2021高考文一轮精练第5讲数列的综合应用解析版

1、基础题组练1. (2020 开封市定位考试)等比数列an的前n项和为S,若as+4Sa=0,则公比q =()A. - 1B. 1C. - 2D. 2解析：选 C.法一：因为 as+4S2= 0,所以 aiq2+4ai + 4aiq= 0,因为 aw0,所以 q2+4q+ 4=0,所以q=-2,故选C.4a24法一：因为 as+ 4S2= 0,所以 &q+4%=0,因为 a2W0,所以 q+- + 4= 0,即(q qq+ 2)2=0,所以 q= 2,故选 C.2. (2020 宁夏银川一中一模)已知等比数列an中，有a3a11 = 4a7,数列bn是等差数列，其前n项和为 S,且b7=

2、 a7,则S3=()A. 26B. 52C. 78D. 104解析：选B.设等比数列an的公比为q,因为a3a11=4a7,所以a2 = 4a70,解得a7= 4,因为数列bn是等差数列，且 b7= a7,所以 Si3= I3 *( , += 13b7= 13a7= 52.故选 B.3. (2020 吉林长春 5月联考)已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d> 0, a6和a8151 2是函数f (x) = ln x+ax 8x的极值点，则 &=()A. 38B. 38解析：选 A.因为 f(x) = ln x+?x28x,所以 f' (x)=；+x8=-424xx11

3、5人.,一 1.15令f (x)= 0,解得*=2或*=亍.又a6和a8是函数f (x)的极值点，且公差 d>0,115所以a6= 2， a8=,所以ai+ 5d = 2,15 ad 7d =,a1 = 一 17,解得 7d =二.一，8X ( 81)所以 &=8d + 4Xd=38,故选 A.4. 设y= f(x)是一次函数，若 f(0) =1,且f(1) , f(4) , f(13)成等比数列，则 f (2) + f(4) + f (2n)等于()A. n(2n+3)B.n(n+4)D. 2n(n + 4)C. 2n(2n+3)解析：选 A.由题意可设 f(x) =kx +

4、1( kw0),则(4k+ 1)2=(k+ 1) x (13k+ 1),解得 k =2, f(2) +f(4) + + f(2n) = (2 X2+1) +(2X4+1)+ (2 x 2n+1) = n(2 n+3).5. (2020 山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,即 F(1) = F(2) =1, F( n) =F(n1) +F(n2)( n>3,* . . . . . . . . . - . . . .nC N) .此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用.若此数列被2除后的

5、余数构成一个新数列an,则数列an的前2 019项的和为()A. 672B. 673C. 1 346D. 2 019解析：选C.由于an是数列1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,各项除以2的余故an为 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1,所以an是周期为3的周期数歹U,且一个周期中的三项之和为1 + 1 + 0= 2.因为 2 019 =673X 3,所以数列an的前2 019项的和为673X2= 1 346.故选C.S.若 a2=3, 8 = -10,则 a56. （2019 高考北京卷）设等差数列an的前n项和为,&的最小值为解

6、析：设等差数列 an的公差为 d,因为a2= 3,S= 10,r a1 + d= 3,-即所以可得5a1+10d= 10,a1 = -4,.一所以 a5=a1 + 4d=0,d= 1,因为S =n nd + (n1)-212d=2(n -9n),所以当 n = 4或 n =5时，&取得最小值，最小值为一10.答案：0 107. 若数列an满足工2 = 0,则称an为“梦想数列”.已知正项数列 工为“梦想 an+1 anbn数列”，且 b+b2+b3=1,则 tfe+b7+3=.解析：由 ,一2=0可得an+1=：an,故an是公比为。的等比数列，故5是公比为1的 an +1 an22b

7、n2等比数列，则bn是公比为2的等比数列，b6+b7+b8=(b1+b2+b3)2 5= 32.答案：328. (2020 河北石家庄 4月模拟)数列an的前n项和为S,定义 an的“优值”为 Ha1 2a22n- 1an=a ,现已知an的“优值" T=2n,则S=.na1 + 2&+ , , + 2 an n斛析：由 Hi=2,n得 ad2a2+ 21&= n 2n,当 n > 2 时，a1 + 2a2+ + 2 an 1 = ( n 1)2,由一得 2n 1an= n - 2 n-( n- 1)2 n 1= (n+1)2 n 1,即 an= n+ 1( n

8、>2),当n = 1时，a1=2也满足式子 an=n+1,所以数列an的通项公式为an= n+ 1 ,所以 Sn =n (2+ n+ 1)2n (n + 3)2答案:n (n+ 3)29. （2020 武汉市部分学校调研 ）已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为 Tn, a = 1, b1=1, a?+b2= 3.（1）若a3+b3=7,求bn的通项公式；（2）若 T3= 13,求 Sn.解：（1）设an的公差为d, bn的公比为q,则 an= 1 + ( n1)d, bn=qn1.由 a2+b2 = 3,得 d + q=4,由 a3+b3 = 7,得 2d+ q2=

9、8,联立，解得q=2或q= 0(舍去)，因此bn的通项公式为bn=2n 12(2)因为 T?= bi(1 + q+ q ),所以 1 + q+ q2= 13,解得q=3或q= 4,由 a2+ b2 = 3 得 d= 4 q,所以d= 1或d= 8.11 2 32,由 Sn= na+ 2n(n 1)d,得 Sn= 2n ,或 S= 4n 5n.10.(2020 湖南省湘东六校联考)已知数列an的前n项和&满足m=正1+1(n>2,n N),且 a1= 1.(1)求数列an的通项公式an；、一 12(2)记bn=, Tn为bn的前n项和，求使小>一成立的n的最小值.an * a

10、n+1n解：(1)由已知有 近一i= 1(n>2, nC忖，所以数列<&为等差数列，又乖=,=1,所以 qSn= n,即 S= n?.当 n >2 时，an= S Sn 1 = n (n 1) = 2n 1.又a1= 1也满足上式，所以 an= 2n 1.1111(2) 由(1)知， bn= Z-TT-= - 7 ,2n+ 1 =2 1 2n+ 1n2n+ 1.(2n1) (2n+1)2 2n-1 2n+1,11111所以 Tn=2 1-3 + 3-5+ ,+2n由 Tn>2得 n2>4n+2,即(n 2)2>6,所以 n>5, n所以n的最小

11、值为5.综合题组练1 . (2020 北京市石景山区 3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关振，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表不解下n( n< 9, nCN)个圆LL s-A r ,#L2 anT 1 , n为偶数,环所需的最少移动次数，数列 an满足a1=1,且an=, 一山 则解下4个环所2an 1+2, n为奇数，需的最少移动次数24为()A. 7C. 12解析：选A.因为数列an满足aiB. 10D. 222an 1-1, n为偶数, 1,且 an2an-1 + 2,

12、 n为奇数,所以 a2= 2a1 1 = 21 = 1,所以 a3= 2a? +2= 2x 1 + 2 = 4,所以 a4=2a31 = 2X41 = 7.故选 A.,n32 .已知an=3(nC N),记数列a的前n项和为Tn,若对任意的nC N, Tn+万 k>3n-6恒成立，则实数 k的取值范围是解析：Tn =3 (13n)3 3所以Tn+ -=一1 3n+13 3=-2+-n+ 1则原不等式可以转化为2 (3n 6)2n-43n恒成立,令 f (n)=2n 一 43n '当n = 1时,2一f (n) = - -,当 n=2 时，f(n)=0,3当n = 3时,f ( n

13、) =；|-,当n = 4时，f(n) = 即f(n)是先增后减，当n=3时，取得 2 781日2取大值27,所以3.(2019 高考江苏卷节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“W数列”.已知等比数列an(neM)满足：a2a4= a5, a3 4a2+4曰=0,求证：数列an为数列”(2)已知数列 bn( n £ N)满足：b1=1,-Sn-,其中S为数列bn的前n项和. bn Dn+1数列bn的通项公式.解：(1)证明：设等比数列an的公比为q,所以am。，qw0.a2a4=a5,a：q4 = a1q4,由,得2.-a3 4a2 + 4a1 = 0,aq 4aq + 4a1

14、 = 0,解得ai = 1, q=2.因此数列an为“外数列”.122.一(2)因为 一,所以 bnW0.S bn bn + 1,. 八.1 2 2 .由 b1=1, S = b1,得7=： 则 b2= 2.1 1 b2,122 ,口bnbn+1由3 = 丁 一，信 Sn=7TLS bn bn+12( bn + 1 bn)当 n>2 时，由 bn = $1, bnbn+1bn 1bn得 b 2 (bn+1-bn)2 (bn bn-1)'整理得 bn+1 + bn1=2b.所以数列 bn是首项和公差均为 1的等差数列. ,_. .一 、一.一一 . *因此，数列 bn的通项公式为b

15、n= n( nC N).4. (2020 湖北襄阳二模)已知数列an的前n项和为S,满足：a1=1, S+11=S + an,数列bn为等比数列，满足 b1 = 4b3,氏=4< bs nCN.(1)求数列an , bn的通项公式；，,11 ,(2)右数列 '的刖n项和为 W,数列bn的刖n项和为Tn,试比较 W与的大小.anHn+1In解：(1)由 S+1 1 = S+ a,可得 an+1=an+1,又 a1=1,所以数列an是首项和公差均为 1的等差数列，可得an= n.1 .因为数列bn为等比数列，满足 b = 4b3, b2=4< bb nCN,2 1所以设公比为q

16、,可得b1 = 4b1q2,所以q=±-,-1 ,111 1当q=2时，2=4,可得b1=2>4.1 .11 1当 q = 2时，一2b1=4，得 b1 = - 2,不满足 b2b1,舍去，所以bn= 2 .一 1111(2)=/. x,anan+1 n (n+ 1) n n +1W1尹 2-3+ 厂nrr =1 _nrr<1.21-11111T1=1nC 1 , 则 1<zjrW2, 故 Wm< 122| n| n规范省题本范(二)数歹U类型一判断等差数列和等比数列(12分)记$为等比数列an的前n 项和，已知&=2, S?= - 6. ?(1)求a

17、n的通项公式;(2)求S,并判断Sn+1, Sn, Sn + 2是否成等差数列. ?建桥寻突破?看到 &=2, &=6,想到 &=a1+a2, 4=日 + 氏 + as,利用等比数列的通项公式求解.?看到判断&+1, Sn, S + 2是否成等差数列，想到等差数列的等差中项，利用 2S=S + 1+S+2进行证明.规范解答(1)设an白由题a1 (1 + q)a1 (1 + q-勺首项为a1,公比为q,设可得=2,kqj = 6,2 分评分标准列出关于首项为 a1,公比为q的方程组得2分；能够正确求出a1和q得2分，只求对一个得1分，都不止确不得分；正确写出数列

18、白通项公式得2分；正确计算出数列的前 n项和得2分；能够正确计算出 S+1 + &+2的值得2分，得出结论2S=S+叶S+2再得1分；写出Z论得1分.得分点解得q =2 ,a1 = 2.4 分得分点故 an的通项公式为an = ( - 2) n.6分得分点（2）由（i）可得 &=ai（1-q） 1 q1+（T）n1, 8 分 m分后 33由于 Sn+2 + S+1= 3+ (一3解题点津（1）等差（或等比）数列的通项公式，前 n项和公式中有 五个元素ad（或q）、n、an、S,“知三求二”是等差（等 比）的基本题型，通过解方程组的方法达到解题的目的.（2）等差、等比数列的判定可

19、采用定义法、中项法等.如本题采用中项法得出 2&= &+1+ S+2.1)n2n+3 2n+232sb 11 分得分点故$+1, $, $+2成等差数列.12分核心素养数列问题是高考的必考题，求数列的通项公式及判断数 列是否为等差或等比数列是高考的常见题型.本类题型 重点考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养得分点类型二求数列的前n项和（12分）已知an为等差数列，前 n项和为 * , .&（n C N） , bn是首项为2的等比数列，且公 比大于 0, bz+b3=12, b3=a4 2a, S1 = 11b4. （1）求an和bn的通项公式;?（2）求数歹U a2

20、nb2n1的刖n项和（ne N）.建桥寻突破?看到求等差数列an和等比数列bn的通项公式，想到利用条件，列出方程，利用等差、等比数列的通项公式求解.?看到求数列a2nb2n1的前n项和,想到利用错位相减法求数列的前 n项和.规范解答评分标准(1)设等差数列an的公差为d, 等比数列bn的公比为q.由已知得 bz+b3=12,得 bi(q+q故 工=2X 4 + 5X 42+ 8X 43 + (3n 1) X4； ( i )8分|得分点4Tn= 2X 42+ 5X 43+ 8X 44+ (3n-4) X4n+ (3n-1) X4n+1, ( ii)9 分 |得分点 |(i ) -( ii)得-3Tn=2X4+3X42+3X 43+ + 3X4n-(3n-1) x4n+1=- (3 n-2) X4n+1-8.11分得分点得 Tn=3nj2X4n+") = 12,而bi = 2,所以q2 + q 6= 0.2分 得分点又因为q>0,解得q=2,所以bn=2n.3分 得分点由 b3=a4-2ai,可得 3dai=8.由 Si=11b4,可得 ai+5d=16.联立，解得a1= 1,