正方形的判定

1、正方形的性质与判定一、选择题 ( 本大题共 10 小题 )1.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点 E，使 AE=AC，则 BCE的度数是（）A.22.5 °B.25°C.23°D.20°2.如一个四形的两对线互垂直平分且相等那么个四边形是（）A. 平行四边形B. 菱形C. 正方形D. 矩形3. 四边形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，ADBC， AD=BC，使四边形 ABCD为正方形，下列条件中： AC=BD； AB=AD；AB=CD； ACBD需要满足（）A. B. C.D.或4. 如图，正方形ABCD的对角线 AC、 BD相交于点

2、O， OA=3，则此正方形的面积为（）A.3B.12C.18D.365. 如图，在四边形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，若 AO=C0=BO=DO，ACBD，则四边形 ABCD的形状是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形第1题图第4题图第5题图第 7题图6. 已知在正方形ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，OEAB 交 BC于点 E，若 AD=8cm，则 OE的长为（）A.3 cmB.4cmC.6 cmD.8 cm7. 如图，正方形ABCD的边长为 x，点 E、 F 分别是对角线BD上的两点，过点E、 F 作 AD、 AB的平行线，则图中阴影部分的面积的和

3、为（）A. x2B. x2C.x2D.x28. 如图，正方形 ABCD的边长为 8，在各边上顺次截取 AE=BF=CG=DH=5，则四边形 EFGH的面积是（ ）A.30B.34C.36D.409. 如图， E 是正方形 ABCD对角线 AC上一点， EFAB，EGBC， F、 G是垂足，若正方形 ABCD周长为 a，则 EF+EG等于（）A.B.C. aD.2 a10. 已知正方形ABCD的一条对角线长为2，则它的面积是（）A.2B.4C.61第8题图第9题图第11题图第 12题图二、填空题 ( 本大题共6 小题 )11. 如图，在正方形ABCD中， E 为 CD边上一点，以CE 为对角线构

4、造正方形CMEN，点 N 在正方形ABCD内部，连接AM，与 CD边交于点F若 CF=3， DF=2，连接 BN，则 BN的长为 _12. 如图，已知：正方形 EFGH的顶点 E、 F、 G、H 分别在正方形 ABCD的边 DA、 AB、 BC、CD上若正方形 ABCD的面积为 16， AE=1，则正方形 EFGH的面积为 _ 13. 如图，将正方形纸片按如图折叠， AM为折痕，点 B 落在对角线 AC上的点 E 处，则 CME= _14. 如图， BD是 ABC的角平分线， DEBC，交 AB于点 E，DFAB，交 BC于点F，当 ABC满足条件_时，四边形BEDF是正方形15. 如图，正方

5、形 ABCD的边长为 4，线段 GH=AB，将 GH的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果G 点从 A 点出发，沿图中所示方向按ABCDA 滑动到 A 止，同时点 H 从点 B 出发，沿图中所示方向按 BCDAB 滑动到 B 止，在这个过程中，线段 GH的中点 P 所经过的路线围成的图形的面积为_16. 如图，在正方形 ABCD中，AB= ，点 P 为边 AB上一动点 （不与 A、B 重合），过 A、 P 在正方形内部作正方形APEF，交边 AD于 F 点，连接DE、 EC，当 CDE为等腰三角形时，AP= _ 2三、解答题 ( 本大题共8 小题 )17. 已知： P 是正方形 ABCD

6、对角线 AC上一点， PEAB，PFBC， E、 F 分别为垂足（ 1）求证： DP=EF（ 2）试判断 DP与 EF的位置关系并说明理由18. 如图，在正方形 ABCD中， E 为对角线 AC上一点，连接 EB、 ED（1）写出图中所有的全等三角形；（2）延长 BE交 AD于点 F，若 DEB=140°，求 AFE 的度数19. 已知，在正方形ABCD中， E 是 CB延长线上一点，且EB= BC，F 是 AB 的中点，请你将F 点与图中某一标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE 相等并证明这种相等关系20. 如图，矩形 ABCD的对角线相交于点 O，PBAC，PCBD， PB

7、、PC相交于点 P（1）猜想四边形 PCOB是什么四边形，并说明理由；（2）当矩形 ABCD满足什么条件时，四边形 PCOB是正方形3正方形的性质与判定练习参考答案一、选择题。1.A解：四边形ABCD是正方形， CAB=BCA=45°；ACE中， AC=AE，则： ACE=AEC= （180° - CAE）=67.5 °； BCE=ACE- ACB=22.5°故选 A2. C解：如果一个边形两对角线相垂直分且相等，那么这个边形正方形，求证四边形ABC正方形，ACBD，平四边形CD为菱形，已知：四边ABCD，A， O=O， OBOD， AC=BD，四边形A

8、CD为方形边形 ABCD为平行四形，选 C3.D解： ADBC， AD=BC四边形ABCD为平行四边形AC=BD平行四边形ABCD是矩形若 AB=AD则四边形ABCD为正方形；若 ACBD，则四边形 ABCD是正方形故选 D因为 ADBC， AD=BC，所以四边形 ABCD为平行四边形，添加则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角4.C解：正方形ABCD的对角线AC、 BD相交

9、于点O， OA=3， AB=BC， OA=OC， AB=，4正方形的面积=，故选 C5.D解：四边形ABCD的形状是正方形，理由如下：AO=C0=BO=DO，四边形ABCD是平行四边形，ACBD，四边形ABCD是菱形，AO=C0=BO=DO，AC=DB，四边形ABCD是正方形，故选 D6.B解：四边形ABCD是正方形， AD=AB=8cm， OA=OC，OEAB， OE是 ABC的中位线，OE= AB=4cm，故选 B7. B解： FPCD， BPF=C=90°（同位角相等）；在 BFP 和 BDC中， BFP BDC，=，同理，得=，又 AD=CD， NF=FP， BNF=BPF=

10、90°， BF=BF， BNF BPF，SBNF=SBPF，5同理，求得多边形NFEM与多边形PFEQ的面积相等，多边形MEDA与多边形QEDC的面积相等，图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的一半，即故选 B8. B解：四边形ABCD是正方形， A=B=C=D=90°，AB=BC=CD=DA， AE=BF=CG=DH，AH=BE=CF=DG在 AEH、 BFE、 CGF 和 DHG中， AEH BFE CGF DHG（SAS）， EH=FE=GF=GH， AEH=BFE，四边形 EFGH是菱形， BEF+BFE=90°， BEF+AEH=90°， H

11、EF=90°，四边形 EFGH是正方形，AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5， EH=FE=GF=GH=，四边形EFGH的面积是：×=34，故选 B9.A解：E 是正方形ABCD对角线 AC上一点， BAC=ACB=45°， EFAB，EGBC， F、 G是垂足，EG=CG， EF=AF，正方形ABCD周长为 a， BC= ， EF+EG等于 ，故选 A10. C.解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为2，6正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S= ab（ a、b 是正方形对角线长度）S=××=6， 故选

12、 C二、填空题。11. 257解：如图，连接MN，延长 AM、 BC交于点 G， MN与 CD交于点 H，作 NKBC 于 K四边形ABCD是正方形， DF=2 CF=3，ADBG， AD=BC=CD=5， = ，CG=，四边形ENCM是正方形，NH=HM=CH=EH，MNEC，设CH=x，MHCG，=， = ， x= ，在 RTBNK中， BKN=90°， NK=CH= ， BK=BC-CK= ，BN=故答案为712. 解：四边形 ABCD、 EFGH均为正方形， A=B=90°， EFG=90°， EF=FG AFE+BFG=90°， BFG+BGF

13、=90°， AFE=BGF在 AFE 和 BGF中， AFE BGF（ AAS），BF=AE=1正方形ABCD的面积为16，AB=4， AF=AB-BF=3同理可证出 AFE BGF CHG DEHS正方形 EFGH=S正方形 ABCD-4S AFE=16- 4××1×3=10故答案为： 1013. 解：四边形ABCD是正方形， B=90°， ACB=45°，由折叠的性质得： AEM=B=90°， CEM=90°， CME=90° - 45°=45°；故答案为： 45°14.

14、解：当 ABC 满足条件 ABC=90°，四边形DEBF是正方形理由： DEBC，DFAB，四边形DEBF是平行四边形BD是 ABC的平分线， EBD=FBD，又 DE BC， FBD=EDB，则 EBD=EDB， BE=DE故平行四边形DEBF是菱形，当 ABC=90°时，菱形 DEBF是正方形故答案为： ABC=90°15. 解：根据题意得点 M到正方形各顶点的距离都为 2，点 M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以 2 为半径的四个扇形，点 P 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4 个扇形的面积正方形ABCD的面积为4×4=

15、16， 4 个扇形的面积为4×=4 ，8点 P 所经过的路线围成的图形的面积为16-4 故答案为16-4 16.解：连接 AE，四边形ABCD、 APEF是正方形，A、 E、 C共线，当 CD=CE=时， AE=AC-EC=2-，AP=AE=- 1 当ED=EC 时 ， DEC=90° ，EDC=ECD=45°， EC=CD=1， AE=AC-EC=1， AP= AE= 当 CDE为等腰三角形时， AP=-1或故答案为2-1或三、解答题。17. 证明：（ 1）如图 1 所示：连结 PB四边形 ABCD是正方形，BC=DC， BCP=DCP=45°在 CB

16、P 和CDP中， CBP CDPDP=BPPEAB，PFBC， B=90°四边形BFPE是矩形BP=EFDP=EF（2）DPEF理由：如图2 所示：延长DP交 EF 于 G，延长 EP交 CD于 H，连接 PB CBP CDP， CDP=CBP四边形BFPE是矩形， CBP=FEP CDP=FEP又 EPG=DPH EGP=DHPPEAB，ABDCPHDC即 DHP=90° EGP=DHP=90°PGEF，即DPEF18. 解：9（ 1）根据正方形的对称性，正方形ABCD关于直线 AC成轴对称，所以，全等的三角形有： ADC ABC， ADE ABE， DCE BCE；（ 2） DEB=140°， BEC= DEB= ×140°=70°，又正方形对角线AC平分 BCD， ACB=45°，在 BCE中， CBE=180° - BEC- ACB=180° - 70° - 45°=65°，ADBC， AFE=CBE=65°19. 解：如图，连接 DF、 CF均可得出与AE相等证 明 ： AB