正弦定理和余弦定理导学案及习题

1、学习必备欢迎下载高一数学必修 5 解三角形在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。 如图 1.1-2 ，1.1正弦定理和余弦定理ab一、学习目标 ：1.1.1正弦定理（第一课时）在 RtABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinA，sin B，又cc1.在初中解直角三角形的基础上，引导学生推出正弦定理，通过定理的简单应用,使学生能够熟使用定理解1 c ,决相关问题 .sin C二、教学重点与难点cA重点： 正弦定理的探索和简单应用。难点： 探索过程的组织和引导。abccbc三、教法与建议则sin Bsin

2、学生分组讨论，教师引导总结。sin ACabc从而在直角三角形ABC中，aB四、教学练评活动程序sin Asin BC【课前诊断】sin C( 图 1.1-2)1、一些特殊角的三角函数值三角函数0 °30 °45 °60 °思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？90 °弧度制正弦定理： 在一个三角形中， _, 即 _.sin 思考：下列有关正弦定理的叙述正确的是：正弦定理只适用于锐三角形；1cos2正弦定理不适用于直角三角形；在某一确定三角形中，各边与它对应的角的正弦的比是定值；34ABC中，A : B : C a : b : c

3、tan 在【活动2】让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能2、设 ABC 的三边为 a、 b、c，对应的三个角为A、B、 C否由两边一角求出一角，能否由两角一边求出一边？（ 1)角与角关系： _，（ 2）边与边关系： a + b > c ，_，_;a b < c，_， _3、解直角三角形（ ABC 中， C 90°，每小题 6 分，共 24 分）：1已知： c 83 ， A 60°，求 B、a、 b2已知： a 36 ， A 30°，求 B、b、 c.3已知： a 6， b2 3 ，求 A、 B、 c.【构建

4、新知】【活动 1】想一想：【例 1】在ABC 中，已知 a 10， A 45°， C75°，则 b=.【例 2】（ 1）在ABC 中,已知 A30 , a8, b8 3 ,求 B.【课中检测】1、在ABC 中, A30 , a3 ，则ABC 的外接圆半径为（）（A） 3（B）3（C） 33（D）622、在ABC 中，已知下列条件，解三角形（边长精确到1cm）：(1) A45 , C30 ,c10cm ；(2)A60 , B45 , c20cm 。3、在ABC 中，已知 a3 ,b2 , B45 ，且 AC ，求 A,C 和 c 学习必备欢迎下载4、在ABC 中,A 60 ,

5、 a43 , b42，求 B。【例 3】在ABC 中，角 A, B, C 对应的边分别为a, b,c .若C120 , c2a ，则【课后检测】A a bB. abC.abD. 不确定11.在ABC 中， a3,b5,sin A，则 sin B【课中检测】31、在ABC 中，若 a b，则 sin AsinB ，反之成立吗？2. 在ABC 中 ,已知 A30, a3，则ABC 的外接圆的半径是。2、在ABC 中， A: B1: 2,sin C 1 ，则 a:b:c 等于3. 在ABC 中， A60 ,B45 ,BC3 2，则 AC=3、在锐角ABC 中，角 A, B 对应的边分别为 a, b

6、.若 2asin B3b ，求角 A 。4.在ABC 中，根据下列条件解三角形：（ 1） a3, b2, B45 ,4、在锐角ABC 中，角 A, B, C 对应的边分别为a,b, c .且满足acC，求角sin A3 sin C（ 2） b3, c 1,B60 ,【课后检测】1、根据下列条件，解ABC :5、在ABC中， A:B1: 2,sin C1，求 a : b : c 。(1)已知 A60 ,C45 ,b20 ；(2) 已知 A30 , a2, b 2 .1.1.1正弦定理（第二课时）一、学习目标 ：2、在锐角ABC 中，角 A, B, C 对应的边分别为a,b,c .若 a2b si

7、n B ，求角 C 。1.在初中解直角三角形的基础上，引导学生推出正弦定理，通过定理的简单应用,使学生能够熟使用定理解决相关问题 .a,b, c ，已知 3acosC2c cosA,tan A1二、教学重点与难点3、 ABC 的内角 A, B, C 所对应的边分别是，求 B重点： 正弦定理的探索和简单应用。3的大小。难点： 探索过程的组织和引导。sin AcosB三、教法与建议4、在ABC 中，若b，则求角 B。学生分组讨论，教师引导总结。a四、教学练评活动程序5、ABC 的内角 A, B, C 所对应的边分别是a,b,c ，已知 a2, b2,sin B cos B2 ，求【课前诊断】1.在

8、ABC 中， A75 ,B45 , c1，求最短边的长度。A 的大小。2.在ABC 中， a3, b2, B45 ，解三角形。【构建新知】【活动 1】利用等比、连比性质，正弦定理还有哪些变形？【例1】在ABC中，一定成立的是（）（A ）a sin Absin B （ B）a cosAbcosB （C）a sin Bb sin A （D ）a cosBbcosA【例2】在ABC中，角A, B对应的边分别为a, b.若2a sin Bb ，求角A 。余弦定理（第一课时）一、学习目标 ：以解直角三角形为基础,通过几何法推导余弦定理，并能够应用定理解决相关的解直角三角形的问题。二、教学重点与难点重点：

9、余弦定理的推导过程及运用；难点： 余弦定理的灵活运用。三、教法与建议学生分组讨论，教师引导总结。五、教学练评活动程序【课前诊断】1、不查表求cos15 的值。2、在ABC 中 , A60 , a15,b10 ，求 cosB 。【引导探究，获得新知】【活动 1】联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决下面这个问题？如图 1.1-4 ，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,C已知 a,b 和C，求边 c 。baAcB(图 1. 1-4)余弦定理 ：即:【活动2】让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推

10、论：【活动3】让学生思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【活动 4】讨论余弦定理有哪些作用？例 1在 ABC 中，一定成立的是（）（ A） b2c 2a 22ac cos B（B ） a 2c2b 22ac cos A学习必备欢迎下载（C） b 2a2c22ac cos B（ D ） a 2b 2c 22ab cosC例 2在ABC 中，已知 a6, b6 3,C30，则 c 的值为例 3.在ABC 中，已知 AB3, BC13, AC4，求角 A【课中检测】1.在ABC 中，已知 AC2, BC3,

11、A30，求 AB2、在ABC中，已知 a3,b2 , B45 , 解三角形3、在ABC 中，如果 a3 1, b2, c2 ，那么C 等于（）（） 15（） 30（） 45（） 604、在ABC 中，已知下列条件，解三角形（角度精确到0.1 度，边长精确到0.1 厘米）(1) a 7cm, b 10cm,c 6cm(2) a9cm,b10cm, c 15cm【课后检测】1.ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为1 ，求另一边长。32、在ABC 中，已知 AB1, BC2, B60，求 AC3、在ABC 中，已知 AB5, BC7, AC3 ，求 BAC4 、ABC 的 内 角 A, B

12、,C 所 对 应 的 边 分 别 是 a,b, c ， 若 a 3,b 2,cos( A B)1， 则3cosC_; c_ 。5、在ABC 中，已知 a5, b3, C120 ，求 sin A6已知 ABC的三边长 a 3，b5， c 6，则 ABC的各角的余弦值余弦定理（第二课时）一、学习目标：以解直角三角形为基础,通过几何法推导余弦定理，并能够应用定理解决相关的解直角三角形的问题。学习必备欢迎下载二、教学重点与难点3已知 ABC的三边长 a 3，b5， c 6，则 ABC的面积是 ()重点：余弦定理的推导过程及运用；A.14B214难点： 余弦定理的灵活运用。三、教法与建议C.15D215

13、学生分组讨论，教师引导总结。五、教学练评活动程序4、在ABC 中，角 A, B, C 所对的边为 a,b, c ，已知 a2b sin A, c3b【课前诊断】（ 1）求 B 的值；1、在 ABC 中，已知 a2,b22, C15，解三角形（ 2）若ABC 的面积为23 ，求 a,b 的值2、已知ABCa2 3, b2 2, c62，则ABC的三边长的各角5、 ABC中，若 c2a cosB ，则 ABC的形状为（）【引导探究，获得新知】A 直角三角形B 等边三角形C等腰三角形D 锐角三角形【活动 1】联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决下面这个问题？6、已知：在 ABC中， ccos

14、C ，则此三角形为如图 1.1-3，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,C已知 a,b 和C，求ABC的面积。babcosBA. 直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形【课后检测】AcB1、在ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积：(图 1. 1-3)（ 1）已知 a3, c4, B30(2) 已知 A75 , b4, C45例 1、在 ABC 中,已知 A 30, a8, b83 ，求ABC 的面积。2、已知锐角ABC 的面积为 33， BC4， CA3，则角 C 大小为例 2、已知锐角ABC 的面积为3 3， BC4， CA3，则角 C 大小为ABC 中

15、，内角 A, B, C 所对应的边分别是a, b, c ，且 2a sin B3b .3、在锐角（A） 30（B） 45（C） 60（D） 75（1）求角 A 的大小；（ 2）若 a6, bc 8 ，求ABC 的面积。例 3、在ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为aba 、 b 、 c ，若cos Acos B是 （）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【课中检测】1、在ABC 中， A60 , AC4, BC23 ，求ABC 的面积。2、ABC 的内角 A, B,C 所对应的边分别是a, b,c ，已知 b2, B,C64，则ABC 的形状一定a 、b

16、 、c ，若 a 2b cos C，则 ABC的形状一定是 （）4、在 ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为A等腰三角形B直角三角形C 等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形5、在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为a 、 b 、 c ，若 b cosCccosBasin A ，则 ABC 的形状为 （）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定，求ABC 的面积。1.2 正余弦定理实际应用学习必备欢迎下载视角：一、学习目标 ：仰角和俯角：1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.二、教学重点与难点方向角：重点：

17、实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。方位角：难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。【课中检测】三、教法与建议学生分组讨论，教师引导总结。例 1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两四、教学练评活动程序点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河【课前诊断】岸 边选定 一 点 C，测 出 AC 的 距 离是 55m ，BAC=51 ， ACB=751、 ABC 中， A45 ,B60, a 10, 则 b 等于（。求 A、B 两点的距离）(精确到 0.1m)A5 2B10210 6D5 6例 2如图 6-29 ，在山坡上种树，要求株C3距 ( 相邻两树

18、间的水平距离) 是 5.5m，测得斜坡的2、在ABC 中， B= 30，C=45，c=1，则最短边长为（）倾斜角是 24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少 ( 精确到 0.1m) A6B 2C 1D332223、在ABC中， a2c2b2ab ，则 C（）A. 60B. 45 或 135C. 120D. 304、在ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是a, b, c，且 a3b sin A ，则 sin B（A） 3（B）36（D）63（C）335、在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b,c ，已知 a2 ， c3 ， cos B14（ I ） 求 b 的值；（ II ）求 sin C 的值【构建新知】【活动 1】阅读课本相关内容，认识实际测量中的有关名词和术语：铅锤平面：坡角：坡比：例 3 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 ，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高 23m，斜坡 AB的坡度 i=1 3，斜坡 CD的坡度 i=1 2.5 ，求斜坡 AB的坡面角 ，坝底宽 AD和斜坡 AB的长 ( 精确到 0.1m) 例 4 如图 6-32 ，海岛 A 的周围 8 海里