导数综合练习题

1、导数练习题（ B）1（本题满分 12 分）已知函数 f ( x) ax3bx 2(c 3a 2b) x d 的图象如图所示（I）求 c, d 的值；（II ）若函数 f ( x) 在 x 2处的切线方程为3x y 110，求函数 f (x) 的解析式；（III ）在（ II）的条件下，函数 y f (x) 与 y1 f (x)5xm3的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围2（本小题满分 12 分）已知函数 f (x)a ln xax 3(a R) （I）求函数 f (x) 的单调区间；（ II ） 函 数 f (x)的 图 象 的 在 x4处切线的斜率为 3,若函数1 x3m 在区间（ 1，

2、3）上不是单调函数，求2g ( x)x 2 f ' (x)m 的取值范围323（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) x3ax 2bxc 的图象经过坐标原点， 且在 x 1 处取得极大值（I）求实数 a 的取值范围；（II ）若方程 f ( x)(2a3)2恰好有两个不同的根，求f ( x) 的解析式；9，对任意，求证：（III ）对于（II ）中的函数f ( x)、R| f (2 sin ) f ( 2sin ) | 814（本小题满分 12 分）x已知常数 a0 ， e 为自然对数的底数，函数f (x)ex ，g ( x)x2a ln x （ I）写出 f (x) 的单调递

3、增区间，并证明 ea a ；（ II ）讨论函数 y g(x) 在区间 (1, ea ) 上零点的个数5（本小题满分 14 分）已知函数f ( x)ln( x1)k (x1)1 （ I）当 k 1 时，求函数 f ( x) 的最大值；（ II ）若函数 f ( x) 没有零点，求实数 k 的取值范围；精选文库6（本小题满分 12 分）已知 x2 是函数 f ( x)(x2ax2a3)ex 的一个极值点（e2.718）（ I）求实数 a 的值；（ II ）求函数 f ( x) 在 x 3 ,3 的最大值和最小值27（本小题满分 14 分）已知函数f ( x)x24x(2a) ln x, (aR,

4、 a0)（ I）当 a=18 时，求函数 f ( x) 的单调区间；（ II ）求函数 f ( x) 在区间 e, e2 上的最小值8（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) x( x 6) a ln x 在 x(2, ) 上不具有 单调性（I）求实数 a 的取值范围；（II ）若 f( x) 是 f ( x) 的导函数，设 g( x)f (x) 62 ，试证明：对任意两个不38 | xx2相等正数 x1、 x2，不等式 | g( x )g ( x) |x| 恒成立1227129（本小题满分 12 分）已知函数 f (x)1x2ax(a1) ln ,1.2x a（I）讨论函数 f ( x

5、) 的单调性；（II ）证明：若 a5, 则对任意 x1 , x2(0, ), x1x2f ( x1 )f ( x2 ), 有1.x1x210（本小题满分 14 分）1已知函数 f ( x)2（ I ）若函数 f (x),实数 a 的取值范围；（II ）若 a(1, e不等式 | F ( x1 )F ( x2 ) |x2a ln x,g( x)(a1)x ,a1g(x) 在区间 1,3 上都是单调函数且它们的单调性相同，求(e 2.71828L ) ，设 F ( x)f ( x) g( x) ，求证：当 x1, x21,a 时，1成立-2精选文库11（本小题满分 12 分）设曲线 C ： f

6、( x)ln xex （ e2.71828）， f (x) 表示 f ( x) 导函数（ I ）求函数 f (x) 的极值；（ II ）对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ， x1 x2 ，求证：存在唯一的 x0 ( x1 , x2 ) ，使直线 AB 的斜率等于 f ( x0 ) 12（本小题满分 14 分）定义 F ( x, y)(1 x) y , x, y (0,) ，（I）令函数 f ( x)F (3,log 2 (2 xx24) ，写出函数 f ( x) 的定义域；使（II ）令函数 g ( x)F (1,log2 ( x3ax2bx 1

7、) 的图象为曲线，若存在实数bC得曲线 C 在 x0 ( 4x01) 处有斜率为 8 的切线，求实数 a 的取值范围；（III ）当 x, yN * 且 x y 时，求证 F ( x, y) F ( y, x) 导数练习题（ B）答案1（本题满分 12 分）已知函数 f ( x)ax3bx 2(c3a 2b) xd 的图象如图所示（I）求 c, d 的值；（II ）若函数 f ( x) 在 x 2处的切线方程为3x y 110，求函数 f (x) 的解析式；（III ）在（ II）的条件下，函数 yf (x) 与 y1 f (x)5xm3的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围解：函数 f (

8、 x) 的导函数为f ' ( x)3ax22bx c3a 2b （2 分）（I）由图可知函数 f ( x) 的图象过点（ 0，3），且 f ' (1)0得d3d3 （4 分）3a2bc3a2b0c0（II ）依题意f '(2)3且 f ( 2) 512a4b3a2b38a4b6a4b35解得 a1, b6 所以 f (x)x36x29 x3 （8 分）（III ） f ( x)3x 212 x 9 可转化为： x36x29x 3x 24x 3 5x m 有三个不等实根，即： g xx 37x28xm 与 x 轴有三个交点；g x 3x214 x 8 3x 2 x 4 ，

9、-3精选文库x222，44，,3433g x+0-0+g x增极大值减极小值增26816 m （10 分）gm, g 4327当且仅当 g268m0且g 416 m0 时，有三个交点，327故而，16m68 为所求 （12 分）272（本小题满分 12 分）已知函数 f (x)a ln xax 3(aR) （I）求函数 f (x) 的单调区间；（ II） 函 数 f (x)的 图 象 的 在 x4处切线的斜率为 3,若函数1m 在区间（ 1，3）上不是单调函数，求2g ( x)x3x 2 f ' (x)m 的取值范围32解：（I）f ' (x)a(1x) (x0)（2 分）x当

10、 a 0时 , f (x)的单调增区间为 0,1 , 减区间为 1,当 a 0时, f (x)的单调增区间为 1, , 减区间为 0,1 ;当 a=1 时， f ( x) 不是单调函数（5 分）（II ） f '(4)3a3 得a2, f (x)2ln x2x342g( x)1 x3( m2)x 22x,g' (x)x2(m4)x2（6 分）32g( x)在区间 (1,3)上不是单调函数 , 且 g' (0)2g' (1)0,g' (3)0.m3,19, 3)（8 分）m19 , （10 分） m (（12 分）333（本小题满分 14 分）已知函数 f

11、 ( x)x3ax 2bxc 的图象经过坐标原点， 且在 x 1 处取得极大值（I）求实数 a 的取值范围；（II ）若方程 f ( x)(2a3)2恰好有两个不同的根，求f ( x) 的解析式；9，对任意，求证：（III ）对于（II ）中的函数f ( x)、R| f (2 sin ) f ( 2sin ) | 81解：（I） f (0)0c 0, f ( x)3x22axb, f (1) 0b2a 3f ( x) 3x22ax(2a3)( x1)(3x2a 3),-4精选文库由 f ( x)0x1或 x2a 3 ，因为当 x 1时取得极大值，2a33所以1a3，所以 a的取值范围是 : (

12、, 3)；3（4分）（II ）由下表：x(,1)12a32a32a3(1,)3(,)33f (x)+0-0-极大极小值f ( x)递增值递减递增a6 (2a3)2a227依题意得： a6( 2a3)2(2a3) 2，解得： a9279所以函数 f (x) 的解析式是： f ( x)x39x215 x（10分）（III ）对任意的实数,都有22sin2, 2 2sin2,在区间 -2，2有：f ( 2)8363074, f (1) 7, f ( 2)836302f ( x)的最大值是 f (1) 7,f (x)的最小值是 f (2)8363074函数 f ( x)在区间 2,2上的最大值与最小值

13、的差等于81，所以 | f (2 sin)f (2 sin)| 81（14分）4（本小题满分 12 分）已知常数 a0， e 为自然对数的底数，函数f (x)exx ， g ( x)x2a ln x （ I）写出 f (x) 的单调递增区间，并证明 ea a ；（ II ）讨论函数 y g(x) 在区间 (1, ea ) 上零点的个数解：（I） fxex1 0，得 f (x) 的单调递增区间是 (0,) ， （2 分）( ) a 0 ， f (a)f ( 0)1 ， eaa 1a ，即 eaa （4 分）（II ） g ( x)a2( x2a )( x2a )2a ，列表2x22，由 g (x

14、)0 ，得 xxx2x( 0,2a2a(2a)2)22,g ( x)-0+g( x)单调递减极小值单调递增当 x2a 时，函数 yg ( x) 取极小值 g (2a)a (1 ln a) ，无极大值2222 （6-5精选文库分）由（ I ） eae2 aeaa ， ea2aa ，a， e2 aa222g(1) 1 0， g( ea )e2aa 2(eaa)(eaa)0 （8 分）（i）当2a1，即 0a2 时，函数 yg (x) 在区间 (1, ea ) 不存在零点2（ii ）当2a1 ，即 a2时2若 a (1ln a )0 ，即2a 2e时，函数 y g(x) 在区间 (1,ea ) 不存

15、在零点22若 a (1ln a)0，即 a2e 时，函数 yg (x) 在区间 (1, ea ) 存在一个零点 xe；22若 a (1ln a )0，即 a2e 时，函数 yg(x) 在区间 (1,ea ) 存在两个零点；22综上所述， yg (x) 在 (1,ea ) 上，我们有结论：当 0 a 2e 时，函数 f ( x) 无零点；当 a 2e 时，函数 f ( x) 有一个零点；当 a 2e 时，函数 f (x) 有两个零点 （12分）5（本小题满分 14 分）已知函数f ( x)ln( x1)k (x1)1 （ I）当 k 1 时，求函数 f ( x) 的最大值；（ II ）若函数 f

16、 ( x) 没有零点，求实数 k 的取值范围；解：（I）当 k 1 时， f (x)2 xx 1f ( x) 定义域为（ 1，+），令 f(x)0,得 x 2， （2分）当 x (1,2)时, f ( x) 0 ，当 x (2,)时, f ( x)0 ， f ( x)在(1,2) 内是增函数， 在 (2,)上是减函数当 x 2 时，f (x) 取最大值 f (2)0（4分）（II ）当 k 0时 ，函数 yln( x 1)图象与函数 y k( x 1)1图象有公共点，函数 f ( x) 有零点，不合要求；（8 分）k ( x1 k11 kkx)kk当 k 0时 ， f ( x)x1x1x 1

17、（6 分）令f ( x)0,得k 1k1 时1时，x， x (1,) , f (x) 0, x (1,) , f ( x) 0kkk-6精选文库在1在11) 上是减函数，f ( x) (1,1) 内是增函数，,kk f ( x) 的最大值是 f (1 1 )ln k ，k函数 f ( x) 没有零点，ln k0， k1，因此，若函数 f (x) 没有零点，则实数k 的取值范围 k (1, ) （ 10 分）6（本小题满分 12 分）已知 x2 是函数 f ( x)(x2ax2a3)ex 的一个极值点（e2.718）（ I）求实数 a 的值；（ II ）求函数 f ( x) 在 x 3 ,3 的

18、最大值和最小值解：（I）由 f (x)2(x2ax2a3)ex 可得f (x)(2 xa)ex(x2ax2a 3)ex x2(2 a) x a 3ex （4 分） x2 是函数 f ( x) 的一个极值点， f (2) 0 (a5)e20，解得 a5（6 分）（II ）由 f ( x)(x2)( x 1)ex0 ，得 f ( x) 在 (,1) 递增，在 (2,) 递增，由 f ( x) 0 ，得 f (x) 在在 (1,2) 递减 f (2)e2 是 f ( x) 在 x3,3 的最小值； （8 分）e232e23e23f (3)7， f (3) e3 f (3)f (3)e371( 4e

19、e 7)0, f ( 3) f (3)242442 f (x) 在 x 3 ,3 的最大值是 f (3)e3 （12 分）27（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) x24x(2a) ln x, (aR, a0)（ I）当 a=18 时，求函数 f ( x) 的单调区间；（ II ）求函数 f ( x) 在区间 e, e2 上的最小值解：（） f ( x)x 24 x 16 ln x ，f ' (x) 2 x 4 162(x 2)( x 4)2 分xx由 f '( x)0 得 ( x2)( x 4)0 ，解得 x4 或 x 2注意到 x0 ，所以函数f (x) 的单调递

20、增区间是（ 4，+）由 f ' (x)0 得 (x2)( x 4)0 ，解得 -2 x 4，注意到 x0 ，所以函数 f (x) 的单调递减区间是 (0,4 .综上所述，函数 f ( x) 的单调增区间是（ 4，+），单调减区间是 (0,46 分（）在 xe, e2 时， f ( x)x 24x(2 a) ln x所以 f ' ( x) 2x 42 a 2x 24x 2 a ，设 g ( x) 2x 2xx4 x 2 a-7精选文库当 a 0 时，有 =16+4×2(2a)8a0 ，此时 g( x)0，所以 f ' ( x)0， f (x) 在 e, e2 上

21、单调递增，所以 f (x) minf (e)e24e2a8 分当 a 0 时， =1642(2a)8a0 ，令 f '( x)0 ，即 2x 24x2a0 ，解得 x令 f ' (x)0 ，即 2x 24x2a0 ，若 12a e2 ，即 a 2(e21)2 时，2f (x) 在区间 e, e2 单调递减，所以 f ( x) min若 e 12ae2 ，即 2(e 1) 2a 2(e2212a 或 x12a ；22解得 12ax 12a .22f (e2 )e44e242a .1)2 时间，f (x) 在区间 e,12a 上单调递减，在区间 12a ,e2 上单调递增，22所以

22、 f (x)minf (12a )a2a3( 2a) ln(12a ) .222若 12aea 2(e 1)22 单调递增，2，即0时， f ( x) 在区间 e, e所以 f (x) minf (e) e24e2a综上所述，当 a 2(e21)2 时， f ( x) mina44e242a ；当 2(e 1) 2a2(e21) 2 时， f ( x)mina2a3( 2a) ln(12a ) ；22当 a 2(e1) 2 时， f (x)mine24e2a14 分8（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)x( x6)a ln x 在 x(2,) 上不具有 单调性（I）求实数 a 的取值

23、范围；（II ）若 f( x) 是 f ( x) 的导函数，设 g( x)f (x) 622，试证明：对任意两个不38x相等正数 x1、 x2 ，不等式 | g( x1 )g ( x2 ) | x1x2 | 恒成立272x2解：（I） f ( x)2x6a6xa ， （2 分）xx f ( x) 在 x(2,) 上不具有 单调性，在 x(2,) 上 f ( x) 有正也有负也有0，即二次函数 y2x26 xa 在 x(2,) 上有零点 （4 分） y 2x26 x a 是对称轴是 x3 ，开口向上的抛物线，y 2 226 2 a02 （6的实数 a 的取值范围 (,4)分）-8精选文库（II

24、）由（ I ） g( x)2 xa22 ，xx方法 1： g (x)f ( x) a 4 ， g ( x)44设 h( x)2x2x3262xa2( x0)，x2x x22x32a42444 x4， （8分）x2x3x2x3x3， h ( x)8124(2 x3)x3x4x 4h( x) 在 (0, 3) 是减函数，在 (3,) 增函数，当 x3 时， h( x) 取最小值 3822227从而 g ( x)38 ， (g ( x)38 x)0 ，函数 yg( x)38 x 是增函数，272727x1、 x2 是两个不相等正数，不妨设x1 x2 ，则 g( x2 )38 x2 g ( x1 )3

25、8 x12727 g (x2 ) g( x1 )38 ( x2 x1 ) ， x2x10 ， g (x1) g( x2 ) 3827x1 x227 g( x1 )g ( x2 )38 ，即 | g( x1 ) g( x2 ) | 38 | x1 x2 |x1x22727 （12 分）方法 2： M ( x1 , g( x1 ) 、N (x2 , g( x2 ) 是曲线 yg( x) 上任意两相异点，g (x1 ) g( x2 )22( x1x2 )a ，Q x1x22 x1 x2， a 4x1x2x12 x22x1 x22( x1 x2 )a4a44 （8 分）2x12 x22x1 x22(

26、x1 x2 )3x1 x22(x1 x2 )3x1 x2设 t1,t0 ，令 kMNu( t)2 4t 34t2 ， u (t)4t (3t2) ，x1 x2由 u (t)0 ，得 t2 ,由 u (t)0 得 0 t2 ,33u(t) 在 (0,2 ) 上是减函数，在 ( 2 ,) 上是增函数，33u(t) 在 t2处取极小值38， u(t)38，所以g ( x1 ) g( x2 ) 3832727x1 x227即 | g ( x1 )g( x2 ) |38x2 |（12分）| x1279（本小题满分 12 分）已知函数f (x)1x2ax(a1) ln,1.2x a（I）讨论函数 f (

27、x) 的单调性；（II ）证明：若 a5, 则对任意 x1 , x2(0,), x1x2 , 有f ( x1 )f ( x2 )x11.x2（1） f ( x) 的定义域为 (0,) ， f ' ( x)xaa 1 x2ax a 1 ( x 1)( x 1 a)xxx2 分-9精选文库（i ）若 a11,即 a2 ，则 f '( x)( x1) 2. 故 f ( x) 在 (0, ) 单调增加（ii ）若 ax11,而 a1,故1 a2,则当 x(a1,1)时, f '( x) 0.当 x(0, a 1)及 x(1, )时 , f ' ( x)0,故 f ( x

28、)在 (a1,1) 单调减少，在（ 0，a-1），(1,) 单调增加（iii ）若 a11,即 a2,同理可得 f (x)在(1, a1)单调减少 ,在 (0,1), (a 1,)单调增加（II ）考虑函数 g( x)f ( x) x1 x 2ax( a 1) ln xx.2由 g' ( x) x (a 1)a 12 xa 1(a 1) 1 ( a 1 1) 2 .xx由于 aa5, 故 g' ( x)0,即 g( x)在 (0,)单调增加 ，从而当 x1x20 时有g (x1 ) g(x2 )0, 即 f ( x1 )f ( x2 ) x1x20,故 f (x1 )f (x2

29、 )1 ，当0x1x2 时，有 f (x1 )f ( x2 )f (x2 )f ( x1 )1x1x2x1x2x2x110（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x)1 x2a ln x,g( x)(a 1)x ,a12（I ）若函数 f (x),g(x) 在区间1,3 上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a 的取值范围；（II ）若 a(1, e(e2.71828L) ，设 F ( x) f ( x)g( x) ，求证：当 x1, x21,a 时，不等式 | F ( x1 )F ( x2 ) |1成立解：（ I） f (x)xa ,g (x) a1，（2x分）函数 f ( x),g

30、(x) 在区间 1,3 上都是单调函数且它们的单调性相同，当 x(a1)(x2a)0恒成立，（4 分）1,3 时， f ( x) g (x)x即 (a 1)( x2a)0 恒成立，a1a1 ax2在 x1,3时恒成立，或ax2 在 x1,3 时恒成立， 9 x1 ， a1 或 a 9（6 分）（II ） F ( x)1x2a ln x,(a 1)x ， F ( x)xa(a1)( x a)( x 1)2xx F ( x) 定义域是 (0,) ， a (1,e ，即 a1 F ( x) 在 (0,1) 是增函数，在 (1,a) 实际减函数，在 ( a,) 是增函数当 x1 时， F ( x) 取极大值 MF (1)a1 ，2-10精选文库当 xa 时，F ( x) 取极小值 mF ( a)a ln a1 a2 a ， （8 分）2 x1 , x21,a ， | F (x1)F (x2 ) | | Mm |Mm （10分）设 G(a)Mm1 a2 a ln a 1 ，则 G (a) a ln a 1 ，22 G (a)11 ， a (1, e ， G (a) 0a G (a)aln a1在 a(1, e 是增函数， G (a)G (1)0 G(a)1 a2 a ln a