排列与组合的综合问题

1、g3.1092排列与组合的综合问题一、知识梳理1排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问 题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元 素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”.2. 解排列组合的应用题，要注意四点：（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按 事件发生的过程进行分步（2）深入分析、严密周详，注意分清是乘.还是加，既不少也不多，辩证思 维，多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免 出错.（3

2、）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合 理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计 数原理来解决.（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准 应统一，否则易出现遗漏或重复.二、基础训练1. （ 04福建）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4名学生，要安排 到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为a. a2c2 b. -a2c2c. a62a4d. 2a222.

3、 从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中 A不 参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为A.24B.48C.120D.723. 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为A.480B.240C.120D.964. 从 1，3，5，7中任取2个数字，从0， 2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被 5整除的四位数共有 个.（用数字作答）5. 市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有 种.（用数字作答）例1.从6名短跑运动员中选4人参加4X100 m接力，

4、如果其中甲不能跑第 一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法 ？例2.对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出 所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法 有多少种可能？思考讨论用类似的方法，讨论如下问题某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直 到4件次品全部测出为止，则最后一件次品恰好在第6次检测时被测出，这样的 检测方案有多少种？提示：问题相当于从10件产品中取出6件的一个排列，第6位为次品，前 五位有其余3件次品，可分三步：先从4件产品中留出1件次品排第6位，有4种方法；再从5件正品中取2件，有C5种方法；再把3

5、件次品和取出的2件正 品排在前五位有A 5种方法所以检测方案种数为4X C2 A5 =4800.例3.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种 作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不 同的种植方法共有多少种？例4.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规 定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是A.234B.346C.350D.363例5. (1) 一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个 空椅子，共有几种不同的坐法？(2) 一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中

6、，恰有2个空位 相邻，共有多少种不同的坐法？ *例 6.已知 1<m<n，m，n N，求证：(1+m) n> (1+n) m.四、同步练习g3.1092 排列与组合的综合问题1. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质 的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有A.24 种B.18 种C.12 种D.6 种2. 四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放 法种数为a. a3a3b.c2a3c.c4 a2d.c；c4c3. (05湖北卷)把一同排6张座位编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的电影票全部分给4个人，每人至少

7、分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么 不同的分法种数A. 168B. 96C. 72D. 1444. ( 05江苏卷)四棱锥的 8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的 现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为(A ) 96( B) 48(C) 24( D) 05从6名短跑运动员中选出 4人参加4 X 100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒， 那么不同的参赛方案有B. 240 种C. 300种D. 360 种6书架上原有5本书，再放上2本，但要求

8、原有书的相对顺序不变，则不同的放 法有种.7. （04浙江）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处, 则质点不同的运动方法共有 种.（用数字作答）8. 在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进 去三个节目，求共有多少种安排方法？9. 18人的旅游团要选一男一女参加生活服务工作，有两位老年男人不在推选之列，共有64种不同选法，问这个团中男女各几人？10. 如下图，矩形的对角线把矩形分成 A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩 给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜

9、色互异，共有多少种不 同的涂色方法？11. 6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方 法？参与答案基本训练1. 将4名学生均分成两组，方法数为-C2，再分配给6个年级中的2个，2分配方法数为a6，二合要求的安排方法数为-c2 A62.2答案：B2. 若不含A,则有A4种；若含有A,则有C3 c； A3种 A：+C3 C12 -A 3=72.答案：D3. 先把5本书中的两本捆起来（C5 ），再分成四份（A4 ），二分法种数为Cf A 4 =240.答案：B4. 四位数中包含5和0的情况：c3 c4 （a3+a-2 a2）=120. 四位数中包含5,不含0的情况：c3 c

10、4 A3=108. 四位数中包含0,不含5的情况：C32C14A 33=72.综上，四位数总数为 120+108+72=300.答案： 3005. 把四位乘客当作 4 个元素作全排列有 A 44 种排法，将一个空位和余下的 4 个空位作为一个元素插空有 A 5种排法二A 4 A 2 =480.答案： 480例题分析例 1.解法一：问题分成三类：(1)甲、乙两人均不参加，有 A 44 种；(2)甲、 乙两人有且仅有一人参加，有 2C4 (A4 A3)种；(3)甲、乙两人均参加，有 C4 (A4 2A3 + A2 )种.故共有 252 种.解法二：六人中取四人参加的种数为 A4，除去甲、乙两人中至

11、少有一人不 排在恰当位置的有C2 A5种，因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数 A4减 去了两次.故共有A4 C12 A3 + A 4 =252种.评述：对于带有限制条件的排列、 组合综合题， 一般用分类讨论或间接法两 种方法处理 .例2.解：C4 (C6C3) A 4 =576，第5次必测出一次品，余下3件在前4次 被测出，从4件中确定最后一件品有 C4种方法，前4次中应有1正品、3次品， 有C6C3种，前4次测试中的顺序有A4种，由分步计数原理即得.评述：本题涉及一类重要问题， 即问题中既有元素的限制， 又有排列的问题， 一般是先选元素(即组合)后排列 .例 3.解：依题意， A、 B

12、两种作物的间隔至少 6 垄，至多 8 垄.(1)间隔 6 垄时，有3X A2种；(2)间隔7垄时，有2XA2种.(3)间隔8垄时，有A 2种. 所以共有3A 2 +2A 2 +A 2 =12种种植方法.例 4.解法一：分类讨论法 .(1)前排一个，后排一个，2C8 C；2=192.( 2)后排坐两个(不相邻) ，2 (10+9+8+1) =110.(3)前排坐两个，2 (6+5+1) +2=44个.总共有 192+110+44=346 个.解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻.二总共有 A 29 +2+2=346 个.答案：B评述：本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用

13、.这是一道难度较大的小综合题.例5解：（1）先将3人（用X表示）与4张空椅子（用表示）排列如图（X X），这时共占据了 7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如 图中箭头所示（JXDJDXDJDXJ），从4个空当中选2个插入，有C2种插法；二是2张同时插入，有C4种插法，再考虑3人可交换有A3种方法所以，共有 A； （C4+C；） =60 （种）.下面再看另一种构造方法：先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2 个位置排空椅子，有A1C2种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间， 只有1种插法，所以所求的坐法数为 A5 C2=6O.（2）可先让4人坐在4个位置上

14、，有A 4种排法，再让2个“元素”（一个 是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位）插入4个人形成的5个“空 当”之间，有a5种插法，所以所求的坐法数为 a4 A2 =480.例 6证法一：由二项式定理（1+m） n=cnm°+cnm1 +C；mn,m 0011m m(1+n) =Cmn+Cmn+Cm n ，i ii i又因为 Cnmi=Am，cmn i =牛，i!i!而 A n m'>Aim"，所以 C2 m2>Cmn2，。冷3>紀 n3，Cmmm>Cm nm .又因为 C°°m0=cmn0， Cm1 =Cmn1，所

15、以(1+m) n> (1+n) m.证法二：(1+m) n> (1+n)= nln (1+m) >mln (1+n)In(1+m) > In(1 十n)mn令 f （x） =!-），x2, +，x只要证f （x）在2，上单调递减，只要证f '（x） <0.(x)=In(1 + x)X x"”ln(1 +x) _xIn(1 +x)(1*) x2x2(1 +x)当 x>2 时，x Ig (1+x) Wo,时，f '(x) <0.x2 (1+x) >0,得 f '(x) <0,即 x 2,+x 以上各步都可逆推，

16、得(1+m) n> (1+n) m.作业：1 4 BBDBB 6. 427. 58解法一：添加的三个节目有三类办法排进去： 三个节目连排，有C7A3 种方法；三个节目互不相邻，有 A7种方法；有且仅有两个节目连排，有 c3c7c6a2种方法根据分类计数原理共有 c7a3+a7+c3c7c6a2 =504种.解法二：从结果考虑，排好的节目表中有9个位置，先排入三个添加节目有A3种方法，余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法故所求排法为A 3=504种.A 9解法三：a|=504-评述：插空法是处理排列、组合问题常用的方法9. 解：设这个团中有男人x人，则有女人18x人，根据题

17、意得Cl C；8=64. 解得x=10.这个团中有男10人，女8人.10. 解法一：依题意，给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，有A 4种方法；第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C3种；在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有 C2种选法；3种颜 色涂上去有A3种涂法.共C5 C2 A3种涂法；第三类，用两种颜色涂色.选颜色有C2种选法；A、C与B、D各涂一色有A2种涂法.共C2 A 2种涂法.所以共有涂色方法A5+C3 c2 A3+C5 a2 =260种.解法二：区域A有5种涂色法；区域B有4种涂色法；区域C的涂色法有 2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色法；若C与A涂不同色，此时区域 C有3种涂色法，区域D也有3种涂色法.所以共有5X4X 4+5X 4X 3X 3=260种涂色法.11解法一：先取人，后取位子.1, 1, 1, 3: 6人中先取3人有C6种取法，与剩余3人分到4所学校去有a4种不同分法，.共c6a4种分法；1,1, 2, 2: 6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C6 C4 C12种，44然后分到4所学校去，有令电种不同的分法，共C6 C4 C； 冷壬 种分 a2