3-05 定积分在几何和经济中的应用ppt课件

1、上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页第五第五节节 定积分在几何和经济中的应用定积分在几何和经济中的应用一、定积分的微元法一、定积分的微元法 二、定积分在几何上的应用二、定积分在几何上的应用三、定积分在经济中的应用举例三、定积分在经济中的应用举例四、小结四、小结 1;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、定积分的微元法一、定积分的微元法 abxyo)(xfy 2;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页iiixfA )( iix (3) 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA 面积表示为定积分的

2、步骤如下面积表示为定积分的步骤如下:3;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页abxyo)(xfy (4) 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素4;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页当所求量当所求量U 符合下列条件：符合下列条件：( (1) ) U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间a, b有关的量；有关的量；(2) U 对于区间对于区间a, b具有可加性具有可加性. 就是说，就是说，如果把区间如果把区间a, b分成许多部分区间，则分成许多部分

3、区间，则U 相应地分成许多部分量，而相应地分成许多部分量，而 U等于所等于所有部分量之和；有部分量之和；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量U.5;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：1) 根据问题的具体情况，选取一个变量根据问题的具体情况，选取一个变量. 例如例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间为积分变量，并确定它的变化区间a, b; 2）设想把区间）设想把区间a, b分成分成 n个小区间，取其中任一个小区间，取其中任一小区间并记为小区间并记为x, x+dx，求出相应于这小区间的部，求出相应于这小区间的部分量分量 U的近似

4、值的近似值.如果如果 U能近似地表示为能近似地表示为a, b上上的一个连续函数在的一个连续函数在 x处的值处的值f (x)与与 dx的乘积，就把的乘积，就把 f (x) dx称为量称为量 U的元素且记作的元素且记作dU，即，即 ( ).dUf x dx 6;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页这个方法通常叫做元素法这个方法通常叫做元素法(或微元分析法或微元分析法) 3）以所求量）以所求量U的元素的元素f (x) dx为被积表达式，为被积表达式，( )baf x dxU 即为所求量即为所求量U的积分表达式的积分表达式.在区间在区间a, b上作定积分，得上作定积分，得7;.上一页上一页下一页

5、下一页返回首页返回首页应用方向：应用方向：数学数学: : 平面图形的面积平面图形的面积, , 体积体积, , 函数平均值；函数平均值；物理物理: : 水压力；引力等水压力；引力等; ;经济经济: : 已知边际求总量已知边际求总量. .8;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx x 1.1、平面图形的面积直角坐标系情形、平面图形的面积直角坐标系情形一一 、 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用9;.上一页上一页

6、下一页下一页返回首页返回首页解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素2d()dAxxx选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 x120()dAxxx 10333223 xx.31 2xy 2yx 图形的面积图形的面积. 10;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 11;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页

7、于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 x 吗吗？2xy xxy63 12;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 y2d4d2yAyy42d18.AA xy22 4 xy方法方法113;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy

8、22 4 xy方法方法2 选取选取 x 作为积分变量，作为积分变量，20 2(2 )dAxxx 82 2(4)dxxx 18. 14;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页abxoyx解解 利用对称性利用对称性 , ddAy x 有有04daAyx 利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程xxd例例4 求椭圆求椭圆所围图形的面积所围图形的面积 . 22221xyabsinbt(sin )datt 4ab 12 2 .ab 当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式204A cos(02 ).sinxattybt 应用定积分换元法得应用定积分换元法得15;.上一页上一页下一页下一页返回首页返

9、回首页xo d d 面积元素面积元素21d ( ) d2A 曲边扇形的面积曲边扇形的面积21 ( ) d .2A )( r1.2 平面图形的面积极坐标系情形平面图形的面积极坐标系情形16;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解由对称性知总面积由对称性知总面积 = = 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A17;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin22

10、32a 018;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二二 旋转体的体积旋转体的体积这直线叫做旋转轴这直线叫做旋转轴19;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页,bax 2d ( ) dVf xx xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为2 ( )baVf xdx )(xfy 一般的，如果旋转体是由连续曲线一般的，如果旋转体是由连续曲线y=f(x)，直线，直线x =a, x =b及及x轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形绕绕x轴旋转一周而成

11、的立体，体积为多少？轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为取积分变量为x ,在区间在区间a, b上任取小区间上任取小区间 x, x+dx， 取以取以dx为底的窄边为底的窄边梯形绕梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素轴旋转而成的薄片的体积为体积元素: 20;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段( ) ()xycyd 2 ( )y dydcV xoy( )xy cdy绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有21;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页ayxb例例7 计算由椭圆计算由椭圆22221xyab所围图形绕

12、所围图形绕 x 轴旋转而轴旋转而解解 方法方法1 利用直角坐标方程利用直角坐标方程22()byaxaxaa 222202()dabaxxa ( (利用对称性利用对称性) )2232123ba xxa 0a24.3ab o02aV 2dyx x转而成的椭球体的体积转而成的椭球体的体积. 22;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页方法方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程cossinxatybt 则则202daVyx 232sin dabt t 22 ab 23 243ab 1 20 特别当特别当b = a 时时, 就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积34.3a 23;.上一页

13、上一页下一页下一页返回首页返回首页三、定积分在经济中的应用举例三、定积分在经济中的应用举例例例8 某公司研发推出一种新产品，预计产品价格某公司研发推出一种新产品，预计产品价格P 随时间随时间t （从产品上市开始计算月数）变化的函数为（从产品上市开始计算月数）变化的函数为 ( )100.2p tt (万元万元/件件). 在时刻在时刻 t 时时, 此产品的边际此产品的边际需求量需求量 Q(t)与价格与价格p(t)及其变化率及其变化率 ( )p t 有关，且满足有关，且满足 202 ( )( )10( ),p tQ tp t 又当产量为又当产量为Q件时的边际生产成本为件时的边际生产成本为 20.5(

14、 )5 ( )1)3(Q ttQCt （万元（万元/件）件） 求该产品一年内能给公司创造的总利润求该产品一年内能给公司创造的总利润 24;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解 将价格函数代入边际需求函数得将价格函数代入边际需求函数得( )202 ( )10( )Q tp tp t 20.4 , t 202(100.2 )10(100.2 )tt 在在t 时刻的边际生产成本为时刻的边际生产成本为2( )0.5(20.4 )5(20.4 )13C ttt 20.081.25,tt 25;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 120( )( )( )LP t Q tC tdt 123

15、200.162.4153ttt =433.44(万元万元). 于是生产该产品在一年内的总利润为于是生产该产品在一年内的总利润为 因为因为总利润总利润=总收入总收入- -总成本，总成本， 12200.164.815ttdt 26;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例9 某企业生产某产品某企业生产某产品x单位时的边际收益为单位时的边际收益为 ( )1000.2R xx （元（元/单位）单位）(1)求生产求生产x单位时的总收益单位时的总收益R(x)及平均收益及平均收益 ( );R x（2）求生产）求生产100个单位该产品的总收益及平均收益，个单位该产品的总收益及平均收益， 并求再生产并求再

16、生产100个单位时该产品所增加的总收益个单位时该产品所增加的总收益 解解 (1)因为因为 (0)0,R 所以总收益为所以总收益为:27;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页平均收益为平均收益为( )( )R xR xx 0( )(0)( )xR xRR t dt 21000.1.xx00.2(100)xt dt 1000.1 . x解解 (1)因为因为 (0)0,R 所以总收益为所以总收益为:28;.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页(2) 生产生产100个单位该产品的总收益为个单位该产品的总收益为2(100)100 1000.1 100R平均收益为平均收益为(100)(100)100RR 再生产再生产100个单位该产品所增加的总收益为个单位该产品所增加的总收益为(200)(100)RRR 7000 （元元) ). .200100(