三角函数高考题及练习题含答案

1、三角函数高考题及练习题(含答案)1 .掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数 及余弦函数的图象；掌握函数y=Asin( 3叶。的图象及性质.2 .高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因 此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).3 .三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考 加强了对三角函数定义、 图象和性质的考查. 在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特 殊方法，如函数法、待定系

2、数法、数形结合法等.-兀1 .函数y = 2sin2x z T 是最小正周期为 的(填“奇”或“偶”) 函数.答案：冗奇解析:兀y=- cos 2x万=sin2x.2 .函数f(x) = lgx sinx的零点个数为 .答案：3解析：在(0, 十 °°)内作出函数y=lgx、y = sinx的图象，即可得到答案.兀，.r 一，r ,兀 一r3 .函数 y=2sin(3x+()|(<) 的一条对称轴为 x = 12,则()=.兀答案：T4兀兀兀兀解析：由已知可得 3X五+()=卜兀+ 2-, kCZ,即()= kTt+4，kC Z.因为I 4 1<，所 以4=上平

3、4 .4 .若f(x) = 2sinx(0< <施区间0, 上的取大值是 J2,则w=.3答案：34兀CD TT 兀兀解析：由0WxW"3",彳导0< WX< -<,则f(x)在0,上单调递增，且在这个区间 上的最大值是也所以2sin-73L=/2,且0<手<十，所以学="4,解得后3.题型二三角函数定义及应用问题例1设函数f( g V3sin 0 + cos。，其中角。的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴非 负半轴重合，终边经过点 P(x, y),且0w g兀.(1)若点P的坐标是1，手，求f(眦值；x+ y>1,(

4、2)若点P(x, y)为平面区域 xW1, 上的一个动点，试确定角。的取值范围，并求y< 1函数f(。的最小值和最大值.解：(1)根据三角函数定义得sinQ =23, cosQ =；,，f( 0今2.(本题也可以根据定义一.一,兀 及角的氾围得角9=,从而求出f(。32).3(2)在直角坐标系中画出可行域知0W,又f(妗J3sin9 + cos。= 2sin时看,、，一 一一一、兀 ，一 、当 0= 0, f(。/所=1；当 0= , f ( 9max=2.3(注：注意条件，使用三角函数的定义，一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y=

5、Asin (叶。的形式)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角“、3,它们的终边分别与单位圆相交于 A、B两点，已知A、B的横坐标分别为求、芈.求：105tan(时(的值;(2)七2 3的值.3C 0?,所以 sin a = q 1 cos2 a解：由题意得 cos a = 米,cos 3 =2展，a、=苇, sin 3 = W - cos2 3 =呼,1因此 tan a = 7, tan 3 = 2. 1 , c7十二tan a + tan 32匕n( " 34itanatan 3 =11-7X2(2) tan( aj-2 3羊tan(才 3并 3*-3+2=-1

6、.1- (3)又 a + 2 3C 0, ,所以 a+ 2 3= 题型二三角函数的图象与解析式问题例2 函数f(x) = Asin( 3叶。)(A、。是常数，A>0 , « >0)的部分图象如图所示.求f(0)的值；兀d(2)若0<4<兀，求函数f(x)在区间0,上的取值范围.3丁_7兀_兀 兀厂12 34解：(1)由题图可知A=y2,w = 2.又 2X 既 +()= 2k 兀 + , ,兀 一一()=2k 兀 + -3-(k C Z), f(0)=成sin 2k % + y =乎.7t1-7t(2)(="3"，f(x) = V2 sin

7、 2x+ - 兀兀所以.w 2x +w兀，所以0W sin 2x+y <1,即f(x)的取值范围为0,也.(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及 y=Asin( 3在。的图象与性质以及诱导公 式，运用数形结合思想，属于中档题 )已知函数f(x) = Asin cox+ Bcos cox(A、B、3是常数，co > 0)的最小正周期为 2,并且当 x =最时,f(x) max= 2.3(1)求f(x)的解析式；21 23 .(2)在闭区间 了，上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴万程；如果 不存在，请说明理由.0)解：(1)因为f(x) = A2+B2sin(co叶4

8、)由它的最小正周期为7t7t又当 x=1时，f(x)max=2,知1 兀+ Q 2kTt + 5(kCZ),即 Q 2kTt + 4(kCZ),所以 f(x)= 33262sin % x+2kjt + = 2sin u x + y (k Z).，一，兀故f(x)的解析式为f(x) =2sin % x + .6(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令兀x +7t7t=k兀十万(k Z),解得x=1, 21 1 23 -59)65k + 3(kCZ),由 7Wk +解得 i2wkw 行.题型三例3k=5,由此可知在闭区间21, 23上存在f(x)的对称轴

9、，其方程为 x=¥三角函数的性质与图象的移动问题把函数f(x) = sin2x 2sinxcosx + 3cos2x的图象沿x轴向左平移 m个单位(m>0),所得函数的图象关于直线求m的最小值;(2)负数；证明：当xC 设 xi, x2C (0,解：f(x) = sin217兀815 万 一 一 号 时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为8兀),xiWx2,且 f(xi) = f(x2)= 1 ,求 xi + x2 的值.x 2sinxcosx + 3cos2x = _ 2s2x_ sin2x+ 3 '1+ cos2x=cos2x sin2x+ 2= 2co

10、s 2x+： + 2.因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0),得到g(x) = J22 (x+ m)兀C+ 7 +2的图象，又g(x)的图象关于直线17兀x =-对称,所以217兀-8(2k 9)兀(kCZ).因为m>0,所以m的最小值为(2)证明:17兀8714 .15兀 Z兀4 兀 <2x + 一一,1黄上是减函数.所以当xi、x2 17兀8415兀8以f(x)在f(xi)>f(x 2),从而经过任意两点解：令f(x) = 1,所以(xi, f(xi)和(x2, f(x2)的直线的斜率兀cos 2x + "4" = 2 .因为30&

11、#39;兀)'所以2壮5。亍'所以2x+2x+亍=9即9兀4 .兀兀x=- x = .因为xi、x2 (0,兀),xiWx2,且 f(x 1)= f(x2)= 1 ,所以 xi +,且 xi<x2时，都有f (xi) f (x2)k=<0.xi x2兀 兀 3兀x2=7+T=T已知函数f(x) =2sin w x,其中常数3 >0.(1)若y = f(x)在一亍， 上单调递增，求的取值范围;兀 A 、，、一， 一一，“、，、(2)令3= 2,将函数y=f(x)的图象向左平移 至个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，区间a, b(a, bCR且

12、a<b)满足：y=g(x)在a, b上至少含有 30个零点, 在所有满足上述条件的a, b中，求b- a的最小值.解：(1)因为3>。根据题意有3兀兀2兀一冗CO < 32兀(2) f(x) =2sin2x, g(x) = 2sin2 x + + 1 = 2sin兀兀2x+y +1, g(x) =0泳 sin 2x+y =-冰0<W 4.x=kjt 刀或 x=kjt 兀,kC312g(x)在a, b上至少含有30个零点，则Z,即g(x)的零点相邻间隔依次为 。和Y，故若y = ba 的最小值为 14X23+15X9 = 43%.333已知函数 f(x) =V3sin(

13、3在 4 Acos( cox兀+ (f) )(0< (f)兄，W >0)为偶函数，且函数 y= f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f专的值；8兀(2)将函数y = f(x)的图象向右平移 百个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数 g(x)的单调递减区间.31斛：(1) f(x) = V3slMc0 x+()- cos( 3 x+()= 2 sin ( 3 x+ 4) 2cos ( 3 x+ »=兀2sin cox+ Q .因为f(x)为偶函数，所以对 xC R, f(x) = f(x)恒成立，兀兀因此 sin - co x+()- - = sin wx+

14、 6-,66IP sin w xcos ()-6 + cosw xsin7t7t7t(- - = sin w xcos(H )+ cosw xsin Q ,一，I兀一，一整理得 sin w xcos ()- - =0.因为 w> 0,且 xCR, 兀兀 兀所以 cos (j)- - =0.又 0归兀，故 Q"6" = -2.所以 f(x)=2sin cox+G" =2cosco x.由题意得 彳:=2 X "2",所以 w= 2,故 f(x) = 2cos2x,一 兀兀一因此 f 8 = 2cOS-= 2p.兀兀兀(2)将f(x)的图象向

15、右平移 9个单位后，得到f x-的图象，所以g(x) = f x-=兀兀兀II兀2cos 2 x = 2cos 2x .当 2k 兀 < 2x 2k 兀 + 兀(kCZ),即 k7t+<x<k7t +9(kCZ)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为 k % + ,卜兀+萼(kCZ).363题型四三角函数图象及性质、三角公式综合运用.一一一兀L例 4 已知函数 f(x) = 2sin2 -4- + x 43cos2x1, xCR.(1)求f(x)的最小正周期；兀(2)若h(x) = f(x + t)的图象关于点一万，0对称，且te(0,兀)，求t的值；兀 兀，*,

16、(3)当xC 4， 时，不等式|f(x) m|<3恒成立，求实数 m的取值范围.7tL兀，解：因为f(x)=cosq + 2x y3cos2x= 2sin 2x "3 ,故f(x)的最小正周期为兀兀(2) h(x) = 2sin 2x+ 2t-y .令 2 x兀兀兀石 + 2t- -= kTt(kCZ),又 tC(0,兀)，故 t=-35兀兀 2兀即 f(x) -3< m<f(x) + 3,兀 兀兀(3)当 xC 了,时，2x-yf(x) C 1 , 2,又 |f(x)- m|<3, 2 3vmv1+3,即一1vmv4.兀已知函数 f(x) = Asin( 3

17、叶4 )(A>0, 3 >0, |。|<兀)，在同一周期内，当 x =乱时，f(x) 取得最大值3;当x= 172兀时，f(x)取得最小值3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；兀 兀 ，一一,一 一，、，一，一一(3)若xC 目，6时，函数h(x) = 2f(x) + 1 m有两个零点，求实数 m的取值范围. 一，一7 兀2 %斛：(1)由题忌，A = 3, 丁=2彳2兀 -12 =兀，3= T= 2. 兀兀兀由 2 X12+()= + 2k 兀得()=+ 2k % , k C Z.兀兀又一兀 <()< 兀， 4 = "3

18、"， f(x) =3sin 2x + "3".(2)由+2kjt w Zx + gw 32匚 + 2卜兀，得"6" + 2k 兀 w 2xW Z + Zk 兀，IP 1Y k u < x<717 + k兀，kCZ.函数f(x)的单调递减区间为12+ k% , 72+k兀，kCZ.(3)由题意知，方程 sin 2x+T- =m在一?，£ 上有两个根. 3636兀2x+m 163mC 1 -373, 7).1. (2013 江西卷)设f(x) =43sin3x+cos3x,若对任意实数 x都有|f(x)| wa,则实数a的 取

19、值范围是.答案：a>2, 一L兀一.解析：f(x) = 43sin3x+cos3x= 2sin 3x+, |f(x)| < 2,所以 a> 2.2. (2013天津卷)函数f(x) = sin 2x 1 在区间0, 上的取小值是答案：-孝3. (2013全国卷)函数y= cos(2x+()(- % <()<兀)的图象向右平移 万个单位后，与函数兀一y=sin 2x+"3的图象重合，则| (H答案：M64. (2014北京卷)设函数f(x) =Asin(叶e )(A 、()是常数，A>0 ,>0).若f(x)在区间 g V上具有单调性，且f 3

20、" =f T = f 2，则f(x)的最小正周期为 6 2236答案：冗兀 兀兀兀.解析：由f(x)在区间,上具有单调性，f = - f 知，函数f(x)的对称中心为3,0,函数f(x)的对称轴为直线x=2 |+i3l =7a，设函数f(x)的最小正周期为所以 |t>-|- ,艮P T > 3-, 所以7兀 兀123、一一 ，一，15. (2014 福建卷)已知函数 f(x) = cosx(sinx + cosx) ".(2)若0< a <|",且sin a =乎，求f( a的值; 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(解法1)(

21、1)因为0<所以f(月兀221=212.(2)因为f(x)=-22,所以 cos” = £.=sinxcosx + cos2x 2_ 12 + 1 + cos2x兀sin 2x+v , 4兀wk兀+石,所以T =兀.由 2k兀<22kCZ.所以f(x)的单调递增区间为1一2兀=-sin2x + 2 cos2x =2x + 1& 2k 兀 十 万, k兀+"87tkCZ,得kC Z.11(解 法 2)f(x) = sinxcosx + cos2x 2 = 2 sin2x +1+ cos2x2=sin2x + 2 cos2x =兀sin 2x + .兀(1)

22、因为 0< a W从而f( a今.sin(2) T = T=兀.sin a = &,所以 a= 24.2升十"sinW由 2kTt ，w2x+_4w2kTt +，, kCZ,得 k 兀wx w k 兀 +京，kCZ.所以 f(x) 的单调递增区间为k7t-38L, k兀+看，kCZ.6. (2013 北京卷)已知函数 f(x) = (2cos2x 1)sin2x + gcos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若a ,兀，且f(启2,求a的值.111斛：(1)因为 f(x) = (2cos2x 1)sin2x +2cos4x= cos2xsin2x + 2

23、cos4x=-(sin4x + cos4x)=sin 4x + ,所以f(x)的最小正周期为,最大值为当.(2)因为f(启2,所以兀，所以所以4升5兀兀, sin 4 a+ =1.4a+-红，?工，4449a=16 .(本题模拟高考评分标准，满分14分)、r一3一兀一设 a>0,函数 f(x) = asinxcosx sinx cosx, xC 0,万 的取大值为 G(A).(1)设t= sinx+cosx, xC 0,万，求t的取值氾围，并把 f(x)表本为t的函数m(t);(2)求 G(A).解：(1) t= sinx+ cosx= sin x+-4 . x 0, -2- , - x

24、+-4 十,34-,"72兀2 sin x+；4 w 1, 1wtw42,即t的取值范围为1,避.(3分) 兀一(另解：. x 0, , 1- t= sinx + cosx= 1 + sin2x. 2x 0,兀得 0Wsin2xW1,1 w tw 淄)t2 1一、t=sinx+cosx,sinxcosx = -2-, (5 分)1 11l- m(t)=a -2-t=2at2-t-2a, t 1 ,亚,a>0.(7 分)(2)由二次函数的图象与性质得：当<1±普,即 a>2(观1)时，G(A) =m(V2)=1a-寸2； (10 分) a 22当!> 1 + ',即0<a< 2(721)时，G(A) = m(1) = 72.(13 分) a 21G(A)(14 分)1a-V2, a>2 (V2-1), 贬,0<a<2 (V2-D .兀兀C1 .若4<xcy,则函数y=tan2xtan3x的最大值为答案：8解析：令 tanx = tC(1, +8), y = 121, y'(t)= 4t (t：?皿),得 t=平时 y取最大值8.2 .已知函数 f(x) = 2cos2x+sin2x,求：f 的值； 33 2) f(x)的最大值和最小值.解：(1) f - =2cos S- sin2=-1