正余弦定理练习题(学生讲义)(共13页)

1、正弦定理正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= =2R（R为ABC外接圆半径） 1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC当中SABC= 两边同除以即得：=证明二：（外接圆法）如图所示，同理 =2R，2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90°+|cos(90°-C)=|cos(90°-A) =同理，若过C作垂直于得： = =正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其

2、它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:三、讲解范例：例1 已知在例2 在例3 例4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCAC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用正弦定理测试题1在ABC中，A45°，B60°，a2，则b等于()A.B. C. D22在ABC中，已知a8，B60°，C75°，则b等于()A4 B4 C4 D.3在ABC中，角A、B、C的对边分

3、别为a、b、c，A60°，a4，b4，则角B为()A45°或135° B135° C45° D以上答案都不对4在ABC中，abc156，则sinAsinBsinC等于()A156B651C615 D不确定5在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A105°，B45°，b，则c()A1 B. C2 D.6在ABC中，若，则ABC是()A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形7已知ABC中，AB，AC1，B30°，则ABC的面积为()A. B.C.或 D.或8ABC的内角A、B、C

4、的对边分别为a、b、c.若c，b，B120°，则a等于()A. B2C. D.9在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a1，c，C，则A_.10在ABC中，已知a，b4，A30°，则sinB_.11在ABC中，已知A30°，B120°，b12，则ac_.12在ABC中，a2bcosC，则ABC的形状为_13在ABC中，A60°，a6，b12，SABC18，则_，c_.14已知ABC中，ABC123，a1，则_.15在ABC中，已知a3，cosC，SABC4，则b_.16在ABC中，b4，C30°，c2，则此三角形有_组解

5、17如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？18在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2，sincos，sin Bsin Ccos2，求A、B及b、c.19(2014年高考四川卷)在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A，sin B.(1)求AB的值；(2)若ab1，求a，b，c的值20AB

6、C中，ab60，sin Bsin C，ABC的面积为15，求边b的长余弦定理1余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 问题 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？推导 如图在中，、的长分别为、即同理可证 ，2余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角三、讲解范例：例1在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C例2在ABC中，已知a2730，b3696，C82°28，解这个三角形例 3 ABC

7、三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A例4 设=(x1, y1) =(x2, y2) 与的夹角为q （0qp），求证：x1x2+ y1y2=|cosq余弦定理测试题源网1在ABC中，如果BC6，AB4，cosB，那么AC等于()A6B2C3 D42在ABC中，a2，b1，C30°，则c等于()A. B.C. D23在ABC中，a2b2c2bc，则A等于()A60° B45°C120° D150°4在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanBac，则B的值为()A. B.C.或 D.或5在ABC中，a、

8、b、c分别是A、B、C的对边，则acosBbcosA等于()Aa BbCc D以上均不对6如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度决定7已知锐角三角形ABC中，|4，|1，ABC的面积为，则·的值为()A2 B2C4 D48在ABC中，b，c3，B30°，则a为()A. B2C.或2 D29已知ABC的三个内角满足2BAC，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_10ABC中，sinAsinBsinC(1)(1)，求最大角的度数11已知a、b、c是ABC的三边，S是ABC的面积，若a4，

9、b5，S5，则边c的值为_12在ABC中，sin Asin Bsin C234，则cos Acos Bcos C_.13在ABC中，a3，cos C，SABC4，则b_.14已知ABC的三边长分别为AB7，BC5，AC6，则·的值为_15已知ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S，则角C_.16(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为_17在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程x22x20的两根，且2cos(AB)1，求AB的长18已知ABC的周长为1，且sin Asin Bsin C.(1)求边AB的长；(2)若ABC的面积为sin

10、C，求角C的度数19在ABC中，BC，AC3，sin C2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A)的值20在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin BsinC，确定ABC的形状正余弦定理的综合应用1正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决例1已知a、b为ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值例2已知ABC中，三边a、b、c所对的角

11、分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列求证：sinAsinC2sinB2正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例3求sin220°cos280°sin20°cos80°的值例4在ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长 ()例5已知三角形的一个角为60°，面积为10c2，周长为20c，求此三角形的各边长评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用(2)由条件得

12、到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力例6在任一ABC中求证：例7在ABC中，已知，B=45° 求A、C及c例8 在ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且2cos(A+B)=1 求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）ABC的面积例9 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, ÐBDA=60°, ÐBCD=135° 求BC的长例10 ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1°求最大角 ; 2°求以此最大角为内

13、角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积例11 在ABC中，AB5，AC3，D为BC中点，且AD4，求BC边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为后，建立关于的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：由三角形内角平分线性质可得，设BD5，DC3，则由互补角ADC、A

14、DB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA正余弦定理高考真题解析一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1(2014·湖北)在ABC中，a15，b10，A60°，则cosB()AB.C D.2(2014·天津)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sinC2sinB，则A()A30° B60°C120° D150°3(2014·江西)E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tan

15、ECF()A. B.C. D.4(2011·青岛模拟)ABC中，若lgalgclgsinBlg且B，则ABC的形状是()A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形5ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B30°，ABC的面积为0.5，那么b为()A1 B3C. D26已知锐角A是ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若sin2Acos2A，则()Abc2a Bbc<2aCbc2a Dbc2a二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7(2014·江苏)在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若6cosC，则的值是_8(2014·山东)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，sinBcosB，则角A的大小为_9(2014·新课标全国)在ABC中，D为BC边上一点，BC3BD，AD，ADB135°.若ACAB，则BD_.10(2014·新课标全国)在ABC中，D为边BC上一点，BDDC，ADB120°，AD2.若ADC的面积为3，则BAC_.三、解答题：