平面向量方法解决选择题答题技巧

1、分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐第二讲 平面向量的解题技巧【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一， 题型主要有选择题、 填空题，也可以与其他知 识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主.透析高考试题，知命题热点为：1. 向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积.2 平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义.3 两非零向量平行、垂直的充要条件.4 图形平移、线段的定比分点坐标公式.5 由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解 析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题， 处理有

2、关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.6 利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转 化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题.【例题解析】1.向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念掌握向量的加法和减法(3) 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算(5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件(6)

3、掌握平面两点间的距离公式 例1 ( 2007年北京卷理)已知°是 ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且LUU uuu ULU2°A OB °C 0，那么()UJLT UUTLUU UUUUUTULLTUUU UJUA. AO OD B. AO 2ODc. AO 3ODD. 2AO OD命题意图：本题考查能够结合图形进行向量计算的能力.UUU解: 2OAuuu uuruurOB OC 2OAUUU UULTUULr(DB OD) (DCuuuruuuOD) = 0, DBuuirDC,UUTUUUTuuir2OA 2OD 0, AOUULT OD.故选A.例2

4、. (2006年安徽卷)在uuuYABCD 中，ABr uult r uuir a,AD b,ANuuir3NC,M为BC的中点，UJUU则MN.(用r rab表示)命题意图：本题主要考查向量的加法和减法，以及实数与向量的积uuir 解:由 ANUUUU uuruuiruuiur ram3NC 得 4 AN 3AC=3(a b)T 1 TUUUUa -bMN2，所以，3 TTT1 T(a b) (a b)4 21T 1 a -44例3. (2006年广东卷)如图1所示，D是厶ABC的边AB上的中点，则向量 CD ()第 5 页 (共 14 页)Wisdo m&Love2020年6月10

5、日星期三(A)BC2ba2(B)BCIba21 -1 BC-BABC-BA(C)2(D)2命题意图：本题主要考查向量的加法和减法运算能力CD CB BDbc Iba解:2 ，故选A.1 722的夹解相等，且模为1的向量是 （）43434 3(A)5 5(B) 55或552 72 122 12<2 13 ,33 ,3亠3 3(C)(D)或例4.（ 2006年重庆卷）与向量a =命题意图：本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题r 4 3,4 3 ,C c 5, 5 或-5,5 时,c 1.解：设所求平面向量为C,由 5 55 54,3 时，cosa，cn3 一 51 一

6、 24 一 57 - 2故平面向量c与向量a =7,2，b7 223 - 524 - 521 - 21 72 2的夹角相等故选B.例5.（2006年天津卷）设向量a与b的夹角为且 a (3,3) , 2b a ( 1,1)，则 cos7 413C N5 时,C0Sa'C另一方面，当a c2 5251a cJ' 7 21 24 23 2222,55，以及用平面向量的数量解：设bx, y，由 2b2 x, y 3,3 2x 3,2 y 31,1X2y2'2r b h 2 xy命题意图：本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积 积处理有关角度的问题例6. ( 2006

7、年湖北卷)已知向量是不平行于x轴的单位向量，且a b 3，贝y171 - 23 -2，以及方程的思想解命题意图：本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积 题的能力x'y(x y)，则依题意有-2 yxi,2故选B.LTUT uiLT UU例7设平面向量叽a2、a3的和a1 a2如果向量lx ur°、b3，满足ir2 aLT，且3i顺u时针旋转30后与b同向，其中i 1,2,3，则()Ird頃awdBr ollmITa17Ar owb17r oLTb105Lrb17命题意图：本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念LTLWILrLTILLur常规解法

8、:a1a2as02a12a22a30故把2ai (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30urITnit后与b重合，故b1b2bj0，应选D.LTrLLLLLLLT巧妙解法:令 a1 =0则32 =a3，由题意知b2 =:b3，从而排除B, C,同理排除A，故选(D).u rr点评：巧妙解法巧在取a = 0，使问题简单化本题也可通过画图，利用数形结合的方法来解决2. 平面向量与三角函数，解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知

9、识，将所给问题转化为代数问题求解(2) 解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.例8.设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x R,且函数(x)的图象经过点-,24(I)求实数m的值；(H)求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.解：(I) f (x) ago m(1 sin 2x) cos2x分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐nnnfm 1 sin cos 2由已知 422 ，得m 1.(n)由(I)得f (x)1 sin 2x cos2xnsin 2x1当4时，f (x)的最小值为nsin2x -1xx由

10、4，得x值的集合为f(x)a(m.例2.设函数a、b 其中向量 -11.2 sin 2x -413 nkn , k Z8cosx),b (1 si nx,1),x R,且 f(n)22(i)求实数m的值；(n)求函数f (x)的最小值.nnfm 1sincos2解:(I)f(x)agb m(1 sinx) cosx22 2 ，得m 1f (x) sinx cosx 1.2 sin x n1sin x 1(n)由(i)得4，当4时,f(x)的最小值为12 .uuu uuuruuu unr例9 已知 ABC的面积为3，且满足0 < ABgAC < 6，设AB和AC的夹角为(I)求的取值

11、范围;f ( ) 2sin 2 . 3 cos2(II)求函数4的最大解：(i)设ABC中角A B, C的对边分别为a，b，c.则由1-bcsi n230 < bccosW 6 可得0三cotW 1.n n ,4 2(n)f()2 n2sin 43Icos21ncos 22,3 cos2tn3 cos2sin 2 3 cos 21 2si n21(1sin 2 )3Wisdo m&Love第4页(共 14 页)2020年6月10日星期三分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐-n nn, 2 4 23n 2 n63n2 < 2sin 21 < 335 nn即当12 时，f()

12、max3; 当4 时f ( ) min2例10.(2007年广东卷理)B(0,0)、C (c,0)求c的取值范围;uur 则AC (2,ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、求sin ZA的值；(2)若/A为钝角,uurAC (c 3,已知(1 )若 c=5 ,uuuAB解: (1)(3, 4)4)若 c=5 ,4)cos Auur uun cos AC, AB6 165 2、53c 9160,(2 )ZA为钝角，则c0,解得253,.c的取值范围是(25,例11 . (2007年山东卷文17)在 ABC 中，角 A B,C的对边分别为a,b,c,ta n Cuuu ULW 5CBgC

13、A -(1 )求 COSC ；( 2)若2，且 a b 9，求 c .Q tan C解: (1)3-. 7,sin C cosC3、7又Q sin2 Ccos2 C 1cosC1小1 cosC -解得8 .Q tanC0C是锐角.8uuu uuu55Q CBgCAabcosC(2)22ab 20.又 Q a b 9a2 2abb281 .a2b241.2 2 2cab 2abcosC 36c 6例12.(2006年湖北卷)设函数frcr b,其中向量sin x, cosx ,b sin x, 3cosxc cosx,sin x ,x R(I)求函数f x的最大值和最小正周期;第 11 页 (共

14、 14 页)Wisdo m&Love2020年6月10日星期三(n)将函数y fx的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的rd命题意图：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像 的基本知识，考查推理和运算能力.r r r解：(I )由题意得，f(x)= a ( c)=(sinx, cosx) - (sinxcosx,sinx 3cosx)3 1=sin2x 2sinxcosx+3cos2x = 2+cos2x sin2x = 2+ 2 sin(2x+ 4 ).2所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是飞=.33k 3(

15、n)由 sin(2x+ 4 ) = 0 得 2x+ 4 = k.，即 x= 28 ,k Z,rd42d因为k为整数，要使最小，则只有k= 1,此时d =( 8， 2)即为所求r例13 . (2006年全国卷II)已知向量a =lns1Vnn(1, cos 0 ),三 <0<2 r b+ raI的最大值.命题意图：本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三 角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力若Iransi贝0 + cos 0 (#,由此得(n) 由 a+bnnntan 0=1( 2 <0<2)，所以0=4 ;d,0| = (sin 0

16、书)2 + (1 + cos 0)2=73 + 2(sin 0 + cos) 03 + 2 2sin( 0+j,nn-当sin( 0 +)= 1时，|a+ b|取得最大值，即当0=4时，|a + b|最大值为.2 + 1.例14 . (2006年陕西卷)如图，三定点uuuruuu uuuuuuuuuuulltADtAB,BEtBC ,DMtDE ,t0,1.A(2,1), B(0, 1),C( 2,1);三动点 D、E M 满足(I)求动直线DE斜率的变化范围;(II)求动点M的轨迹方程。命题意图：本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、 三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识

17、， 考查推理和运算能力.解法一：如图,(I )设(xO,yO),E(xE,yE),M(x,y)由=t,= t ,知(xD - 2,yD 1)=t( - 2, 2).xD= - 2t+2yD= - 2t+1同理xE= - 2t yE=2t - 1 kDE =yE- yD xE- xD2t - 1 - (- 2t+1)-2t - (- 2t+2)= 1 - 2t t 0,1 , kDE 1,-.(II ) T =t (x+2t -2,y+2t - 1)=t( - 2t+2t - 2,2t - 1+2t - 1)=t( - 2,4t- 2)=( - 2t,4t2 - 2t).x=2(1 - 2t)y

18、=(1 - 2t)2 y=4 ,即 x2=4y./ t 0,1, x=2(1- 2t)巳2-即所求轨迹方程为：x2=4y, x 2询解法二：(I )同上(I)如图，=+ = + t = + t( ) = (1 t) +t,=+ = +t = +t() =(1 t) +t,=+= + t= +t( )=(1 t) + t=(1 - t2)+ 2(1 - t)t+t2 .设 M 点的坐标为(x,y),由 =(2,1), =(0, - 1), =( - 2,1)得x=(1 -12) 2+(1 - t)t 0+t2-2)=2(1 - 2t) y=(1 -1)2 1+(1 - t)t ( 1)+t2 1

19、= - 2t)2消去t得x2=4y,x -2,2.故所求轨迹方程为：x2=4y, x 2-；2例15 . (2006年全国卷II)已知抛物线x2= 4y的焦点为F, A、B是抛物线上的两动点，且AF=XFB (入0).过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(I)证明FM AB为定值；(1)设厶ABM的面积为S,写出S= f( )的表达式，并求 S的最小值.命题意图：本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程，以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.解：(I )由已知条件，得F(0, 1)，入0.设 A(x1 , y1), B(x2, y2).由 AF=XFB,-X1

20、=心2即得 (-x1，1-y)=X (x2 ,y2- 1),1 - y1=X(y2- 1)1 1将式两边平方并把 y1 = 4x12 , y2 = 4x22代入得 y1 =入2y21解、式得 y1 =入，y2 =，且有x1x2 =入x22 = 4入y2 =,分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐1 1抛物线方程为y= 4x2，求导得y'x.所以过抛物线上 A、B两点的切线方程分别是1 1y= 2x1(x x1)+ y1 , y= qx2(x x2)+ y2 ,11 11 即 y = x1x 4x12, y = $x2x 4x22.% x2x x2% x2解出两条切线的交点M的坐标为(2,2

21、) = ( 21).N X2所以 FMAB= (2, 2) (x2x1,1 1 1y2 y1) = 2(x22 x12) 2(x22 x12) = 0.所以FMAB为定值，其值为 0.1（II ）由（I ）知在 ABM中, FML AB,因而 S=?|AB|FM|.|FM| =(一2 一)2 + ( 2)2 =；X12 + ；X22 + 2x1x2 + 4 =y1 + y2+ 2" 4)+ 4 =因为|AF|、|BF分别等于A、B到抛物线准线y = 1的距离，所以1厂 1|AB|=|AF|+ |BF|= y1 + y2 + 2 =X +_+ 2=（入+）2.入它入由，入+ 入2知S&

22、gt;4,且当 入=1时，S取得最小值4.【专题训练与高考预测】一、选择题1 .已知 a(2'3),b （4,x）,且a/b,则x的值为（）8 8A. 6 B. 6C. 3 D. 32 .已知AA BC中，点D在BC边上，且CD 2DB,CD rAB sAC,则r S的值是（)24A. 3b. 3C. 3 D . 03 把直线x 2y 0按向量a（ 1 2）平移后，所得直线与圆2 2x y 2x 4y5相切，则实数 的值为（A）A. 39B. 13 C- 21 D 394. 给出下列命题：a b=0，则a=0或b=0. 若e为单位向量且ae，则a=| a| e.aaa=|a|3.若a与

23、b共线，b与c共线，则a与c共线其中正确的个数是（）A. 0 B. 1C. 2 D. 35在以下关于向量的命题中，不正确的是（）A若向量 a=（x , y）,向量 b=（ y, x）（x、y丰 0），则 a±bB. 四边形ABCD是菱形的充要条件是 AB = DC，且| AB |=| AD |C. 点G是厶ABC的重心，则GA+GB+ CG =0D. ABC中，AB和CA的夹角等于180°A6若O为平行四边形 ABCD的中心， AB = 4e1,= 6e2,则3e2 2e1等于（）A. AOB.BOC.COD.DO7. 将函数y=x+2的图象按a= （6, 2）平移后，得到

24、的新图象的解析式为（）A.y=x+10B.y=x 6C.y=x+6 D.y=x 108. 已知向量 m=（a,b），向量 mln且|m|=|n|,则n的坐标为A. （a, b）B.（ a,b）C.（b, a）D.（ b, a）9. 给出如下命题：命题（1）设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都 存在惟一的一对实数 x、y,使a=xe1+ye2成立；命题（2）若定义域为R的函数f（x）恒满足丨f（ x） I = I f（x） I则f（x）或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（）A.命题（1） （2）均为假命题B命题（1） （2）均为真命题C命题（1）为真命题，命题（2

25、 ）为假命题D.命题（1 ）为假命题，命题（2 ）为真命题10 .若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是（ ）A. a= 0 或 b= 0B.|a|=|b|C. a?b=0D.以上都不对11 . O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足|AB| |AC则P的轨迹定通过ABC的()A.外心B .内心C.重心D .垂心-a-r12.若 a2, 3,1 b52,0,3,C0,2,25则a bc =()A.4B.15C .7D.3二、填空题uuu uu ABACOP OA(-turuur),0,).LuffLULT第15 页 （共 14 页）Wisdo m&Lov

26、e2020年6月10日星期三分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐1.已知|AB| 3,| AC | 4,AB与AC的夹角为60°,则AB与AB - AC的夹角余弦为2. 已知 a =( 4,2,x), b =(2,1,3),且 a 丄 b，则 x =.3. 向量(a 3b) 7a 5b , a 4b 7a2b，则a和b所夹角是4. 已知 A(1,0, 0), B(0, 1,0 ), C(0, 0, 1),点 D 满足条件：DB丄 AC, DC丄 AB,AD=BC，贝U D的坐标为5 .设a，b是直线，是平面，a ，b ，向量a1在a上，向量b1在b上，a11,1,1, b1 3,4,0，

27、则三、解答题所成二面角中较小的一个的大小为1. ABC中，三个内角分别是aA、B、C,向量(2osC,42 2 2b),当tanA tan B19时,第21 页 （共 14 页）Wisdo m&Love2020年6月10日星期三求 |a|.2在平行四边形 ABCD中，A (1, 1) , AB (6,0)，点皿是线段AB的中点，线段CM与 BD交于点P.uuur(1)若AD (3,5)，求点C的坐标；(2)当|AB| |AD|时，求点P的轨迹.3. 平面内三个力F1 ,6 2为 1kg ,2 kg,F2F14. 已知a, b都是非零向量, 夹角5. 设 a=(1+cos a ,sin

28、,ob=(1F3作用于同丄点O且处于平衡状态，已知F1 , F2的大小分别* * ，求F3的大小及F3与F1夹角的大小.F2的夹角是45且 a+3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求 a与b的cos 3 ,sin 3 ),c=(1,0), a (0, n ) 3与 C的,夹角为a 0 1, b 与 c的夹角为0 2, 且0 10 2$，求sin 46.已知平面向量 a= ( '3 , 1), b= ( 2 ,2 )(1)证明：a丄b;若存在实数k和t，使得x=a+(t2 3)b,y= ka+tb,且x丄y,试求函数关系式 k=f(t);(3)根据(2)的结论，确定k=f(t

29、)的单调区间.【参考答案】-、选择题1.B 2 . D 3 . A4. A5. 答案：C提示：若点G是厶ABC的重心，则有GA+ GB + GC =0 ,而c的结论是GA+ GB + CG =0 ,显然是不成立的，选C.6. B7.B8.C 9.A 10. C 11 . B 12. DAC(-1,0, 1), AB(-1,1, 0),BC(0,-1, 1).又DB丄AC-x+z=0.DC! AB-x+y=0,AD=BC12 y2Z22,联立解得x=y=z=1 或x=y=z=13所以D点为（1 , 1 , 1 )或、填空题131 .132. 23. 60°4.(111)吕(1 , 1

30、, 1)或(3, 3, 3) 5. arccos 話3 .解：1由a 3b7a 5b 05a4b 7a2b 05 2*Tkrfe-2- -2有7a16a b7a30ai b 8b05-2解得a-2 _2b b52a b5cos a：,b/a ba b12 .4.解：设D(x, y, z),则BD(x, y1,z)CDXW D( x-1, y, z ),三、解答题|a|2|a|2(f COS2 cos2 C cos 2548(98(94 cos(A B)22 cos21 cos(A4cosAcosB9sin Asin B又 tan Atan B9 sin Asin B|a|2 8故 |a|5 .

31、sin4B)4sin Asin BcosAcos B).si nAsi nB 1cosAcosB 91丄,即9cosAcosB.3 24 .2.解：（1）设点2 A B219 4cos(A B) 5cos(A B)82 A B cos 一25cosAcosB 5sinAsin B)C坐标为（X0' y°）又 AC AD AB (3,5) (6,0) (9,5)即(x。1, y。1)(9,5)X010, yo 6即点C (0 , 6)(2)解一：设 P(X,y)，则BP AP AB (x 1,y 1) (6,0) (x 7,y 1)1 1 “1 -AC AM MC AB 3MP

32、 AB 3( APAB)2 223APAB(3(x1),3(y1)(6,0)(3x9,3y3).|AB|AD|.ABCD 为菱形.AC AD,即(x 7,y 1) (3x 9,3y 3) 0.(x 7)( 3x 9) (y 1)(3y 3) 02 2x y 10x 2y 220(y1).故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半圆去掉与直线y 1的两个交点解法二：| AB | | AD |D的轨迹方程为(x1)22(y 1)36(y 1).1M为AB中点，P分BD的比为2 .设 P(x, y),B(7,1),D(3x 14,3y 2).2 2P的轨迹方程(3x 15)(3y 3)36.2 2整理得(x 5)(y 1)4(y 1).故点P