2014年高三一轮专题复习——合情推理与演绎推理有详细答案

1、§7.4合情推理与演绎推理基础知识,自主学习要点梳理1 .推理.推理一般分为合情推理与演根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理绎推理两类.2 .合情推理归纳推理类比推理由某类事物的部分对象具有某些特由两类对象具有某些类似特定义征，推出该类事物的全部对象都具有征和其中一类对象的某些已这些特征的推理，或者由个别事实概知特征，推出另一类对象也具括出一般结论的推理有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同 性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确 的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间相似性 或

2、一致性；(2)用一类事物的性质去推测 另一类事物的性质，得出一个 明确的命题(猜想)3 .演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理;(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理;(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：I夯基器疑“三段论”的结构大前提一一已知的一般原理；小前提一一所研究的特殊情况；结论 知据一般原理，对特殊情况做出的判断 .“三段论”的表小大前提M是P.小前提一一S是M.结论一一S是P.有丈西端突做出前1 .判断下面结论是否正确(请在括号中打或"X”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结

3、论一定正确( X )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理(，)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(x )(4) “所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.(，)(5)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是an=n(nCN + ).( X )=2姬,3+| =八/| 35=15''、/6a=槽(，b均为实数)，则可以推测 a=35, b=6.( V )2 .数列2,5,11,20, x,47,中的x等于()A.28B.32C.33D.27答

4、案 B解析 5-2=3,11-5=6,20-11 = 9,推出 x- 20 = 12,所以 x= 32.3 .观察下列各式：55=3 125,56= 15 625,57 = 78 125,，则52 011的后四位数字为（）A.3 125B.5 625C.0 625D.8 125答案 D解析 55=3 125,56= 15 625,57=78 125,58 =390 625,59 = 1 953 125,可得 59 与 55 的后四位数字相同, ，由此可归纳出5m+ 4k与5m（kC N*, m=5,6,7,8）的后四位数字相同，又 2 011 = 4X 501 + 7,所以52 011与 57

5、后四位数字相同为 8125,故选D.4 .（2013陕西）观察下列等式12= 112-22=- 312- 22+ 32=612- 22+ 32-42=- 10照此规律，第n个等式可为 .答案 12 22+ 3242+ (-1)n+1n2=(-1)n+1 口 丁解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2,且正、负相间，所以等式左边的通项为(一1)n+1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21,.设此数列为an,则 a2a1=2, a3 a2= 3, a4a3=4, a5 a4 = 5,，an an 1 = n,各式相加得a

6、na = 2 + 3+4+ n,即an= 1 + 2+3+ n=2.所以第n个等式为12 22+ 3242+(-1)n+ln2= (I)/1n n； 15.设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16S12成等差数列.类比以上结论有设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4, , ,五成等比数列解析 对于等比数列，通过类比,有等比数列bn的前n项积为Tn,T12= a1a2a12,则 T4= a1a2a3a4, T8=a1a2a8,T16= a1a2- - a16,T16a13a14a15a16,T12'T8T12内此丁= a5a6a7a8,a9a1021121

7、2,T4' T8'而T4, T4,当,的公比为心因此丁4,程书转成等比数列.题型分类,深度剖析题型一归纳推理.1例1设=中先分别求f(0) + f，f(D + f，f( -2)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.思维启迪解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明.解 f(0)+f(1)= C 1 厂 + 4 1 -30+ , 3 31+. 3_1,1_<3-1 , 3V3 =笆1 + ,3 3+ .3263 '3同理可得：f(1) + f(2)=方"，3f( 2)+f(3) =坐，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于

8、1. 33 归纳猜想得：当X1+X2=1时，均为f(X1)+f(X2)=.3证明：设X+X2= 1 ,一1.1- f(X1) + f(X2)=+X1X23+33+3X1X2X1X23+ y3 +3+133+3+ 2-3X1X2,X1 X2X1x23+，3 3+，33+ ,：3 3+3+3X1X2XiX2_3+3+ 2“ 33+3+ 23-1313三丁.,X1X2,X1X23.13 3+3+2X 3,'3 3+3+ 2 3思维升华(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的(3

9、)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用跟踪训练(1)观察下列等式1= 12+3+4= 93+4+5+6+7=254+5+ 6+7+8+9+10 = 49照此规律，第五个等式应为 .(2)已知 )=1 + 1+；+ nC N*),经计算得 f(4)>2, f(8)>5, f(16)>3, f(32)>J,则有.2 31122答案 (1)5+ 6+7+8+9+10+11+12+ 13= 81 n 2(2)f(2n)>2"(n>2, nCN)解析 (1)由于 1=12,2 + 3 + 4= 9=32,3+4 + 5+

10、6+7=25=52,4+5+6 + 7+8 + 9+ 10=49=72,所以第五个等式为 5+6+ 7+8+9+ 10+11+12+ 13=92=81.c 4 c 5,6.7(2)由题意得 f(22)>2，f(23)>£, f(24)>2，f(25)>n 2所以当n>2时，有f(2n)>-2. n 2故填 fnAnmAZ, nCN*).题型二类比推理例2已知数列an为等差数列，若am=a,an = b(n- m>1, m, nCN*),则am+n=n詈.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn>0,nCN*),若bm= c,b

11、n=d(n m>2, m, nCN*),则可以得至U bm + n=.思维启迪等差数列an和等比数列bn类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算答案n m dn cm解析设数列an的公差为d,数列bn的公比为q.因为an = a1 + (n 1)d , bn=b1qn 1, am + n=-nm-,n m dn所以类比得bm+n.dm思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比

12、；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运 算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点:找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等;找对应元素的对应关系,如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等靠踪训练2 (1)给出下列三个类比结论:(ab)n= anbn与(a+b)n 类比，则有(a+b)n= an+bn;log a(xy)= logax+ logay 与 sin( a+ 3)类比，则有 sin( a+ 9= sin osin 3;(a+b)2 = a2 +

13、 2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2= a2+2a b+b2其中结论正确的个数是A.0B.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形,则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径,a2 + b2以此可求得外接圆半径=、(其中a, b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a, b, c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R=答案(1)B (2)3/a2 b2 c2解析错误，正确.(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径 题型三演绎推理例3已知函数f(x) = a>0 ,且 aw 1).11 ,证明：函数y=f(x)的图象关于

14、点(2, -p对称;(2)求 f( 2) + f( 1) + f(0) +f(1) + f(2) + f(3)的值.思维启迪证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y= f(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是f(x)= 一a>0 且 aw1)的图象关于点(；一)对称证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点 (x, y),，11 匕关于点(2，一万)对称的点白坐标为(1 -x, 1 y).& ax =_a_, a+ya axax+ja'- 1 - y=f(1 -x),即函数y=f(x)的图象关于点 g, 2)对称.(2)解由(1)知一1 f(

15、x)=f(1x),即 f(x)+f(1 -x)=- 1.f(-2)+f(3) = - 1, f(-1) + f(2) = - 1, f(0) + f(1) = 1.则 f(2)+f(1) + f(0) + f(1)+f(2)+f(3) = 3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立 的充分条件作为大前提.跟踪训练3已知函数y=f(x),满足：对任意 a, bC R, awb,都有af(a) + bf(b)>af(b)+bf(a),试证明:f(x)为R上的

16、单调增函数.证明 设 x，x2C R,取 x1<x2,则由题意得 xf(x1) + x2f(x2)>x1f(x2) + x2f(x1),- -x1f(x1) f(x2) + x2f(x2) f(x1)>0 ,f(x2) f(x1)(x2x1)>0 ,- x1<x2, 1. f(x2) f(x1)>0 , f(x2)>f(x1).所以y=f(x)为R上的单调增函数.典例：(1)(5分)(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,j . n n +11 c 1 第n个二角形数为 一2一 = 2 + 25 记第

17、n个k边形数为N(n, k)(k>3),以下列出了部分 k边形数中第n个数的表达式：1 C 1二角形数N(n,3) = 2n2+2n,正方形数N(n,4) = n2,五边形数N(n,5) = |n2gn,六边形数N(n,6) = 2n2n可以推测思维启迪N(n, k)的表达式，由此计算 N(10,24) =从已知的部分k边形数观察一般规律写出N(n, k),然后求N(10,24).解析由N(n,4) = n2, N(n,6) = 2n2-n,可以推测：当 k为偶数时,N(n, k)=k- 24 4 kn +2 n,24-24-24.N(10,24) = 2X 100+2-X10=1 10

18、0- 100= 1 000.答案 1 00022(2)(5分)若P0(x0, y0)在椭圆，+=1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1, P2,则切点弦 b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为 P1, P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是P1P2所在的直线方程是繁+y0y=1,那么对于双曲线则有如下命题：若p°(x0,y0)在双曲线a2y2 b2= 1(a>0,思维启迪直接类比可得.解析 设 P1(x1, y1), P2(x2, y2),则P1, P2的切线方程分别是因为p0(x0, y。)在这两条切线上,X2X0_ 呼一a2b2 1，

19、这说明P1(x1, y1), P2(x2, y2)在直线等-泮=1上,故切点弦P1P2所在的直线方程是学一停=1.答案学一皆1(3)(5分)在计算“ 1X 2+2X3+ n(n+1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项:1k(k+ 1) = "k(k+ 1)(k+ 2)-(k- 1)k(k+ 1),由此得 3，八1"1 X2= (1 X 2X3-0X 1 X2),32X3=3(2X3X41X2X3),1n(n+ 1) = in(n+ 1)(n+ 2)- (n- 1)n(n+ 1).31 相加，得 1X2+2X3+ n(n+1) =-n(n+1) (n+2).3类比上

20、述方法，请你计算“ 1X2X 3+2X3X4+ n(n+1) (n+2)”，其结果为 .思维启迪根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证1解析类比已知条件得 k(k+ 1)(k+ 2) = 4(k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)-(k- 1)k(k+ 1)(k+ 2),1由此得 1X2X 3 = 4(1X2X3X4-0X 1X2X3),1-2X3X 4= j(2 X3X 4X 5 1 X 2X 3X4),3X4X 5=j(3 X4X 5X 6-2X 3X 4X5),1n(n+ 1)(n + 2) = /n(n+ 1)(n+ 2)(n +3)(n 1)n(n+ 1)(n+ 2).以上

21、几个式子相加得：1X2X3+2X3X4+ n(n+ 1)(n + 2)1= n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3).-1答案4n(n+1)(n +2)(n+3)温馨提醒(1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力，在每年的高考中经常会考到；(2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确思想方法感悟提高方法与技巧1 .合情推理的过程概括为从具体问题出，一 |观察、分析、比较、联想 一归纳、类比|一|提出猜想2 .演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.失误与防范1 .合情推理是从已知

22、的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明2 .演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3 .合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据 练出高分A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.（2012 江西）观察下列各式：a+b=1, a2+b2=3, a3+b3=4, a4+b4=7, a5 + b5 = 11,，则 a10+ b10A.28B.76C.123D.199答案 C解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，

23、照此规律，则 a10+b10=123.2 .定义一种运算“ * ”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1 , (2) (n+1) *1=n*1+1,贝U n*1 等于()A.n B.n+1C.n- 1D.n2答案 A解析由(n+1)*1 = n*1 + 1,得 n*1 =(n-1)*1 +1 = (n 2)*1 +2= = 1*1+( n- 1).又1*1=1 ,n*1 = n3 .下列推理是归纳推理的是()A.A, B为定点，动点 P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a=1, an=3n-1,求出Si, S2, S3,猜想出数列的前 n项和Sn的

24、表达式C.由圆x2+y2=r2的面积<2,猜想出椭圆，+ 5=1的面积S= abD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析 从Si, S2, S3猜想出数列的前 n项和Sn,是从特殊到一般的推理，所以 B是归纳推理，故应选B.4.已知 ABC 中，Z A = 30°, /B=60°,求证：a<b.证明：/ A=30°, /B=60°,，/A</B. .a<b,其中，画线部分是演绎推理的()A.大前提B.小前提C.结论D.三段论答案 B解析由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提5.若数列 an是等差数列，则数列 bn( bn

25、 =ai + a2+ an)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为A.dn =C1+C2+ CnC1 C2 CnB.dn= nC.dn =n /c1+ cn+ + cD.dn= C1 C2Cn答案解析若an是等差数列，则 a1+ a2+ + an= na1+ n n21 d,.bn = a1+ n 2 1 d= n+ a1- -,即bn为等差数列;若Cn是等比数列，则C1C2Cn=C1q1 2(n1)= Cnq，n n 12，dn= n/d C2Cn = C1 qny-,即dn为等比数列，故选D.二、填空题6 .仔细观察下面。和的排列规

26、律：。若依此规律继续下去，得到一系列的。和，那么在前120个。和中，的个数是答案14解析进行分组|。Q。|。,|。,|。|，则前n 组两种圈的总数是 f(n) = 2+3+4+-+(n+ 1)= n n2 3 ,易知f(14)= 119, f(15)= 135,故 n= 14.x一x7 .右函数 f(x) =9(x>0),且 f1(x) = f(x) =,当 nCN 且 n>2 时，fn(x) = ffn 1(x),则 f3(x)=' 'x十 2''' '' ' x十 2 ' '猜想fn(x)(nC N

27、*)的表达式为答案x7x+8x2n -1 x + 2nx解析 f1(x) = _, fn(x)=ffn 1(x)(n>2), x I 2x,xx+2xf2(x)=f(xTP=3+2 =3x+4.x+ 2 xf3(x) = ff2(x) = f(3) =由所求等式知，分子都是 x,分母中常数项为 2n, x的系数比常数项少1,为2n1,故 fn(x) = 2n_ 1 x+ 2n,AE AC .8 .在平面几彳S中， ABC的内角平分线 CE分AB所成线段的比为 云=奇，把这个结论类比到仝同：在 EB BC三棱锥A-BCD中（如图所示），平面DEC平分二面角 ACD B且与AB相交于点E,则

28、类比得到的 结论是.答案詈=产 EA Saacd解析 易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等，,Ve BCD BE Sa BCD故=一=Ve acd EA Saacd三、解答题9 .已知等差数列an的公差d=2,首项ai = 5.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)设 Tn=n(2an 5),求 S1, S2, S3, S4, S5； T1 , T2, T3, T4, T5,并归纳出 Sn 与 Tn的大小规律解(1)由于 a1=5, d=2,n n- 1 一- Sn = 5n+ 2* 2= n(n + 4).(2)Tn=n(2an5) = n2(2n+3) 5 = 4n2+ n.T1 =

29、 5, T2=4X22+2=18, 丁3= 4X 32+ 3 = 39,T4=4X 42+4=68, T5=4X52+5= 105.S1=5, S2=2X (2 + 4)= 12, S3=3X(3 + 4) = 21,S4= 4X(4+4)=32, S5=5X (5 + 4) = 45.由此可知S1=T1,当n>2时，S<Tn.归纳猜想：当 n=1 时，Sn=Tn；当 n> 2, nCN 时，Sn<Tn.10.在RtAABC中，AB± AC, AD ±BC于D,求证： =三 十 三，那么在四面体 ABCD中，类比上 AD AB AC述结论，你能得到怎

30、样的猜想，并说明理由.解如图所示，由射影定理ad2=bd DC, ab2=bd BC,AC2= BC DC,/' AD2 BD DCBC2BC2BD BC DC BC = AB2 AC2.又 bc2=ab2+ac2, -ad=Aab2 ac2 =急+5.猜想，四面体 ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE，平面BCD,则在焉+A1?+A1?证明：如图，连接 BE并延长交CD于F,连接AF. . ABXAC, ABXAD, .ABL平面 ACD. ABXAF.在 RtACD 中，AFXCD,AF2 AC2+aD2'在 RtAABF 中，AEXBF,'AE2 AB2+a

31、C2+aD2.B组专项能力提升（时间：30分钟）1 .给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：“若 a, bC R,则 a-b=0? a= b” 类比推出“若 a, b C C,则 a b= 0? a=b" ；“若 a, b, c, dC R,则复数 a+bi = c+ di? a=c, b=d"类比推出“若 a, b, c, dC Q,则 a + b/2 = c + d? a=c, b=d"若“a, bCR,贝U ab>0? a>b”类比推出“若 a, bC,贝U ab>0? a>b” .其中类比结论正确的 个数

32、是（）A.0B.1C.2D.3答案 C解析 正确，错误.因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小2 .设 是R的一个运算，A是R的非空子集.若对于任意a, bC A,有a bC A,则称A对运算 封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）A.自然数集B.整数集C.有理数集D.无理数集答案 C解析 A错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭； C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法（除数不等于零）四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭 3 .平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为答案n2 + n + 22解析 1条直线将平面分成1 + 1个区域；2条直线最多可将平面分成 1 + (1 + 2)= 4个区域；3条直线 最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7个区域；，n条直线最多可将平面分成 1 + (1 + 2+3+- + n) = 1 + njn±±=n±±个区域.22n + 2_4.数列an的前n项和记为 Sn,已知a1= 1, an+1 = nSn(nC N ).证明:数列-彳是等比数列;(2)Sn+