匀强磁场中匀速圆周运动问题的数理方法

1、匀强磁场中匀速圆周运动问题的数理方法解决带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题的 关键是：找出做圆周运动轨迹的圆心并作出运动轨迹，依据 图中的几何关系寻求解决问题的途径笔者认为，从数学原理 的角度，应让学生整体领会平面几何中与带电粒子在匀强磁 场中做匀速圆周运动问题有关的尺规作图知识；从物理方法 的角度，应让学生建构作图知识在具体物理情境中的实际物 理意义，通过作图建构有意义并有效的物理图景，并能运用 数学平面几何和解析几何知识解决物理问题.一、与圆周运动有关的平面几何的尺规作图为了实现后面的有意义学习和有效建构，我们设计并呈 现了一个学生可以自主探究和班级交流的方式解决的过渡 性问题，一方面

2、，给学生铺设好拾级而上的台阶；另一方面， 让学生整体领会平面几何中与带电粒子在匀强磁场中做匀 速圆周运动问题有关的尺规作图知识，有助于全面把握作图 方法和要领.如图1所示，已知圆心为0,半径为的实线圆；据平 面几何的定理及其作图知识，先作岀已知圆的切线、弦等； 然后以已知圆的切线、弦等为辅助线作出通过已知圆的圆心 o的直线和半径同为的圆o'再逆向思考已知一个圆的 切线、弦等，如何作图寻找该圆的圆心并作出圆，如图2所 示.经过交流，基本上可以形成图1中的四种意见和方法, 先作出圆心所在直线或圆其一，过切点作与圆的切线垂直的 直线L；其二，作圆的弦的垂直平分线1/ ；其三，作圆的两 条切线

3、夹角a的平分线；其四，作以圆周上一点0为 圆心，以r为半径的圆0 然后根据两线相交可以确定圆心 并作出圆.二、揭示数学知识和方法所隐含的物理意义物理与数学，一个相对抽象，另一个相对具体，要把抽 象的数学知识结合具体的物理情境，并揭示数学知识和方法 所隐含的物理意义，这样，数学才会成为学生解决物理问题 的工具为此，我们又设计和呈现了四个具体、单纯的物理作 图问题，让学生找出做圆周运动的圆心，并总结出四个作图 要领.其一，过切点作与圆的切线垂直的直线如图3所示，从 A点分别以大小不等但方向相同的速度vl> v2和垂直于磁场 射入（射岀）的带电粒子做匀速圆周运动轨迹的圆心分别是01和02, 0

4、1和02均在过A点垂直于vl的直线A01上.要领一带电粒子从同一已知点以不同的速率向平面上 同一已知方向射入（射出），若匀强磁场垂直该平面，则这 些粒子做匀速圆周运动的轨迹圆心必在过该点与速度方向 垂直的直线上，这些圆轨迹相切.其二，作圆的弦的垂直平分线如图4所示，垂直于磁 场从A （或B）点射入，并从B （或A）射出的带电粒子做匀 速圆周运动轨迹的圆心可能是02 （或02）, 02和02均在 AB连线的垂直平分线0202上.要领二带电粒子从有界平面上一己知点射入、并从另一 已知点射出，若匀强磁场只垂直分布于该有界平面内，则这 些粒子做匀速圆周运动的圆心必在射入点和射出点连线的 中垂线上.其三

5、，作圆的两条切线夹角Q的平分线如图5所示，垂 直于磁场沿vl方向射入，并沿v2方向射岀的带电粒子做匀 速圆周运动轨迹的圆心可能是01 （或02）, 01和02均在角 a的平分线上，角a是vl偏离v2方向的偏向角B的邻角.要领三在平面上，带电粒子从未知点向一已知方向射入、 并从另一未知点向另一已知方向射出，若匀强磁场垂直分布 于该有界平面内，则这些粒子做匀速圆周运动的圆心必在射 岀方向对射入方向的偏向角的邻角的平分线上.其四，作以圆周上一点为圆心，以r为半径的圆如图6 所示，比荷为，垂直于磁场从0点射入（射岀）的带电粒 子做匀速圆周运动轨迹的圆心分别是01和02, 01和02均 在圆心为0,半径

6、为二的圆上.要领四已知比荷为的带电粒子，在同一已知点以相同 的速率向平面上各个方向射入（射岀），若已知磁感强度为B 的匀强磁场垂直该平面，则这些粒子做匀速圆周运动的圆心 必在以该点为圆心、半径为二的圆上.三、典型例题解析、点评知识、方法和要领，都需要在解决具体问题中检验其有 效性，并可深化知识的有意义建构.例2（2007年广东高考卷第20题）图7是某装置的垂 直截面图，虚线A2A2是垂直截面与磁场区边界面的交线， 匀强磁场分布在A2A2的右侧区域，磁感应强度B二0.4T,方 向垂直纸面向外，A1A2与垂直截面上的水平线夹角为 45° .A1A2左侧，固定的薄板和等大的挡板均水平放置，

7、它 们与垂直截面交线分别为SI、S2,相距L=0.2m.在薄板上P 处开一小孔，P与A1A2线上点D的水平距离为L.在小孔处 装一个电子快门起初快门开启，一旦有带正电微粒通过小孔, 快门立即关闭，此后每隔T=3.0X10-3s开启一次并瞬间关闭. 从S1S2之间的某一位置水平发射一速度为V0的带正电微粒, 它经过磁场区域后入射到P处小孔通过小孔的微粒与挡板 发生碰撞而反弹，反弹速度大小是碰前的0.5倍.（1）经过一次反弹直接从小孔射岀的微粒，其初速度 vO应为多少？（2）求上述微粒从最初水平射入磁场到第二次离开磁 场的时间.（忽略微粒所受重力影响，碰撞过程无电荷转移. 已知微粒的荷质比=l0X

8、103C/kg只考虑纸面上带电微粒 的运动）解析如图8所示，作第一次进入磁场的路线交A2A2于 点C,作第一次出磁场（第二次进入磁场）的路线交A1A2 于点E,两路线相交于点F；过点C作与入射速度方向垂直 的垂线，过点E作与射岀的速度方向垂直的垂线（或线段CE 的中垂线，或ZCFE的平分线），两线相交于点01;所以， 以01为圆心，01C为半径可作出粒子第一次在磁场内做匀 速圆周运动的轨迹作过点E与第二次入射速度方向垂直的 垂线，以E为圆心，以02C长度的一半为半径作圆，交垂线 于点02；所以，以02为圆心，02E为半径可作出粒子第二 次在磁场内做匀速圆周运动的轨迹，第二次从磁场边界Q点 射出

9、磁场设带正电微粒在S1S2之间任意点C以水平速度vO 进入磁场，微粒受到的洛仑兹力为f,在磁场中做圆周运动 的半径为r,有：欲使微粒能进入小孔，的取值范围为LVr例2（据2004年甘肃等省、自治区高考理综第24题改编）一匀 强磁场，磁场方向垂直于xy平面在xy平面上，一个质量为 m电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为V, 方向沿x正方向后来，粒子经过y轴上的P,此时速度方向 与y轴的夹角为30° , P到O的距离为L,如图9所示不计 重力的影响求：（1）磁感强度B的大小；（2）xy平面上圆形磁场区域的最小半径R.解析（1）如图10所示，对粒子，轨迹圆心是偏向角邻 角的平分线

10、与过射入磁场边界点o垂直于射入速度垂线的交 点0，根据图中几何关系，可得轨迹半径（2）以0为圆心，r为半径，作出粒子在磁场中运动 轨迹，与射岀速度延长线相切于P',根据图中几何关系， 可得xy平面上圆形磁场区域的最小半径圆心为OP'的中点0 '，可作出xy平面上圆形磁场 区域.点评该题是根据带电粒子运动的部分情况，求解带电 粒子运动其他情况、磁场区域和磁感应强度学生的误解主要 是把P当作粒子射出磁场区域的边界点，虽然已知粒子做圆 周运动的射入（出）磁场区域的边界点或方向，但需要依据 要领1和要领3组合寻求轨迹圆心和轨迹半径，作岀粒子运 动轨迹，找到粒子射出磁场区域的边界

11、点，从而获得磁感应 强度和圆形磁场区域及其最小半径.例3在xoy平面内有许多电子（质量为m、电量为e）, 从坐标0不断以相同速率vO沿不同方向射入第一象限，如 图所示现加一个垂直于xoy平面向内、磁感强度为B的 匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x正 方向运动，求符合该条件磁场的最小面积.解析 对电子，做匀速圆周运动的轨迹半径为r二;所以，从坐标0沿不同方向射入第一象限的电子做匀速 圆周运动的轨迹圆心在以0为圆心，半径为r的圆在第四象 限部分，如图12所示沿x和y两个特殊方向射入的电子做 匀速圆周运动的轨迹圆心分别为Ox和Oy,穿过磁场后平行 于x轴向x正方向运动的轨迹分别是以O

12、y为圆心，r为半径 的第一象限的四分之一圆周和0坐标；一般的，沿与x轴正 方向夹角为a方向射入的电子做匀速圆周运动的轨迹圆心 是过0点垂直于该速度的垂线与圆心轨迹的交点0，射出 点是过0垂直于x轴的垂线与以0为圆心为半径的圆交 点A,设A （x, y）,根据图中几何关系，可得消除参数，可得平行于x轴向x正方向运动的穿过磁场 后的射出点的轨迹方程为x2+ （y-r） 2=r2,即以（0, r）为圆心以r为半径的第一象限的四分之一 圆周；则符合条件磁场的最小面积是以Oy为圆心r为半径 的第一象限的四分之一圆周和以（0, r）为圆心为半径的 第一象限的四分之一圆周所围面积，可得点评 该题是根据带电粒子运动的部分情况和磁场磁感 强度，求解带电粒子运动其他情况和磁场区域学生解决问题 的困难在于如何确定不同射入方向的电子的射出磁场区域 的边界点虽然已知电子做圆周运动的轨迹半径，但需要依据 要领4寻求轨迹圆心的轨迹我们从特殊到一般地作出粒子 运动轨迹，找到满足题给条件的电子射出磁场区域的边界点, 从而获得磁场区域的最小面积.综观上述三个例子，层层推进，通过作图建构有意义并 有效的物理图景，并在运用数学平面几何和解析几何知识过 程中解决物理问题