平面向量的线性运算练习

1、一、知识介绍1、向量的加法:如图3,已知非零向量A.b，在平面内任取一点A,作AB =a, BC =b,贝U向量AC叫做a与b的和，记作a+b,即a+b=AB+BC=AC2、向量加法的三角形法则：首尾相接：第二个向量要以第一个向量的终点为起点，然后由第一个向量 的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量，如上图3。(向量减法的三角形法则类似)3、向量加法的平行四边形法则：如图4,以同一点0为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则 以0为起点的对角线0C就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做 向量加法的平行四边形法则。(向量减法的平行四边形法则类似)4、向量的减法:5、相关概念

2、:(1) 零向量：B、零向量与任意向量都平行性质：A、零向量的相反向量是零向量；(2) 单位向量：规定长度为1的向量(3) 相等向量：(4) 相反向量：方向相反，长度相等(5) 共起点向量：(6) 共终点向量：(7) 共线向量(平行向量)：如果 a (a0)与b共线，那么有且只有一个实 数入使得b=?a。6实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入a,它的长度与方向规定如下：(1) 1 入 a|=| 入 |a|; 当入0时，入a的方向与a的方向相同；当入v 0时，入a的方向与a的方 向相反。实数与向量的积的运算律：设 入、卩为实数，那么(1) 入(卩a)=(入

3、卩)a;(2) (入+卩)a=入a+卩a;(3) 入(a+b)=入 a+ 入 b.7、向量的模：向量的长度8、向量的分解：(用到的知识点包括平行四边形法则和三角形法则，实数与向量的积，共线向量， 模)例1已知向量OA，OB和p，q求作：(1)向量p分别在OA， OB方向上的分向量。(2)向量q分别在OA， OB方向上的分向量。例2已知：平行四边形 ABCD,点E,F在边AB上, AE=EF=FB P是边AD的中点，直线 EGFH都与AD平行，分别交 DC于点G，H。直线PQ与AB平行，分别交 EG, FH，BC与点0,M，Q，设AE =a , AP =b。分别求 AC，OC，BG关于a，b的分

4、解式。例3、在三角形 ABC中，已知AB=a , BC=b , G是重心，请写出 AG关于a , b的分解式。DC9、运算法则:（1 ）交换律：如图 5,作 AB =a，AD =b,以 AB.AD为邻边作口ABCD 贝U BC =b，DC =a。因为 AC =AB +AD =a+b, AC =AD +DC=b+a,所以 a+b=b+a=（2 ）结合律：如图 6,因为 AD = AC +CD =（ AB + BC）+ CD =（a+b）+c ,AD = AB + BD = AB+（ BC+CD）=a+（b+c）,所以（a+b）+c=a+（b+c）经典例题1、化简: BC +AB DB+cd+bc

5、 AB+DF+CD + BC + FA2、已知正方形ABCD勺边长为1, AB =a, AC =c, BC =b,则|a+b+c|为（）A.0B.3 C.2D.223、设a=（ AB+CD）+（ BC+DA） ,b是任一非零向量，则下列结论中正确的为（）a/ b；a+b=a；a+b=b；|a+b| v|a|+|b| ；|a+b|=|a|+|b|。A. B. C. D. 4、如图7, D E、F分别是 ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF - DB等于（）A. FD B. FC C. FE D. BE5、下列式子中不能化简为AD的是（）A.( AB+CD)+ BC B.(AD +MB )+(

6、 BC+CM)C. MB +AD BMD OC - OA + CD6设两非零向量ei、e2不共线，且ke +e2与e +ke2共线，则k的值为（）A.1B.-1C. ±1D.08、平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点O，设BA 二 a, BC = c（1）用a、c的线性组合表示 BD ；第24题图（2）用a、c的线性组合表示 AO9、在梯形 ABCD中，AD BC,OD : OB =1:4，设OB = b, OC = c第25题图(1 )用b、c的线性组合表示求 BC ；(2 )用b、c的线性组合表示求 AD课堂练习1、已知 ABC的重心为G, O为坐标原点，OA=a，O

7、B=b, OC =c，求证:OG = 3 (a+b+c)1bbh2、在厶 ABCAE =5 AB , EF/ BC,EF交 AC于 F,设 AB=a, AC=b,则 BF 用 a、b表示的形式是BF =。3、下面给出四个命题： 对于实数 m和向量a、b恒有：m(a-b)=ma-mb 对于实数 m、n和向量 a，恒有(m-n )a = ma - na 若 ma 二 mb(m R)，则有 a = b 若 ma 二 na(m, n R, a = 0)，贝U m = n其中正确命题的个数是()(A) 1( B) 2(C) 3( D) 44、若a与b的方向相反，且 a > b，则a+b的方向与a的

8、方向 ;此时 a+b|a - b .13.在厶ABC中，O为厶ABC内一点，且满足0A 0B 0C =0，则点0是厶ABC的()AB5、已知D、E、F分别是 ABC的边BC、CA AB的中点，且 BCCA 二 b,(1)分别用向量a、c表示AM ,MN;(2)用向量a、c的线性组合表示 AN.8已知D、E F分别是 ABC的边BC CA、AB的中点，且 BC = a ,CA 二 b,则下列各式：i T Tad Be c f111EF c b ; BE = ab222.其中正确的等式的个数为 CF - a - b ；2 2111则下列各式：EFc- b ；BE二a -b ；CF222AD B E

9、 C R) 其中正确的等式的序号为(6、在 L ABCD 中， AB 鳥,AD1AN = 3NC，M为BC的中点，则 H。(用a、b表示)7、如图，在"ABC中，M、N分别是AC、BC的中点，AN、BM交于点G ,设 AB =a,AC =c(AB -CD) -(AC - BD)=N9.D、E、F 是 ABC 的边 AB、BC、CA的中点,贝V AF DB = 10.化简:12.如图，ABCD是一个梯形， AB/ CD,且 AB=2CD, M、N分别是 DC 和AB的中点，已知 AB =a, AD =b，试用a, b表示BC和MN .A.外心B.内心C.重心D.垂心14.在厶ABC中，

10、已知 D是AB边上一点，若AD =2DB，CD =CA ，CB，则=3T t T T T15. BC =-2a +8b , AB=a +5 b，CD =3 a -3b，则(A A、B、C三点共线B A、B、D三点共线C A、C、D三点共线D B、C、D三点共线16.已知非零向量a，b 满足 a=2e 1 -e 2，b=ke 1 +e 2 . (1)若 e 1 与 e 2 不共线,与b是共线，求实数k的值；(2)是否存在实数k,使得a与b不共线，e 1与e 2是共线?17.已知：在任意四边形 ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点.一 1 一求证：EF (AB BC)2T tT T_jT T_

11、jT18. AB =2a +3b , BC =3 a +2 b , CD =3 a+3 b，则()A . A、B C三点共线B .A、B、D三点共线C. A C、D三点共线D . B C、D三点共线课后作业1、已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是 AD、DC的中点.T 4 T * T rAB = a , AC = b，贝V DE DF 是()(B)a b ；(C) a b ；(D) a -'b .2 2 2求证：EF J(AB BC)22、已知.；ABC,DE、F分别是AB, BC,CA的中点，设(A)丄 a b ；23、若向量x、y满足2x - 3y二a,3x -2y二b, a、b为已知向量，则x =i -frrI-4、2a3b- c- 3a- 2bc=5、当向量a与单位向量e方向相反，长度为 2时，a =;6、 若 才b =C, a + 2b =3C（ C式零向量），则a_b （填“平行