半角模型专题专练

1、F,且/ EAF= 45半角模型例题已知，正方形ABCD,/ EAF两边分别交线段BC DC于点E、结论 1： BE+ DF= EF结论2： Saabe + Sa adf= Sa aef结论 3: AH= AD结论4:ACEF的周长=2倍的正方形边长=2AB结论5:当BE= DF时， CEF的面积最小结论 6： bM+ dN = mN结论7:三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论8: EA卩人是厶CEF的外角平分线结论9:四点共圆结论10: ANEftA AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论11: MN=EF （可由相似得到）结论12: SAAEF= 2SAAMN（可由相似的性质得

2、至U） 结论5的证明：设正方形ABCD勺边长为1则 SAaef= 1 S S2 S31 1 1=1 2x 2y 2(1 x)(1 y)1 1=一 xy2 2 7所以当x = y时， AEF的面积最小结论6的证明:将厶ADNI顺时针旋转90°使AD与AB重合 DN= BN易证 AMIA AMN MN= MN在Rt BMN中，由勾股定理可得：bM + BN2= MN2即 bM+ dN = mN结论7的所有相似三角形: AMNA DFN AMNA BME AMNA BAN AMNA DMA AMNA AFEAF平分 DFE .结论8的证明:因为 AMNp AFE/ 3=/ 2因为 AMNA

3、 BANi/ 3=/ 42=/ 4因为AB/ CD/ 1 = / 4/ 1 = / 2结论9的证明:因为/ EAN=/ EBN= 45° A、B、E、N四点共圆（辅圆定 理：共边同侧等顶角）同理可证C、E、N、F四点共圆A、M F、D四点共圆C、E、M F四点共圆*必会结论图形研究正方形半角模型已知：正方形 ABCD， E、F分别在边 BC、CD上，且 EAF 45，AE、AF 分别交 BD 于 H、G，连 EF .一、全等关系(1) 求证： DF BE EF :DG+ BH= HG; AE平分 BEF ,二、相似关系(2) 求证： CE 2DG ; ® CF . 2BH

4、; EF 、2HG .(3) 求证： AB2 BG DH : AG2 BG HG ; ® 些匹-.CE CF 2三、垂直关系AB(4) 求证： AG EG; AH FH : tan HCF .BE(5) 、和差关系求证： BG DG . 2BE ; ® AD DF 、2DH ;AD | BE DF |. 2 | BH DG |.例1、在正方形 ABCD中，已知/ MAN 45°，若 M N分别在边 CB DC的延长线上移动， 试探究线段MN BM、DN之间的数量关系. .求证：AB=AH.例 2、在四边形 ABCD中/ B+Z D= 180°, AB=A

5、D 若 E、F 分别 在边BC CD上，且满足EF=BE +DF.1求证：Z EAF= 3 Z BADC例 3、在厶 ABC中, AB=AC Z BAC=Z DAE=120，若 BD=5CE=8求DE的长。HDE例4、请阅读下列材料： 已知：如图1在Rt ABC中，BAC 90，AB AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若 DAE 45 .探 究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1) 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；(2

6、) 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，中探 究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图1例5、探究:（1）如图1,在正方形ABCD中, E、F分别是BC CD上的点，且/ EAM45°,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ;（2）如图2,若把 问中的条件变为“在四边形 ABCD中AB= AD / B+Z D= 180°, E、F分别 是边BC CD上的点，且Z EAF=L Z BAD，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证2明，若不成立，请说明理由；（3） 在（2）问中，若将 AEF绕

7、点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化， 请给出结论并予以证明/J练习巩固1:如图，在四边形 ABCC中，Z B=Z D= 90°，AB= AD,若E、F分别1在边BC CD上的点，且Z EAF= -Z BAD .求证：EF=BE +DF.练习巩固2:如图，在五边形 ABCD中, AB= BC= CD= DE= EA1Z CAD= - Z BAE 求Z BAE的度数2练习巩固3:已知：正方形ABCD中，MAN 45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB DC （或它们的延ACNDFFBA

8、DC长线)于点M N.(1) 如图1,当 MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN .当 MAN 绕点A旋转到BM DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请 说明理由；(2) 当 MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM, DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明.练习巩固4(1)如图，在四边形 ABC冲，AB= AC，/ B=Z D= 90°, E、F分别是边BC CD上的点，且/ EAM2 / bad求证：EF BE FD ；(2)如图在四边形 ABC冲，AB= AD / B+/ D= 180°，E、F分

9、别是1边BC CD上的点，且/ EAM2/ BAD (1)中的结论是否仍然成立？不 用证明.(3) 如图，在四边形 ABC冲，AB= AD, / B+/ ADO 180°，E、F分1别是边BC CD延长线上的点，且/ EAM-Z BAD (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.求证：(1) MNk M申 DN(2) 点A到MN的距离等于正方形的边长；(3) VCMN勺周长等于正方形 ABCG&长的2倍;(4)SWABCDSVCMN2ABMN(5) 若 MAB= 20°,求 AMIN(6) 若 MAB 0 p p 45o

10、，求 AMN(7) EF E宵 DF2 ；(8) VAEN与VAFM是等腰三角形；占V(4) 如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿 EF折叠(点E、F 分别在边AB CD上),使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处, MN与 CD交于点P,连接EP.(1)如图，若M为AD边的中点， 厶AEM的周长二 cm 求证：EP= AE+ DP(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点 M不与A、D重合)， PDM的周长是否发生变化？请说明理由.(5) .如图17,正方形ABCD E、F分别为BC CD边上一点.(1) 若/ EAF= 45o.求证：EF= BE+ DF.(2) 若厶AEF绕A

11、点旋转，保持/ EAF= 45o,问/ CEF的周长是否随 AEF位置的变化而变化？(3) 已知正方形 ABCD勺边长为1,如果/CEF的周长为2.求/ EAF 的度数.练习巩固5、如图，已知在正方形 ABCD中, MAN= 45°，连接BD与AM AN分别交于E、F两点S(9)注丄S2VAMNMDN 60 ,练习巩固6、在等边ABC的两边AB , AC所在直线上分别有两点M , N , D为ABC外一点，且BDC 120 , BD CD，探究：当点M ,N分别爱直线AB , AC上移动时,BM , BN , MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.(1)如图,

12、当点M , N在边AB, AC上,且DM DN时,BM , NC , MN之间的数量关系式此时QL(2)如图,当点M , N在边AB, AC上,且DM DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(用x , L表示)(3)如图，当点M, N分别在边AB, CA的延长线上时，若AN x,则Q练习巩固7、如图所示, ABC是边长为1的等边三角形, BDC是顶角为120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的/ MDN点M N分别在AB AC上,求厶AMN勺周长练习巩固8女口图,在正方形 ABC中 , BE=3 EF= 5 , DF= 4,求/ BA曰/DCF为多少度。AXBC巩固练习9、如图 1, Rt AB3Rt EDF / ACB=Z F= 90°,/ A=Z E= 30°。厶 EDF 绕着边 AB的中点 D旋转，DE DF分别交线段AC于点M K