动点问题中的最值二

1、动点问题中的最值二、填空题1、（ 2016?内江）如图所示，已知点 C （1 , 0）,直线y= - x+7与两坐标轴分别交于 A , B两点，D, E分别是AB ,2、（ 2016?舟山）如图，在直角坐标系中，点A , B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（-1, 0）, / ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿 OBA的边按BtAO 运动一周，同时另一端点 Q随之在x轴的非负半轴上运 周时，点Q运动的总路程为中，/ A=90° AB=AC , BC=20 , DE是厶ABC的中位线，点 M是边BC上一点,BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接 DN , ME

2、 , DN与ME相交于点O 若 OMN是直角三角形，则 DO的4、（ 2016?龙东）如图，MN是O O的直径，MN=4 , / AMN=40，点B为弧AN的中点，点 P是直径MN上的一个 动点，贝U pa+pb的最小值为 5、（ 2016?日照）如图，直线 y= - ； +、与x轴、y轴分别交于点 A、B;点Q是以C （ 0,- 1 ）为圆心、1为半径AB于点P,则线段PQ的最小是、选择题6、（ 2016?龙岩）如图，在周长为 12的菱形ABCD中，AE=1 , AF=2，若P为对角线BD上一动点，贝U EP+FP的最小 值为（）A、1C、3 D、4(7)10)7、（ 2016?章州）如图，

3、在 ABC中， 为正整数，则点D的个数共有（）8（ 2016?荆门）如图，正方形 ABCD到点C停止，设点P的运动路程为x （cm） 的图象是（AB=AC=5 , BC=8, IA、5个 B、4个的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿 ，在下列图象中，能表示 ADP的面积yD是线段BC上的动点（不含端点 B、C）.若线段AD长C、3个D、2个At BC的方向运动 （cm2）关于x （cm）的函数关系)M方向匀速运动，到 M时停止运动, 的图形面积为S （ cm2）A - B -速度为 1cm/s .设P点的运动时间为t （s）,点P的运动路径与 OA、OP所围成S （cm2）与时间

4、t （ s）的关系的图象可以是（），则描述面积?A、B、D、Q10、（2016?西 宁）的速度移动，动点运动过程中， PBQ的最大面积是（如图，在 ABC中，/ B=90°, tan/ C=二,AB=6cm 动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/sQ从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动若 P, Q两点分别从A , B两点同时出发，在）A、18cm2B、12cm2 C、9cm2 D、3cm2C"c、A、B、D、12、（ 2016?齐南）如图，在四边形 ABCD 中，AB / CD , / B=90°11、 （ 2016?西宁）如图，点 A的坐标为（0,

5、1），点B是x轴正半轴上的一动点，以 AB为边作等腰直角 ABC，使 / BAC=90，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）AB=AD=5 , BC=4 , M、N、E 分另ij是 AB、AD、CB上的点，AM=CE=1 , AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 MB - BE向点E运动，同时点 Q从点N出发，以相同的速度沿折线 ND - DC - CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动.设厶APQ 的面积为S,运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（/ ABO=30点Q运动的总路程为+1+2+ 1=4EF=DN

6、四边形DO根据/ BAO=60DEFN是平行四边形DE是厶ABC中位线四边形DEFN是矩形/ EFN =90°当点P从OB时动点问题中的最值二答案则点Q运动的路程为 QO=1当点P从CA时，如图3所示，点Q运动的路程为 QQ =2- DEC 的周长=DE+EC+CD=EC +ED+DC' =C ' C = 一£"=10OQ=2 - 1=1DE / BC , DE= BC=10DE=FN =10/ AB=AC , / A=90°DN / EF计算即可 / MON=9°，利用 DOEEFM分析：分两种情形讨论即可 / MN 0

7、9; =90；如图1、图2所示，点Q运动的路程为EM=. -卜 丁'当点P从AO时，点Q运动的路程为 AO=1=13； DO=1、10解：如图，点C关于OA的对称点C'（- 1；0）；点C关于直线AB的对称点 C （乙6）连接C' C与 AO交于点E，与AB交于点D，此时 DEC周长最小；2、4 解：在 Rt AOB 中；/ABO=30°AO=1 ； AB=2 ； BO=分析：本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形；此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点 看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题.25503、或匸解：如图作 EF丄BC于

8、F； DN丄BC于N'交EM于点O，此时/ MN O =90°nrD0z_D0_5 -DO'分析：点C关于OA的对称点C' （- 1 ； 0）AB交于点D，此时 DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段 离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点EDMN7EDm7 / B= / C=4510BN =DN =EF=FC=5,25=EDEMDOEF点C关于直线 AB的对称点 C （7 ； 6）；连接C C与 AO交于点E；与C' C：'本题考查轴对称-最短问题、两点之间距D、点E位置；属于中考常考题型.当/ MON=9° 时，/ DO

9、EEFMpnbH -迪l;?J (40当点P从BC时，如图3所示，这时QC丄AB，则/ ACQ=90y JLIDJd? Q iCQCQ/ OQD=9O - 60 =30- cos30 =- AQ= =2cosjiT=丽EM得解：过A作关于直线MN的对称点A',连接A'B, 连接OB , OA , AA , / AA关于直线 MN对称，/ AMN=40 ,A ON=80 , / BON=40 ,过 O 作 OQ 丄 A'B 于 Q ,在 Rt A OQ 中，OA =2,由轴对称的性质可知 A'B即为PA+PB的最小值,八/ A OB=120, A B=2A Q=2

10、, 即PA+PB的最小值2.V/本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知属于中考常考题型.识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线,4、2分析：过A作关于直线MN的对称点A,连接A'B,由轴对称的性质可知 A'B即为PA+PB的最小值，由对称的性质 可知 V尸【|,再由圆周角定理可求出 / A ON的度数，再由勾股定理即可求解本题考查的是轴对称-最短路线 问题，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解.5、叵5解：过点C作CP丄直线AB与点P,过点P作O C的切线PQ,切点为Q,

11、此时PQ最小，连接CQ,如图所示.3 卜4T16直线AB的解析式为y=-巳即3x+4y - 12=0 , CP=4 廿制'CQ=1 , / CQP=90 , PQ=分析：过点C作CP丄直线AB与点P,过点P作OC的切线PQ,切点为Q,此时PQ最小，连接CQ,由点到直线的 距离求出CP的长度，再根据勾股定理即可求出PQ的长度本题考查了切线的性质、点到直线的距离以及勾股定理，解题的关键是确定 P、Q点的位置本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P、Q的位置是关键.二、选择题6、C解：作F点关于BD的对称点F；贝UPF=PF',连接EF&#

12、39;交BD于点P. EP+FP=EP+F'P由两点之间线段最短可知：当E、P、F'在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时 EP+FP=EP+FP=EF 四边形 ABCD为菱形，周长为 12, AB=BC=CD=DA=3 , AB/ CD ,/ AF=2 , AE=1 , DF=AE=1,四边形 AEF D 是平行四边形， EF' =AD=3. EP+FP 的最小值为3 分析：作F点关于BD的对称点F',则PF=PF ,由两点之间线段最短可知当E、P、F'在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF'的长度即可本题主要考查的是菱形的性质、轴

13、对称-路径最短问题，明确当E、P、F'在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键.7、C 解：过 A 作 AE 丄 BC,/ AB=AC ,/ EC=BE=丄 BC=4 ,/ AE=汀 _|，：=3 ,D是线段BC上的动点(不含端点 B、C). 3< AD< 5, / AD=3或4,线段AD长为正整数， 点D的个数共有3个，R D EC分析：首先过 A作AE丄BC,当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出 AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案.此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股 定理，关键是正确利用勾

14、股定理计算出AD的最小值，然后求出 AD的取值范围.8 A 解：当P点由A运动到B点时，即0< x£时，y=疋x=x ,当P点由B运动到C点时，即2< x< 4时，y 一疋怎=2 ,符合题意的函数关系的图象是 A ;分析： ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由 B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量 的取值范围.9、A 解：分两种情况： 当0W< 4时， 作0M丄AB于M，如图1所示： 四边形 ABCD 是正方形，B=90° , A

15、D=AB=BC=4cm ,/ 0 是正方形 ABCD 的中心， - AM=BM=OM= * AB=2cm , S= g AP?OM= + Xt >2=t ( cm2)； 当t4寸，作OM丄AB于M , 如图2所示：1 1 2S=A OAM 的面积 + 梯形 OMBP 的面积=一 X >2+ - (2+t - 4) X2=t ( cm2);a严:As综上所述：面积SS与t的函数关系式是解决问分析：本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，求出 题的关键.分两种情况： 当0W< 4时，作OM丄AB于M，由正方形的性质得出 / B=90° , AD

16、=AB=BC=4cm ,AM=BM=OM= AB=2cm，由三角形的面积得出 S= AP?OM=t (cm2)；当t4时S=A OAM的面积+梯形OMBP的面积=t (cm2);得出面积S (cm2)与时间t (s)的关系的图象是过原 点的线段，即可得出结论.3AB 6310、C 解：/ tan/ C=可，AB=6cm , 丁一 = =, BC=8 , 由题意得：AP=t, BP=6 - t, BQ=2t,设厶 PBQ 的面积为 S, 则 S=丄 XBPXBQ= 一 档 X( 6- t),S= - t2+6t= -(t2 - 6t+9 - 9) =-( t- 3) 2+9 ,P： 0<

17、t手6Q： 0w t <4 当t=3时，S有最大值为9, 即当t=3时， PBQ的最大面积为9cm2;分析：先根据已知求边长 BC,再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设 PBQ的面积为S,利用直角三角形的面积公式列关于 S与t的函数关系式，并求最值即可本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角=时间X速度)；这类动点形的有关知识和二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程(路程 型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求 差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的

18、取值范围.11、A解：作AD / x轴，作CD丄AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x , OA=1 , / AOB=90 , / BAC=90 , AB=AC，点 C 的纵坐标是 y, / AD / x 轴，/ DAO+ / AOD=180 ,DAO=90 ,OAB+ / BAD= / BAD+ / DAC=90 ,OAB= / DAC ,在厶OAB和厶DAC中，A ADC., :. OAB DAC (AAS ) , / OB=CD , / CD=x ,LOAB LADC/点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点 A到x的距离1, y=x+1 (x> 0)分析：根据题意作出合适的辅助线，可以先证明 ADC和厶AOB的关系，即可建立 y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象.解: / AD-5 , AN-3 , DN-2 ,如图1,过点 D作DF丄AB , DF=BC=4 ,在 RT ADF中，AD=5 , DF=4 ,根据勾股定理得， AF=只分三种情况:过Q作QG丄AB，过点D作DF丄AB , QG / DF , / AM=1 , AN=3 , AQ=t+3 , 牛丄54T AP=t+1 ,-