北理微积分前三章公式总结

1、常用公式（一）一.两个重要极限（只要满足以下类型，可把下列公式中的；换为刊）.sinx（注：和型）lim1. lim 1 +2.e limh + xk = e 或'（注：1型）lim f（x） - 0 liinZt（jt） 工推荐公式（I型极限）：若，lim（l + /（xy<n =八 则二.等价无穷小（当时，可以把下列公式中的当上“时ui” 上 a 2.v.：-：.IlLU .v - .V 41.3.arctar x x5.乂|6I| 沖“-1 I7.ln(l + x)- x829.: I - > I m 1011lim f(x) - h(x) = A ，且（相当于公式C

2、l =9中 “)三.导数的定义和基本公式f(x0) =lim ©Z-心)f g) . Iimiv"z*iv或小町 工-入/ (.)= lim /此+从)兀"lim 込空.Xviv或f X-比ft(xn)=4 .f：吕.(0y rxz (her)6 .In / 7 L- i .'T(loga X)=:(taxj = 1&A 111 / 910 .(sill x 1 -，11.(tail x)=3= sec x(cot jrj3 .或A*=-CSC Xsin' x16.arcsiiix) « -, *Jl(a retail x )18

3、.(arccosx)17.(a re tan-v) = 7A 19.丨 r-V < 1)14.Lsecx) - sec-vtanx15 (csc.vj - -cscxcotx导数的运算法则1.b - |.r'| t 21 -f"3.5.6.卜丿（»（丄）八）4.链法则：敢血必dx 1tfy <ly反函数的求导法：,v -（p（f） dy丿屮，则心7.参数方程求导法：设隐函数求导法：等式两端对亠求导时，注意 丨是-' 的函数，禾U用复合函数求导法即可。对数求导法：先取对数，再利用隐函数求导法，或1再用复合函数求导法。特别提示:1.2.求分段函数在分

4、段点处的导数时，必须单独讨论！共有两种方法求左、右导数：（1）利用定义；（2）利用书中P86定理2，但求左（右）导数时，必须指明分段函数在分段点处左（右）连续 要弄清导数记号的含义：对于复合函数' 八小'门小H '表示复合函数对自变量 丄求导，而f h C 表示复合函数对中间变量 几求导.五.求函数的川阶导数1.逐次求导法：从一阶导数开始逐阶求导，归纳出规律后，用归纳法验证其正确性（一般不用此法，除非 ）求指定的低阶导数，比如求2.公式法：利用下列公式，结合复合函数求导法求出函数的w >山"11 ''（-不是正整数）a（u - l）（a

5、- 2）A （u - m + l）x" /i < ait - ft （COSX）"* '（°是正整数）（“兀COS .V + 1（in耳尸十旷1）!3.莱布尼兹公式（适用于求两个函数乘积的”阶导数）（注意上述公式中第一项和最后一项分别容易漏写函数及汩）4 递推法（此法只有少数题可用）5泰勒公式法（用于求 "）（£）：先用公式法求出f（理）在玄匚兀点处带皮亚诺余项的用阶泰勒展开式, 找出小川的系数.1,则/156隐函数的高阶导数：按隐函数求导法对兀求一次导后（此时等式中除了含有y也含有）,等式两端再对工求导，注意j和是工的函数，禾u

6、用复合函数求导法即可，以此类推。广7 虬乙啤与啤7参数方程的高阶导数：设'1 ''：，,则小 丫"：，小 ''，以此类推。（见教材P118第6题）拧!3.ft:严+X5 + 1)!4.sin .v - xX1 十一大“ -A3! 5J(- : .v : -).(a (2« + IXt)Sill JC +2(2« + 1)!m】（-：，：.T : -）5.COSX = 12!cos(J)a- + (« + l|?r) 2flt2(2m + 2)!(n + 1X1 + 0x).t"+1 ji+ I六. 微分基

7、本公式（略，利用 社 小小参照导数公式即可）七. 微分运算法则1 d（u ±p） = du ±dr 2"（起u I vtlu + udvw vdu - udv3.川i） 4.（X r）5微分形式的不变性：'''"'*,欄可以是自变量也可以是中间变量。八. 泰勒公式及常用函数的麦克劳林公式f(x) - /(xj+ f (xj(x - xn) +(x - x0) +A +(X - X. +-(Jf-vJ1.2!打！5+1)!2.f(x) - J(,v0) + / Vo)(x - xJ + J(x-心)+A +-(x- xj* +(.v-x0fl)M K A' )(1十°"+“ +咚二12云+八 + a(a-l)A (a-W.l)vn2!til空二“（）（1+叶）一严'1 （:是实数）儿曲率 I' 11 I ,曲率中心，曲率圆一0.渐近线lim fx) - A lim f(x) - A _ 1若或，则 为水平渐近线lim f(x) = x lim f(x) = oc若"或，则'' 为铅直渐近线lin