2015年高中数学3.4.2函数模型及其应用(3)(精)

1、www.cs- www.cs- 情境问题: 某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余 下的路程下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则 下列四个图形中较符合该学生的走法的是 ( (D 在解决实际问题中，灵活选择数学模型是解决问题的关键. 情境问题: 某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件.12万件.13万件.为了 估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产 品的月产量y与月份兀的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数y= “&+c( 其中宀b b9 9 c为常数).已知4月份的产量为136万件，问：用以上哪个函数 作为模拟函数好？为

2、什么？ www.cs- 数学建构: 1.1. 数据的拟合. 数据拟合就是研究变量之间这种关系， 并给出近似的数学表达式的 一种方法.根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制.解决 数据拟合问题应首先作出散点图，然后通过观察散点趋势选用相应的模 型进行拟合.为使散点图更为清晰，可将数据适当简化. 2.2. 函数模型的选择. (1) 直线型函数一次函数 k k 反比例幕型函数 y= (兀0) www.cs- X X I CICI (2) 对称型函数y=hay=hax x+b+b 或 仃* www.cs- 数学应用暑 例1.现有一杯用88 C热水冲的速溶咖啡，放在24C的房间中，如果咖啡 降温

3、到409需要20min,那么降温到329时， 需要多长时间； 降温到369 时， 需要多长时间(结果精确到0.1)? 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体禺 初始 温度是几，经过一定时间诟的温度是八则7-几=(几-7；) ) 其中町表示环境温度，称为半衰期. www.cs- 例2在经济学中，函数/仗)的边际函数M/U) )的定义= - /(x),某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x台(xeN*)W收入 为/?(x)=3000 x-20 x2(单位：元)，其成本函数为C(x) = 500 x+4000(单位: 元)，利润是收入与成本之差 求利润函数仗)及边际利润函数M

4、P(x)； (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？ 边际函数是经济学中的一个基本概念，也是通过大量的数据拟 合，从中筛选出恰当的数学模型，从而使得经济学研究更加准确， 决策更加科学 情境问题: 1. 一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆.初 学者打高尔夫球，通常是开始时进步较快，但进步到某个程度后就不易再 出现大幅进步某球员从入门学起，他练习打髙尔夫球的成绩记录如下图 所示：根据图中各点，请你从下列函数中：(l)y=ax(l)y=ax2 2bxcbxci i (2)y=ha(2)y=hax x+ b+ b； (兀0)； 判断哪一种函数模型最

5、能反映这位球员练习的进 展情况？ *十。 打完18洞的杆数 160 140 120 100 80 -J 20 40 60 80 m.cOcn m.hlW.cn200 练习总次数 数学探究: 过(40, 120), (80, 100), (120, 90)三点的 打完關的杆数二次函数的解析式为尸碁一”5。 y=axy=ax2 2- - - -bx+cbx+c 160 140 120 100 8D -f -j -T a 100 80 数学探究: k k 过(40, 120), (80, 100), (120, 90)三点的幕 歹=二+ (兀0) 4800 A十。 型函数的解析式为.V=和莎+60

6、(兀0) 打完18洞的杆数 160 140 120 I 数学探究: y=ky=kax+bax+b 尸80 X閒盍+80 （兀 0） 160 140 120 100 8D 打完18洞的杆数 -f -j -T TO5b_sb_WW/.C 心 cn 练习总次数 100 80 练习总次数 7UTO50So100 120 140 160 180 200www.cs- 数学应用: 综上所述，该问题选指数型函数进行拟合较好 按照这种趋势，如果他不退步，至第200次练习时，打完十八洞估测 约多少杆？ 由) )=80X 驴+80 当x=200时，尸83杆. www.cs- 数学应用： 在处理数据拟合(预测或控制

7、)问题时，通常需要以下几个步骤: (1) 根据原始数据，在屏幕直角坐标系中绘出散点图； (2) 通过观察散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线； (3) 根据所学知识，设出拟合曲线的函数解析式. (4) 利用此函数解析式，根据条件对所给的问题进行预测和控制. 因此至第20U次练习时, 打完www.cs- 数学应用: 例3.某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、1.2万件 1.3万件.为了 估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产 品的月产量y与月份兀的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数y= d+c（ 其中宀b b9 9 c为常数）.已知4月份的产量为136万件，问

8、：用以上哪个函数 作为模拟函数好？为什么？ www.cs- 数学应用: 2. 一家人（父亲.母亲.孩子）去某地旅游，有两空旅行社同时发岀邀 请，且有各自的优惠政策甲旅行社承诺，只要父亲一人买全票，其 他家庭成员均享受半价；乙旅行社承诺，家庭旅行算团体旅行，按全 价的三分之二计算.己知这两家的原价是一样的，若家庭中的孩子数 是不同的，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量 的收费表达式，并比较选择哪家更优惠？ 数学应用 3.某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0. 1%,若 初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少丄，问：至少应过滤几次才 能使产品达到市www.cs- 场要求？ 彳 4.己知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,试计算镭的半衰期？ www.cs- 数学应用: 5.某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%,第三年比第二年 增加44%,则这两年的平均增长率为 _ 6.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增 长