11nccxdtdx即得原方程的通解。即得原方程的通解。8解：解：令令,作为新的自变量并以xydtdx则方程

4、化为则方程化为02 ydxdyxy从而可得从而可得, 0y及及,xydxdy这两方程的全部解是这两方程的全部解是,1xcy 例例2.0)(222的通解求方程dtdxdtxdx再代回原来变量得到再代回原来变量得到,1xcdtdx所以得原方程的通解为所以得原方程的通解为12,c txc e9 3、 已知齐线性方程的非零特解已知齐线性方程的非零特解,进行降阶进行降阶22( )( )0,(4.69)d xdxp tq t xdtdt的解。的解。解题步骤为：解题步骤为：对于二阶齐次线性微分方程，如果知道它的一对于二阶齐次线性微分方程，如果知道它的一个解，则方程的求解过程如下：个解，则方程的求解过程如下：

5、10 xx设设是二阶齐次线性微分方程是二阶齐次线性微分方程第一步第一步:1xx y令方程变为1112( )0 x yxp t x y第二步第二步:zy令方程变为1112( )0dzxxp t x zdt10解之得解之得( )21,p t dtczex即即( )112211,(4.70)p t dtxx ccedtx1112( )0 dzxxp t x zdt112( )xdzp t zdtx 这是一阶齐次线性微分方程。这是一阶齐次线性微分方程。11第三步第三步:1210,ccx令=1得与 线性无关一个解:( )21211,p t dtxxedtx第四步第四步: (4.69)的的通解通解为为( )112211,(4.70)p t dtxx ccedtx12,c c这里是任常数.注：注：一般求一般求(4.69)的解直接用公式的解直接用公式(4.70)12解：解：这里这里12sin( ),tp txtt由由(4.70)得得例例322sin20.td xdxxxtdtt dt已知是方程的解,试求方程的通解21222si