减肥模型及其应用

1、2014届本科毕业论文减肥模型及其应用姓 名：系另别：数学与信息科学学院专 业：_学 号：指导教师：摘要II关键词IIABSTRACT IIKEY WORDSII0引言11预备知识12问题分析23提出假设24建立减肥模型25分析已建模型 35.1 求解35.2 基于数学方面的分析 45.2.1 整体分析 45.2.2 进一步分析46模型的应用56.1 减肥要求56.2问题解析66.3不同运动达到理想目标所需天数 66.4 不同时间，不同运动下能量消耗表 6参考文献7致谢7减肥模型及其应用随着社会的发展和人们生活水平的逐步提高， 越来越多的人意识到运动健身的重要性 运动减肥 是健身运动的一个重要

2、组成部分 本文是通过建立减肥模型寻求合理的减肥方法， 并从饮食和运动两 方面来具体分析根据不同运动消耗的能量不同，最终确定最佳减肥方案关键词能量平衡；数学模型；运动；饮食The mathematical model on lose weight and the apply of itAbstractWith the developme nt of society and the gradual improveme nt of people's living sta ndards, more and more people realize the importa nee of sport

3、s and fitn ess. Los ing weight is an importa nt comp onent of the fitn ess. In this paper, a mathematical model of los ing weight is established through rati onal way. We make specific analysis from diet and exercise. According to the energy consumption of various sports, we ultimately determ ine th

4、e best pla n to lose weight.Key wordsen ergy bala nee ;mathematical model;sport;diet0引言随着人们的生活水平不断提高，人们膳食营养摄入量也在不断发生变化，这使“肥胖”成为了公众日益关注的一个重要问题 另外肥胖与目前危害人类健康的疾病如糖尿病、高血压、冠心病等有着千丝万缕的联系所以无论从健康的角度还是从审美的角度，减肥成为了人们口中持续炙热的话题，更有人花大量的时间和金钱去付诸实践，这就造就了各种各样的减肥药2、器械和治疗方法 的巨大市场同时各种假药和有害的治疗方法也应运而生，这对人们的健康造成了不可估量的伤害如

5、何科学合理的处理减肥的问题呢，对于数学人来说，数学是精确的，严密的，所以我们解决任何问题的出发点都是用精密的数学思维来处理对于生活中的肥胖问题，我们也可以用数学知识来解决，即通过建立数学模型来解决，也就是从数学角度并充分应用数学知识对有关问题作进一步的 探讨和分析，给出科学合理的减肥方法和具体实施方案1预备知识要想保持健康的身体和良好的身形，就必须有合理的饮食，中国生理科学会根据中国人的体质 特征，修订并建议了中国居民膳食指南：首先，每日膳食中，营养素的供给量标准是以保证正常人的身体健康为前提而提出的；营养素的需求量是指维持身体正常的生理功能所需要的营养素的数量如果人们从膳食中摄取营养素的数量

6、低于这个标准数量，将对身体健康产生不利的影响其次，人的体重是评定膳食能量摄入是否适量的一个重要标志，而且体重与身高的比例也是我们评判身材好坏的标准而体重的多少与人体热能的摄入量与需要量是紧密联系的，摄入量主要是指我们每日摄取的食物转化为热能的那部分，而人体热能的需要量主要有以下几部分组成：维持人体 基本代谢所需的能量（这是维持人生命体征必不可少的能量）、从事劳动和其他活动所消耗的能量（这是人能够正常的生活劳动所必须的能量，也是本论文中减肥的主要方向）、食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量，也是人体获得能量过程中所必需消耗的能量）所消耗的能量一般情况下，食用普通的混合食物，食物的特殊动

7、力作用所消耗的额外的能量为6 66.3 10 8.4 10焦耳，相当于基础代谢的10% 并且在忽略其他因素影响下可以认为单位时间内 人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量与人的体重成正比，（每人每千克体重消耗热量一般为28.75 45.71kcal ,且因人而异）从事劳动和其他活动所消耗的能量也与人的体重成正比， 并且一般情况下，从事劳动和其他活动所消耗的能量与维持人体基本代谢所需能量有关，即从事劳 动和其他活动所消耗的能量=维持人体基本代谢所需的能量 *活动强度系数再次，在本论文中，我们以成年男子为例来实行我们的减肥计划，我们已知成年男子每千克体 重每小时平均消耗热量约为 4200焦

8、耳，由男子的各项指标来完成减肥任务.最后，由于不同的活动对能量的消耗是不同的，所以不同的活动在同样的时间里对减肥的效果也是不同的，在实施减肥计划时我们也应考虑不同的活动对减肥效果的影响下面列出了几种不同的运动对能量消耗5的情况：表1-1运动项目消耗热量慢走（一小时4公里）255卡快走（一小时8公里）555卡慢跑（一小时9公里）655卡快跑（一小时12公里）700卡单车（一小时9公里）245卡单车（一小时16公里）415卡单车（一小时21公里）655卡有氧运动（轻度）275卡有氧运动（中度）350卡体能训练300卡仰卧起坐432卡走步机（一小时 6公里）345卡爬楼梯480卡爬楼梯1500级（不

9、计时）250卡爬梯机680卡游泳（一小时3公里）550卡网球425卡手球600卡2冋题分析一般情况下，体内的能量守恒被破坏是引起体重变化（变轻或加重）的主要原因所以正常人导致肥胖的主要原因是：通过饮食摄入的能量多于机体消耗的能量，致使多余的能量转化为了脂肪并 贮存于体内因此解决肥胖问题的关键就转换为研究人体能量的摄入与消耗，并说明在什么情况下才能科学合理地消耗掉囤积于肥胖者体内多余的脂肪，从而达到健康减肥的目的3提出假设影响肥胖的原因多种多样，例如，饮食异常，遗传因素，神经内分泌因素，能量代谢异常等， 而遗传因素，神经内分泌因素，能量因素等身体异常引起的肥胖是我们建立数学模型所无法解决的， 因

10、此这里必须排除这些因素对减肥效果的影响.即假设不考虑由于人体内部发生变化（如遗产因素、生理因素、神经内分泌不正常、代谢不正常等自身因素）引起的肥胖同样当我们的身体处于不健康的状态时比如感冒时，这对我们的减肥计划也是有影响的，我们 基于不健康的状态下的计算也是没有意义的所以假设所有的运算都是基于健康状态的（不发烧、感冒、无新陈代谢疾病等）由于人体的脂肪是能量是的主要贮存和供能的方式（摄入的过多的糖和脂肪也会转化为脂肪），而且也是减肥的主要目标.所以我们就以脂肪的重量作为体重的重要标志.我们通过查阅资料已经知道脂肪的能量转换率是 100%，每千克脂肪可以转换为4.2 107焦耳的能量.记T = 4

11、2 1 07焦耳/千克，我们称之为脂肪的能量转换系数.我们不可能将所有影响减肥的因素都考虑进去，所以我们只考虑主要的影响因素，对于次要因 素我们选择性忽略， 例如，将人体的体重仅仅看成是时间 t的函数ut ,这就意味着在研究减肥的过 程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响同时无论是由于进食摄取能量导致体重的增加，还是由于劳动等体力活动消耗能量导致体重的 减少都是一个循序渐进慢慢变化的过程.因此可以认为能量的摄取和消耗都是随时发生的.即我们默认体重随时间的变化 u t是连续而且充分光滑的.人体通过各种活动（劳动、体育锻炼等）来消耗自身的能量，从而达到减肥的目的.不同的

12、活动对能量的消耗是不同的.假设在单位时间内人体的这种消耗与其体重成正比.记s为每千克体重每小时某一种活动所消耗的能量.假设单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重.记a为1千克体重每小时所消耗的能量 .如果人体每天的摄入量不同也会影响减肥计划的制定和具体数据的计算，所以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为 B.根据上述预备知识和提出的假设，我们就可以来组建有关减肥的模型4建立减肥模型减肥模型制定的是根据能量平衡原理制定的，所以下面先给出能量平衡原理的定义：定义：能量平衡是指在一定时间段内，人体中的能量相对保持平衡即在一定时段内，输入和输出某水体能量之比，等于该水体

13、内蓄存能量的变化率 一般用方程式表示式中：Qw-时段内平均输入的能量流；qw-时段内平均输出的能量流；dw dt -时段内热量对时间的变化率.能量平衡理论广泛用于研究水温、蒸发、各种水体和农田的热动态和研究流域汇流、洪水运动以及风浪、环流 等我们已经知道体内的能量守恒被破坏会引起体重的变化（变轻或加重）而导致肥胖的主要原因是由于饮食摄入的能量多于机体消耗的能量，致使多余的能量转化为了脂肪并贮存于体内所以解决肥胖问题的关键就转换为研究人体能量的摄入与消耗，下面我们就从能量方面着手来解决有关肥胖 的问题，并从数学角度给出解决方案建模过程中，我们以1天（=24时）为时间的计量单位所以以天为单位的基础

14、代谢所消耗的能 量应为M =24a （焦耳/ 日） 但是一般来说，人的活动不会是全天的如果人每天活动 h小时，那么在一天内，人体由于活动所消耗的能量就是N =sh（焦耳/日）由提出的假设可知，我们可以在任何一个时间段内考虑由于能量的摄入或消耗所引起人的体重 的变化由能量平衡原理可知，任何时间段内由于体重的变化所引起人体内能量变化应该等于这段时间 内摄入的能量与消耗的能量之差我们在时间段（t,t rt）内考虑能量的变化：体重改变的能量变化=U（t亠_u（t）T ,摄入与消耗的能量之差 =B t -（M N）u：t 根据能量平衡原理，有U(t ：t) u(t)T = B (M N)u(t) ht以

15、.吐除等式两端并令.t > 0取极限，可得竺=b du ,（ 4-1）dt其中 b =B T ; d =（M N） T .如果把M理解为以减肥为目的能量消耗，方程（4-1 ）就给出了一个减肥模型5分析已建模型5.1求解根据已建立的模型，我们求解出时刻t时人的体重首先，设t =0为模型启动的初始时刻，这时人的体重为u 0 Au0.以此为初始条件求出方程（4-1 ）的解即为：u（t） =uoe"t b （1 弋型）（5-1）d在（5-1 ）中假设b =0，即假设不进食，也就是假设不摄入任何的能量，那么这时体重的变化（减少）则完全是由于体内脂肪的消耗而产生的这时有u0-u（t）u0

16、=1-e，这表明在时间 0,t内体重减少的百分率是由1-e"t给出的我们称之为 0,t时间内的体重消耗率特别地当t =1时，1-e"给出了单位时间的体重消耗率那么e"t应理解为0,t时间内体重的保存率，它表明了在时间t保存的体重占初始体重的百分数同样b d也给出了模型中一个重要的参数由于b二B.T表示的是由于能量的摄入而增加的体重，而d =（M N） T表示由于能量的消耗而失掉的体重的百分数（每单位体重中由于基础新陈 代谢和活动而消耗掉的那部分）于是b d就表示通过能量的摄取对每1 %的体重消耗所获得的体重的补充量基于上面的分析，由式（5-1 ）可以看出时间t时刻

17、的体重是由两部分构成的 一是初始体重（即模型启动时的体重）中能量消耗之后被保存下来的那部分体重，二是由于摄取食物致使所消耗的那 部分体重获得的补充量这与我们常规的认识是相符的，所以可以初步肯定这个模型的正确性，但是，我们建立的模型是否与实际相符，是否可以用于解决我们提出的问题还需要通过具体的例子进行验 证 5.2基于数学方面的分析5.2.1 整体分析下面通关全局对已建模型进行整体把握：由模型（4-1 ）可知，当且仅当 U*二b d :：: Uo时，才有du dr： 0 .也就是说只有当u* : uo时才 有可能产生减肥的效果.另外由（4-1 ）方程的求解结果（5-1 ）可知，对于上述的u,当t

18、r :时， t时刻人的体重U（t）将单调递减，并且出现 u（t） > U*的趋势，也就是说方程（4-1 ）的解逐渐趋近 并稳定于u* =b d .这样也就给出了应用减肥模型所达到的减肥最终结果，所以我们不防称U*为减肥效果指标.由b和d的表达式计算可知有 u* =B,M N）.由于M表示的是新陈代谢的能量消 耗，而新陈代谢的能量消耗是不可控制量，而且对于每个人来说它一般是一个常数，所以我们无法 通过控制它来达到减肥的目的 .于是要想达到减肥的目的只能通过控制以下两个因素来实现：由于进食而获得的能量以及由于活动而消耗的能量7.由以上可知减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加活动量.同样这也是

19、在我们的认知范围内，并且符合我们对于健康减肥的要求（不服用减肥药、泻 药等对身体有害的药物）.5.2.2进一步分析知道了影响减肥减肥的两个重要因素，下面我们进一步讨论这两个因素：能量的摄取量B与消耗量N对减肥效果u*的影响，由上面分析显然有 B=u*M u*N .如果我们建立 N-B坐标系，那 么它就是N-B坐标系中过（-M,0）点，并且斜率为u*的直线.由预备知识可知，任何人通过饮食摄 入的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需的能量，否则将对身体产生不利影响.因此作为人体体重极限值的减肥效果指标u* 一定存在一个下限u1，当u* : u时，这表明能量的摄取过低甚至摄入的这些能量无法维持他

20、本人正常的生理功能的所需，这时减肥所得到的结果认为是无效的，因为 它将危及人的身体健康，是危险的.我们称5为减肥的临界指标.同样人们在减肥过程中所采取的各种运动及各项体力劳动对能量的消耗量也不是无界限的，它 也有一个人体所能承受的范围，我们记为0 ： N : N1,于是在N - B直角坐标系中，N - B平面上由N =0,N = N1和B= 0所界出的上半带形区内，被直线I。： B = u°M uoN和h : B = 5M u1 N分割为三个区域D,E,F（图5-1）.这表明能量摄入和运动消耗同时对减肥效果起作用，也就是说减肥有效及效果如何是由控制饮食和增加消耗综合作用、相互协调的结

21、果.图中区域D表明能量的摄取量B高于体重为u。时的能量消耗量u°（MN）.这时体重不会从u。减少.我们称之为非减肥区.而当能量的摄取 B低于w（M N）时，即当落入区域F时，这时体重将减少到临界减肥指标以下， 此时虽然也可以达到减肥的效果，但这将危及人的身体健康，我们称F为危险减肥区.只有区域E所标示的B与N的组合才能实现有效的减肥 .故称E为有效减肥区.图5-1还表明只采取单一的措施 减肥，无论是保持饮食不变，加大活动量，还是活动量不变，一味的节制饮食保持饮食都将产生不 理想的减肥效果.因此饮食和消耗的适度，相互间的协调配合是我们达到理想减肥效果的重要措施.图5-1有效减肥区域6模

22、型的应用前面我们对饮食情况进行了分析，下面具体了解一下运动对减肥的影响现从人群中随机抽取五人，他们的身高，体重和BMI (人体体重指数)见表 6-1，用已建立的数学模型为他们制定相应的减肥计划，使其体重减至理想目标，并维持下去表6-1编号12345身高1.721.661.671.711.73体重101111112115123BMI34.6133.5135.2134.8235.61理想目标75808085906.1减肥要求(1) 在每天摄入的能量保持下限的前提下，基本不运动，安排减肥计划，使之达到目标(2) 下面给出正常人参加以下各项运动时，每小时每千克体重消耗的能量：表6-2各运动每小时每千克

23、体重消耗的热量消耗运动跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50m/min)热量消耗/kg7.03.04.42.57.96.2问题解析以天为时间的计量单位，则每天基础代谢消耗的能量为M =24a，但是人的运动一般不会是全天的(由于人自身条件的限制)，假设人每天的运动量为 h小时，那么每天运动的能量消耗为N二sh，在时间段t,t 强内能量的变化基本规律为：u(t ：t) -u(t)te-(M N)u(t)：t取.t > 0，可得巴=:b _dudtu 0 A Uo其中 b=BT , d =(M N) T即减肥问题的数学模型求解为：u(t)二 Uoet - 0 -e"、(6-1)d利用此

24、方法可求解出每个人要达到自己的理想目标所需的天数6.3不同运动达到理想目标所需天数首先通过调查了解此人每天每千克体重基础代谢所消耗的能量M，由于不运动，所以有N=0,B根据公示(6-1)，得：M 这就知道了每千克体重由于基础代谢所消耗的能量u。从预备知识可知，这些人普遍属于代谢消耗比较弱的人，另外吃得也比较多，并且不运动，所 以会发胖，进一步，由五人的理想体重，五人减肥前的体重，脂肪转换系数，根据公式(1)有：1 ud -bT u(M +N) Bt = - InInduod b M +N u0(M +N) B将B (五人每天能量的摄入量)的值代入上式时，得出五个人要达到自己的理想目标所需的天数，如下表所示9:表4人12345天数195