向量知识点题型归纳

1、1. 向向量的相关概念、2. 向量的线性运算二.向量的表示方法：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，女口AB，注意起点在前，终点在后；2 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面内的r r r一一一任一向量a可表示为a xi yj x, y，称 x, y为向量a的坐标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果 向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实

2、数1、2，使a= 1 e1 + 2e2。如rrrr1 r 3 r(1 )若 a (1,1)b(1, 1),c( 1,2)，则 c (答：一a -b )；2 2(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是ir a. eu(0,0), e一(1, 2)itb. ©uu(1,2)®(5,7)ITuuITiu13C.©(3,5), e一(6,10)D.e(2, 3),eb(1,-)(答:B)；2 4uht Iuuuuiurr uuu r uuu(3) 已知AD,BE分别是 ABC的边BC, AC上的中线，且AD a,BE b ,则BC可用向量a,b表示为2 r 4r

3、(答：一a -b )；3 3(4) 已知 ABC中，点D在BC边上，且CD 2DB，CD r AB sAC，则r s的值是(答: 0)四.实数与向量的积：实数 与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下：1,_,_r r当 >0时， a的方向与a的方向相同，当<0时， a的方向与a的方向相反，当=0时， a 0，注意：a工0。五.平面向量的数量积 ： uuu r uuu r1.两个向量的夹角：对于非零向量 a，b，作OA a,OB b， AOBfrrr0称为向量a，b的夹角，当 =0时，a，b同向，当 =时，a，b反向，当 二一时，a，b垂2直。积(或内积或点积)，记

4、作： a ? b，积是一个实数，不再是一个向量。如(1)(2)(3)(4)rrcbcos 。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量 ABC 中，I AB | 3，| AC |已知 a 2,b 5,ag)3，已知a,b是两个非零向量，且3. b在a上的投影为| b | cos已知 | a | 3，| b |4. a ? b的几何意义5.向量数量积的性质r b9. r a5，且a:数量积4，| BC | 5，kb,d a b，等于则 AB BC(答:- 9);r uc与d的夹角为一，则4k等于(答：1 )；(答:23)；则a与a b的夹角为(答: 30o)它是一个实数，但不一定大于0。如12

5、，则向量a在向量b上的投影为?b等于a的模|a |与b在a上的投影的积。:设两个非零向量 a，b，其夹角为，则:(答:工)5r-rr rrr 2 r r r 2 r十 -r r 当a , b同向时，a ? b = a b，特别地，a a?a a , a V a ;当a与b反向时，a ? b =- a b ；当 为锐角时，a ? b > o,且a、b不同向，a b 0是 为锐角的必要非充分条件 ；当 为钝角时，a ? b < 0， 且；、b不反向，a b 0是 为钝角的必要非充分条件 ；r r-a ? b rrrr 非零向量a， b夹角 的计算公式：cos：|a?b| |a|b|。女

6、口(1已知a ( ,2 )，b (3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝9的取值范围是 41(答：或 0且)；331(2)已知 OFQ的面积为S，且OF FQ 1，若一 S ，则OF , FQ夹角 的取值范围是 2 2(答:(, );4 3六.向量的运算：1.几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设uuu r murAB a,BCruuu r rrb，那么向量 AC叫做a与b的和，即alurACuur r uuur向量的减法：用“三角形法则”：设 AB a, ACr r r uuu b,那么a b A

7、BuiurACuur CA ,由减向量的终点指向被减(1)化简：uuu iuur AB BCuuir CDiuu:ABulutADuiur DCuuu:(ABuuuCD)UULT(ACUUTBD)ULTuur(答:AD ；CB ；0);uuur uuiur uuurrrr r242.)(2)若正方形ABCD的边长为1,ABa, BCb, ACc ,则|ab c1=(答：uuuUULTuuuuuuruuu(3)若O是VABC所在平面内一点，且满足OBOCOBOC2OA5则VABC的形状为如(答：直角三角形)；向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。3 .分配律:下列命题中：2|a| |

8、b|2(a b)r2 aa, a b a?c a?c b?c。(bc)b a c : a (bc) (a b)c :(a b)2 | a |2(4)若D为 ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点uuP，满足PAmuBPuuu劉0，设閹PD|则的值为(答：2);|b|20 ；若ab c b,则 a c ；2 a2 :需auuu iuur uuiu(5)若点O是厶ABC的外心，且 OA OB CO0,则 ABC的内角C为(答:120°)；2.坐标运算：设 a (xi,yi),b (x2, y2)，则:向量的加减法运算：a b(xiX2，yiY2)已知作用在点 A(1,1)的三个力u

9、ruuF1(3,4), F2(2,uu5)乓uruuuuuu(3,1)，则合力FF1F2F3的终点坐标是(答：( 9,1)实数与向量的积：标减去起点坐标。如为，y1n, y1UUT则ABX2X1, y2【1 uuuABuuuuuu,ad3 AB ,3%x2y2。r or|a|22 2 y ,a2 2x y则C、D的坐标分别是平面向量数量积：a ?b如那么若 A(x1,y1), Bg y2),向量的模：| a |Xuuu设 A(2,3), B( 1,5)，且 ACy1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐11(答:(1,-),( 7,9)；已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60&

10、#176;，uu r|a 3b |(答: -“13 )；两点间的距离：若A2 2 为， ,B X2,y2 ，则 |AB|、X2 X1讨2 y1 。七.向量的运算律1 交换律：abba , a?b b?a ；2结合律：a b ca b c, a b c a b c ，a ?br2b ；9(a b)r2 r r r2a2a b b。其中正确的是(答：)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以提醒：(1)一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量,向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律

11、，即a(b ? c)(a ?b)c，为什么r rrrr r r r八向量平行(共线)的充要条件：a/bab(a b)2(|a | b|)x1 y2y1x2= 0。如rrr r(1)若向量a (x,1),b(4,x)，当x =时a与b共线且方向相同(答:2)；rrr rr r r rr r(2)已知 a (1,1)b(4,x), u a2b , v 2a b，且 u/v，贝U x=(答:4)；(3)uuuuuuuur设 PA (k,12), PB (4,5), PC(10,k)，贝U k=时，A,B,C共线(答:2 或 11)九向量垂直的充要条件 ：a b a b 0 |a b| |a b|x1

12、x2 y1y2 0 .特别地UULTuuurUUUuuur/ ABAC、ABAC、 土(pUULj|-UtUr)(-uuui-uutr-)。女口|ab|ac|AB|ac|uuuuuuuuu uuu3(1)已知OA (1,2), OB(3, m),若 OA OB，则 m(答：-)；2(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB, B 90，则点B的坐标是(答: (1,3)或(3 , - 1)；(3)已知n (a,b),向量n(答：(b, a)或(b,a)切记两irrm，且nur则m的坐标是十线段的定比分点：iuuruur1 定比分点的概念：设点P是直线P1 p2上异于P1、P2的

13、任意一点，若存在一个实数，使RPPP,，则uuuuuuuu叫做点P分有向线段 PP2所成的比，P点叫做有向线段 PP2的以定比为的定比分点;2 .的符号与分点 P的位置之间的关系：当P点在线段 P1 P 2上时>0；当P点在线段P1 P2的延长线上时(2) |a|b| |a b| |a|b|，特别地，当a b同向或有0|ab|a|b|< 1；当P点在线段P2 P的延长线上时0 ；若点P分有向线段uuurPP2所成的比为则点P分有向|a| |b | |a b | ;当 ab反向或有 0 |ab| |a|b|a|b|ab| ；b不共线UULU1线段F2R所成的比为一。如|a|b| |

14、a b| |a|b|（这些和实数比较类似).uuu3uuu若点P分AB所成的比为3，贝U A分BP所成的比为43 .线段的定比分点公式UULU:设R（x1,y1）、B（x2,y2）, P（x, y）分有向线段PP2所成的比为则X2*y21在ABC中,若 A ,yi ,B X2,y2 ,CX3,y3，则其重心的坐标为X3yiy32 4x X1 = y y1 X2 Xy2y线段P1 P2的中点公式yy1 y2。在使用定比分点的坐标公式时，应明确2(X, y),UUUPG UUU (PA 3UUUPBUUU PC)G为ABC的重心，特别地ULU UUU PA PBUUU PCr0P为ABC的重心;U

15、JU PAUUU UUU PB PBUUUPCUJU PCUUTPAP为ABC的垂心；向量UUU(-AUTk| AB|UULT-4)( |AC|0）所在直线过 ABC的内心（是BAC的角平分线所在直线）；ULU UUU UUUUUUlUUUU若/ ABC的三边的中点分别为则/ ABC的重心的坐标为(2, 1)、(-3, 4)、(-1, -1)PC且(4)向量 PA、PB（答：（暑）；PC中三终点 A B、C共线存在实数使得PAPB1 .如（X1,yJ、（X2,y2）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,平面直角坐标系中,O为坐标原点，已知两点A（3

16、,1）, B（ 1,3）,若点C满足OCOA2 OB,其中分点和终点，并根据这些点确定对应的定比(1)若 M (-3, -2), N(6 , -1)，且MP如13 MN,则点P的坐标为321,则点C的轨迹是(答:(& 7)；(2)已知 A(a,0), B(3,2a），直线y1ax2UlULTUUIT与线段AB交于M，且AM 2MB ,a等于(答:2或一4）（答：直线AB）12、向量与三角形外心.三角形外接圆的圆心重心三角形三条中线的交点,简称外心.是三角形三边中垂线的交点（下左图）卜一平移公式：如果点P(x, y)按向量 a h,k 平移至P(x , y )，则a = pp ,x h

17、；曲线 f (x, y) y k按向量a h,k平移得曲线f（xh, y k） 0 .注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!(1)按向量a把（2, 3）平移到（1,2），则按向量a把点（7,2）平移到点(答:(8,3);(2)函数y sin 2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1，则a(答:（-,1）412、向量中一些常用的结论 ：（1） 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;，叫做三角形的重心.2倍.（上右图）掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的三、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.（

18、下左图）四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.是三角形三内角平分线的交点 .三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例 题型一：共线定理应用例一：平面向量a, b共线的充要条件是（R, b a D存在不全为零的实数)A.（上右图）a, b方向相 同b.a, b两向量中至少有一个为零向量C.存在变式一：对于非零向量a,b，“ a bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件0 ”是“a b "的（）A.若 a b a _ b 则 a bB.c.若abb，则存在实数，使得ba d若存在实数，使得ba，则

19、aba b例二：设两个非零向量ei与e2，不共线,(1)如果 AB ei e?, BC3q 2e2,CD8q 2色,求证：A,C,D三点共线;(2)如果 ABe?, BC2q 3e2，CD2q ke2,且A,C,D三点共线，求实数k的值变式一：设e与e2两个不共线向量，AB 2© ke2,CB e 3e2,CD 2e1 62,若三点a,b,d共线，求实数k的值。变式二：已知向量a,b，且AB a 2b,BC 5a 2b,CD 7a 2b,则一定共线的三点是（）,B,D ,B,C ,C,D ,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P是三角形ABC所在平面内的

20、一点，2BP BCBA,则（)A. 0PA PBB. 0 PC PAC.0 PBPC D.0PCPA PB变式一：已知O是三角形ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且02OAOBOC ,那么()a. A0 OD一十一B. A02OD C. A0 3OD D. 2A0 OD变式二：在平行四边形 ABCD中AB a , AD b , AN3NC ,M为BC的中点，则MN（用a,b表示）b,若点D满足BD 2DC ,则AD ()例二：在三角形ABC中，AB c， ACA2 /1 -5 p2,p2 1 1 2A.bC, B.cb, C.bC, D.bc,33333333变式一：（高考题）在三角形A

21、BC中，点D在边AB上, CD平分角ACB,CB a，CA1, b 2,则 CD()A1-2 /2 -1 ,'3 -A. ab, B.ab, C.a33335变式二:设D,E,F分别是三角形4 /4 ”3b, D.a-b,555ABC的边BC,CA,AB上的点，且DC2BD, CE 2EA, AF2FB,则AD BE, CF 与 BC()A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直BDb,则 AF ( )A.1 a41b, B.22 a3题型三:三点共线定理及其应用例一：点P在AB上，求证：OPOAOB且变式四：在平行四边形ABCD中, AC与BD交于点0,E变式：在

22、三角形 ABC中，点0是BC的中点,AC nAN,则 m+n=例二：在平行四边形 ABCD中, E,F分别是A. 2a 上b, b. ?a555变式：在三角形 ABC中，点的值。题型四：向量与三角形四心、 内心-b, C.5是线段OD的中点，AE的延长线与cd交于点F,若AC a,1 1 -1 -1 2 b,C.ab, D.ab,32433=11 (,R,)过点0的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点 M和N,若ABBC,CD的中点，DE与AF交于点H,设 AB a, BC b,则 AHa b, d.5M是BC的中点，点N是边AC上一点且AN=2NC,AM与 BN相交于点P,若 APmAM,

23、PM ,求例一：O是 ABC所在平面内一定点，动点P满足0PP的轨迹一定通过ABC的（ ）A.外心 B.内心变式一：已知非零向量AB与ac满足（ABABACACC.A.等边三角形B. 直角三角形 C.等腰非等边三角形变式二:二、重心OA重心BCD.AB PCBC PACA PB 0例一：O是变式一：在变式二：在三垂心:ABC 内一点，OC OAABC中，G为平面上任意一点,ABC中，G为平面上任意一点,OB证明:证明:0 ,则为GOGO（為D. 垂心°毕ABAC),AC），则点ACACABC 为（）三边均不相等的三角形P为 ABC的内心ABC的(GA(AB例一：求证：在 abc中，O

24、A OB OB OC OC OA（）A.外心 B.内心C.重心D.垂心GBAC)GC )ABC的重心O为 ABC的重心O为 ABC的垂心变式一：0是平面上一定点， A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP 0AABAB COSBACAC COSC)，R,则点p的轨迹一定通过ABC 的()AE BF A 900 AB 1 点 P,Q 满足 AP AB, AQ (1 )AC, R,若 BQ CP 2,则 =()AB:° 上 D:2333A.外心 B.内心 C. 重心D.垂心四外心例三：已知向量a, b,c满足a b c 02 b1变式一:在厶ABC中，若例一：若0是 ABC的

25、外心，H是变式一：已知点0, N, P在ABC所在平面内，且 0A0A0C0B0B0C,0 NAABC的垂心，则 0H)|AB 3,|bc|4, AC6,则 AB BC BC CA CA AB变式二:已知向量 a, b, c满足a0,且aPA PB PB PCPC PA，则0, N, P依次是 ABC的(NB NC，硝1,b 2,则变式三:已知向量 a, b, c满足a题型八：平面向量的夹角0,且 G b)c,a b,若 a1,则| a b | cA.重心、外心、垂心C.外心、重心、垂心题型五：向量的坐标运算B.重心、外心、内心D.夕卜心、重心、内心例一：已知向量a (1,. 3),b(2,0

26、),则a与b的夹角是例一：已知 A(-2,4),B(3,-1) , C(-3 , -4)，且 CM3CA,CN2CB ,试求点m,n和MN的坐标例二：已知a, b是非零向量且满足(a 2b)a,(b 2a) b,则a与b的夹角是变式一:已知向量a, b, c满足变式一：已知平面向量a(2 1),b(1，¥),向量 x3)b, yka tb,其中t和k为不同时为零的实数，(1 )若X y，求此时k和t满足的函数关系式 k=f(t);(2) 若x y，求此时k和t满足的函数关系式 k=g(t).*to-4r变式二：平面内给定3个向量a (3,2), b ( 1,2), c (4,1) ,

27、回答下列问题。(1)求3a b 2c ；(2)求满足a mbnc 的实数 m,n;(3)若(a kc) /( 2ba)，求实数k；( 4)设d (x, y)满足(d c) /( a b)且 d c 1，求 d。题型六：向量平行(共线)、垂直充要条件的坐标表示例一：已知两个向量 a (1.2),b( 3,2),当实数k取何值时，向量 ka 2b与2a 4b平行设向量a,b满足|a|= 2,5 , b=( 2,1 )，且a与b反向，则例二：已知向量0A (k,12),0B(4,5),0C(k,10)且A,B,C三点共线，则k=()3223A: B:C:D:2332变式一:3:已知 a ( sin2

28、),b(cos1口,),且 a p3(ac,b),q (b a,c a),2p q6 3 2 3ABACDE CB DE CB AP2 PMPA(PB PC)44 4 4 AAP AC 23A0 AC 2 ABAFif293 3 9变式一:a坐标为变式二:变式三:变式四:已知a, b是非零向量且满足1,b 2,cia lbb,ac,则a与b的夹角是b,则a与 a b的夹角是若向量a与b不共线，a b(高)若向量与满足夹角的取值范围是例二：已知忡1, a与b的夹角为变式一：设两个向量 e, e2，满足ei钝角，求实数t的范围。变式二:P1 : aP4: a0,且c1,2, e2已知a与b均为单位

29、向量，其夹角为平面向量的模长例一：已知|a ib题型九:(aa)b,则a与c的夹角是a b1,且以向量 与为邻边的平行四边形的面积为o45°，求使向量a b与1, e与e2的夹角为一，3，有下列4个命题:a b的夹角为锐角的若向量2te1Ir7e2 与 e15,则与的的取值范围。te2的夹角为)；P2 : ab2T肓，;P3 : a%)；(2 ,;其中的真命题是(变式一：已知向量a与b满足5，向量a与b的夹角为一，求32,|7 勺1,)A.P1, P4 B.P1, P3 C.P2, P3D.P2, P42，则 a =变式二：已知向量a与b满足H1,2, a与b的夹角为一，则a3变式三：在厶ABC中，已知AB 3, BC 4, ABC 60°,求AC.例二：已知向量5与b的夹角为 ,a 3, a b J13,则冃=变式一：(高)已知向