动态法测量杨氏模量

1、学生姓名：南昌大学大学物理实验报告学号:专业班级:实验时间：时分 第 周星期:座位号：动态法测量杨氏模量实验目的1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，熟悉信号源和示波器的使用二实验原理如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯 曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为棒的轴线沿x方向,42y S y门 V+ r=0 x4 EJ t2(1)宀图1式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m2; P为材料密度，S为截面面积，J为某一截面的转动惯量，J= y2ds。S横振动方程的边界条件为：

2、棒的两端（x=0，L ）是自由端，端点既不受正应 力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令y （x，t） =X （x） T （t），既 有1 d4X dx42马1雪EJ T dt由于等式两边分别是两个变量x和t的函数,等于同一个常数时等式才成立,假设此常数为(2)所以只有当等式两边都等于两边都K4,则可得到下列两个方程(8)K1值代入频(10)2所示，第 试样在作基2 EL°SE= 1.997810-32J咚+d 0dt2S如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为X(x)=a 1chKx+a2shKx a3cosKx a4sin Kx / 、 /'(5)T (

3、t) b cos( t )于是可以得出y (x， t) = ( ahKx+a 2shKx a3cosKx a4 sin Kx ) ? b cos( t )(6)式中K4EJ 2F式中（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样 的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件得到cosKL?chKL=1采用数值法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系：KnL=0,，（9）其中第一根KoL =0对应试样静止状态；第二根记为 KiL =，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或者称为固有频率，此时的振动状态如图 根©L=所对应的振动状态如图3所示，称为一次谐波。由

4、此可知, 频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面和。将基频对应的 率公式，可得到杨氏模量为37.8870 10 2 丿J.3 L mE 1.6067 r d4同样，对于矩形棒试样则有I 3E 矩=6.9464(12)L m f 2 bh式中，m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为 矩形棒的宽度和高度。如果，圆棒试样不能满足dv<L时，式（11）应乘以一个修正系数，T1,即I oE 1.6067 冲 f2T1（ 13）d式（13）中的修正系数T1可以根据径长比d/L的泊松比有径长比与修正系数的对应关系径长比d/L'修正系 数T1由式（10）（ 12）可

5、知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算 试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有 频率。f固 =f 共本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率 f固和共振频率f共是相关 的两个不同概念，二者之间的关系为(14)式（14）中Q为试样的机械品质因数。一般 Q值远大于50,共振频率和固有频 率相比只偏低，两者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频 率。试样在做基频振动时，存在两个节点，分别在和处，显然节点是不振动的， 实验时支撑点不能放在节点处，而本实验又同时要求在试样两端自由的条件下， 检测出共振频率。显然这两条矛盾的。支撑点离节点越远，可以

6、检测到的共振信 号就越强，但试样受外力越大，这样产生的系统误差就越大。图4为两端自由杆 基频弯曲振动波形。为了消除误差，可采用内插法测量法测出换能器支撑点在节点时， 式样的共 振频率，具体测量法是改变支撑点的位置，逐步测出试样的共振频率 f，设试样 端面离支撑点的距离为X，以x/l为横坐标，共振频率f为纵坐标，用orgin耦合 一下数据，求出最低点。三、实验仪器和装置电源，铜棒，螺旋测微计，游标卡尺，天平，示波器，信号发生器，换能图5四、实验步骤1, 用螺旋测微计测量试样的直径。2, 游标卡尺测量试样的长度。3, 用天平测量棒的质量。4, 支撑法测量步骤：（1）安装试样棒。将棒放在支撑架上，保

7、持棒横向水平，换能器到试样棒端点的距离相同。（2）连接测量仪器。动态弹性模量测定仪激振信号输出端接激振器的输入端，拾振信号的输入端接拾振器的输出端，拾振信号的输出端接示波 / 器丫通道。将示波器X通道接激振信号的输出端，用李萨如图形测量。（3）开机调试。开启仪器电源，调节示波器处于正常工作状态，信号发生 器的频率置于5kHz挡，连续调节输出频率，此时激发换能器应发出 声响。轻敲桌面，示波器丫轴信号大小立即变动并与敲击强度有关，说明该装置已处于工作状态。，说明该装置已处于工作状态。，说明该 装置已处于工作状态。（4）检频与测量。由低到高调节信号发生器的输出频率，正确找出试样棒 的基频共振状态，从

8、频率计上读出共振频率。（5）测量基频共振频率。在两节点位置两侧各取几个测试点，各点间隔 5mm左右，从外向内依次同时移动两个支撑点的位置， 每次移动5mm， 测出不同位置处基频共振频率。/五，数据处理实验数据如下棒长L=178mm，棒直径D=8mm，棒质量 m=75g, T1 =距离x/mmx/l频率f/Hz节点附近耦合的曲线如图最低点x/l=f=.3利用公式 E 1.60672 Ti d4E 1.6067 (178 Em.710%( 751.778 Hz) 2 1.008 (8 10-3m)410=9.45 10 pa六、思考题1、如何尽快找到试样基频共振频率？答：测试前根据试样的材质、尺寸、质量，通过公式式估算出共振频率的数值, 在上