平面解析几何初步知识点

1、平面解析几何初步一、直线的概念与方程1直线的倾斜角：在直角坐标系中， 对于一条与x轴相交的直线I，把x轴(正 方向)按方向绕着交点旋转到 所成的角，叫做直线I的倾斜角。当直线I和x轴平行时，它的倾斜角为0°.倾斜角通常用a表示，倾斜角a的范围是 0 _ :- : 1802. 直线的斜率：倾斜角的-值叫做直线的斜率。通常用字母k来表示，即 k =.当k =时，直线平行于x轴或者与x轴重合；当k_0时,直线的倾斜角为锐角 当k< 0时，直线的倾斜角为 ;当倾斜角a =90时，直线的斜率 .3. 直线的斜率公式：直线上两点A( Xi, yJ,B( X2, y2),当Xi = X2时,

2、直线的斜率,当Xi = X2时,直线的斜率为 k =tan> =也冷_Xi4. 直线方程的五种表达形式及适用条件名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率 b 纵截距倾斜角为90°的直 线不能用此式点斜式y-y0= k(x-X0)(X0 , y0)直线上已知点，k 4率倾斜角为90°的直 线不能用此式两点式y% x为丫2一力X2 为(x1, y1), (x2, y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行 的直线不能用此 式截距式x y + =1 a ba直线的横截距 b直线的纵截距过(0, 0)及与两 坐标轴平行的直 线不能用此式一般式Ax +By +C =0(a2+b

3、2A、B不能同时为零5.几种特殊的直线方程(1) 过点 P(a,b)垂直于x轴的直线的方程为： 过点 P(a,b)垂直于 y轴的直线的方程为 (2) 已知直线的纵截距为 b，可设其方程为： (3)过原点且斜率为 k的直线的方程为 6 两条直线的位置关系：(1) 直线平行的条件：两条不重合的直线h、12，根据两条直线平行的定义及性质可知I1/I2U1八2,再由k与的关系可知：11丨2时或者«、k2均；反之k1 k2或者«、k2均不存在时两条直线平行。注：考查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在。(2 )直线垂直的条件：两条直线|12的倾斜角为：12则两条直线h 丨2= I

4、2 I 90.根据两条直线的斜率判断两条直线垂直的情况分为两类，一是：其中一条直线的斜率不存在 ，另一条直线的斜率为 ;二是:两条直线的斜率都存在，且乘积为.(3)方程直线 h:y = &X + 0 , 直线 l2: y = k2x + b2 ,直线 h ： Ax + B# + 0 = 0 直线 l2 ： A2x+B2y+C2 = 0,关系重合=k2 且 6 =b2A1 B2 A2 B1= 01B1C2 B2C1 = 0平行k k2 ,b1 b2<尿2一"=0 或；'AB-AZO1B1C2 B2C1 式 01A1C2 A2C+ 0垂直= 1A1A2 + B B2

5、 = 0相交k1 Hk2A1B2 A207.直线的交角：直线11到12的角(方向角)；直线11至 方向旋转到与 12重合时所转动的角 tk2-k1ta n廿一1"应两条相交直线丨1与丨2的夹角：两条相交 交所成的四个角中最小的正角 日，又称为0,，当日云90，则有tan日一,< 21+2Jl2的角，是指直线I1绕交点依逆时针 )，它的范围是(0,兀)，当B式90时直线丨1与I2的夹角，是指由I1与丨2相 勺I1和丨2所成的角，它的取值范围是8.距离公式(1)两点间的距离公式：平面内任意两点R (xi, yi), P2(x2, y2)之间的距离为 P1P2 = V(X2 -Xi

6、f +(y2 -yi f(2)圆的一般方程:当 D2 E2-4F 022x y Dx Ey F = 0 .时，方程表示一个圆，其中圆心C卫2冷，半径(2) 点到直线的距离公式：设点P(x0,yo)，直线I ： Ax By C = 0, P到IAx 0 By 0 C的距离为d，则有d =_.I .加;A2+B2(3) 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线I 1： Ax By C i=0,C i -C 2I2： Ax - By C0(C<<2)，它们之间的距离为 d，则有d 一 .空 a2+b29直线系在点斜式方程y-y°=k(x-x0)中， 当(X。，y°)确定

7、，k变化时，该方程表示过定点(X。，y°)的旋转直线系， 当k确定，(X。，y。)变化时，该方程表示平行直线系Jd2*E2 Fr :2D E II 2, 2/ 当D2 E2-4F :：: 0时，方程无图形(称虚圆)."x = a + r cos,厶、仏(日为参数).=b + r sin。当D2E2-4F =0时，方程表示一个点(3)圆的参数方程:已知直线I: Ax By C = 0则方程Ax By " 0(工：二0),入是参变量，表示与I平行的直线系; 方程Bx - Ay =0,入是参变量，表示与I垂直的直线系。I i:Ai x +Bi y +Ct = 0过两直线

8、丿i i " i的交点的直线系方程为12：A2x +B2y *C2 = 0Aix Biy G (A2x B2y C2) = 0('为参数，A2x B2y C2 = 0不包 括在内)二、圆的方程(4)圆的直径式方程：(x-xJd-x?) (y-yd(y- y2) = 0,其中A(xi, yi) , B(X2,y2)是圆的一条直径的两个端点.(用向量可推导)2用待定系数法求圆的方程:(1) 根据提议，选择标准方程或一般方程；(2) 根据条件列出关于 a、b、r或D、E、F的方程组；(3) 解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。三、点、线、圆的位置关系 i点和圆的位置

9、关系：给定点 M在圆C内二 M在圆C上二 M在圆C外:二 2直线与圆的位置关系M(X0,y°)及圆 C :(x a)2 (y b)2=r2 . (X0_a)2 (y 0 _b)2 r2 (x°a)2 (y0-b)2 二r2222(X0_a)(y0_b) 一ri圆的方程的几种表达形式(i) 圆的标准方程：(xa)2，(y-b)2二r2，其中点C(a, b)为圆心，r为半径.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是:x2 y 2 =r 2注：特殊圆的方程： 与x轴相切的圆方程(x-a)2，(y _b)2中2r二b,圆心(a,b)或(a,-b) 与y轴相切的圆方程(x - a)

10、2(y -b)2二a2 r =a,圆心(a,b)或(-a,b)代数法：直线 I : Ax By 0(A2 - B2= 0)，圆 C : x2 y2 Dx Ey 0 联 立得方程组Ax By C = 0消元22> 一元二次万程x y Dx Ey F = 0相切! - 0=相交 , -b<4ac 二 ° =I A <0U相离与x轴y轴都相切的圆方程(x二a)2 ( y二a)2二a2r = a,圆心(_a,_a)(2)几何法：设圆 C : (x-a)2 (y-b)2=r2(r -0);直线 I : Ax By0 ;圆心C(a,b)到直线l的距离d =Aa Bb Cr A2

11、 B2注：若圆C的半径为R ,AB是长度为L的弦,3直线与圆相切的问题(1).求过圆上的一点(Xo,y。)圆的切线方程d c r 二弦心距为d，则_相离相切相交:先求切点与圆心连线的斜率k ,一 一 1则由垂直关系，切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程；k(2) .求过圆外一点(Xo,y。)圆的切线方程： (几何方法)设切线方程为y - y0 = k(x -x0)即kx-y -kx0 y 0撚后由 圆心到直线的距离等于半径，可求得k ,切线方程即可求出. (代数方法)设切线方程为y - y0 = k(x -x0),即y = kx -kx0 y0代入圆方程得一个关于x的一元二次方程，由0,求得

12、k,切线方程即可求出注：以上方法只能求存在斜率的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得2 2 2 2过圆x y r上一点P(x0,y°)的切线方程为xx0 yy r .4圆和圆的位置关系：(1)设两圆圆心分别为 。1、。2,半径分别为1, ", O-|O2为圆心距，则两 圆位置关系如下：A* +r22U两圆外离； O1O2二两圆外切； ImIVQ1O2 v1二 两圆相交； OjOzI =| A -r2 |二两圆内切； OQ2I <| A r2 |二两圆内含。(2) 设两圆 C1 :x2 y2 D1x E1y F0,22C2: x y D2x E2y F 0，若两圆相交

13、，则其公共弦方程为(D1 D2)x (E1-E2)y (F1-F2) =02 2 2 2(3) 过两圆C1:xyD1xE1yF0,C2: xyD2xE2yF2= 0的交点的圆系方程为： (不包含圆 C2)四、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系：(1) 如图，OBCD-DABC'是单位正方体.以A为原点，&分别以 OD,OA,OB的方向为正方向，建立三 条数轴丿二_ D,x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 儿1) A叫做坐标原点 2 ) x轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 丿d 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。/(2) .右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为 y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。(3) .有序实数组1 )空间一点 M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)(x叫做点m的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标)。(4) 点P(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为 点P(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为 点P(a,b