金融数学简介

1、金融数学简介金融数学简介理学院理学院统计与金融数学系统计与金融数学系陈萍陈萍P1引言金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展的前沿课题及前景。的前沿课题及前景。简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金

2、融问简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖工作为基础的。工作为基础的。2 1990年诺贝尔经济奖授予年诺贝尔经济奖授予H.Markowitz，W.Sharpe 和和M.Miller，奖励他们在金融经济奖励他们在金融经济学中的先驱工作学中的先驱工作H.Markowitz 的投资组合理论、的投资组合理论、W.Sharpe的的 资

3、本资产定价理论资本资产定价理论M.Miller 的公司财务理论。的公司财务理论。诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（1）注3H.Markowitz H.Markowitz 在资产组合在资产组合选择一文中，第一次从风选择一文中，第一次从风险资产的收益率和风险之间险资产的收益率和风险之间的关系出发，讨论了不确定的关系出发，讨论了不确定经济环境中最优资产组合的经济环境中最优资产组合的选择问题。选择问题。 其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投资组合的期望回报及其方差，最终

4、化为一个概念清资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清晰的、简单的二次规划问题，即均值方差分析；晰的、简单的二次规划问题，即均值方差分析；并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。4W.Sharpe W.Sharpe 的资本资产定价理论，的资本资产定价理论，在较强的市场假设下，给出了在较强的市场假设下，给出了Markowitz Markowitz 均值方差模型的均均值方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型。衡版本，即资本资产定价模型。（CAPMCAPM）22 其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件下金融

5、决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马克维茨的分析方法进一步发展为著名的克维茨的分析方法进一步发展为著名的资本资产定资本资产定价模型价模型，用来说明在金融市场上如何建立反映风险，用来说明在金融市场上如何建立反映风险和潜在收益有价证券价格。和潜在收益有价证券价格。5M.MillerM.Miller的公司财务理论（的公司财务理论（19581958）主要研究资本结构与其企业市场主要研究资本结构与其企业市场价值的关系。价值的关系。 MillerMiller在资本在

6、资本成本、公司理财和投资理论论成本、公司理财和投资理论论文中证明，在一定假设下，企业文中证明，在一定假设下，企业的市场价值与其资本结构无关。的市场价值与其资本结构无关。传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，Miller的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起了广泛的争议。从了广泛的争议。从50年代末到年代末到60年代末，经过一轮唇年代末，经过一轮唇枪舌战的辩论之后，枪舌战的辩论之后，Miller的公司财务理论开始盛行的公司财务理论开始盛行于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地位。于财务学界，逐步确

7、定它在学术界的主流地位。6 1997年诺贝尔经济奖授予年诺贝尔经济奖授予R.Merton和和M.Schole, 以奖励他们和以奖励他们和F.Black在确在确定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是关于期权定价的著名的关于期权定价的著名的Black-Sholes公公式。式。诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（2）注7 19731973年，年，M.ScholesM.Scholes与已故的经济与已故的经济学家学家F.BlackF.Black发表期权定价和公发表期权定价和公司债务一文，给出了期权定价的司债务一文，给出了期权定价的Black-Sholes公式。公式。指出

8、指出期权价期权价格仅依赖于股票价格的波动量、无格仅依赖于股票价格的波动量、无风险利率、期权到期时间、执行价风险利率、期权到期时间、执行价格、股票时价格、股票时价. . 其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。注8

9、1973年年R.Merton在经济和管理在经济和管理科学杂志上发表了理性期权定科学杂志上发表了理性期权定价理论的文章，对价理论的文章，对Black-Sholes公式的假定条件做了进一公式的假定条件做了进一步削弱，在许多重要方面都对步削弱，在许多重要方面都对Black-Sholes的研究做了推广的研究做了推广 Merton对对Black-Sholes原用的分析方法进行了原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其

10、间的价格这样推导出格跳到另一个价格而不经历其间的价格这样推导出的公式更加现实的公式更加现实注92003年度诺贝尔经济学奖授予年度诺贝尔经济学奖授予Robert F.Engle和和 Clive Granger。 令令Engle 摘取桂冠的是他于摘取桂冠的是他于1982年提出年提出的的ARCH模型。模型。 Granger因为时间序列的协整分析方法而因为时间序列的协整分析方法而获奖获奖,他的贡献将用于研究财富与消费、汇率他的贡献将用于研究财富与消费、汇率与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（3）10 对收益率的建模研究

11、一直在计对收益率的建模研究一直在计量经济学中占据很重要的位置。显量经济学中占据很重要的位置。显然对于一阶矩的刻画是比较容易的然对于一阶矩的刻画是比较容易的,所以人们将注意力都放在了对二阶所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上矩的建模上,也就是对收益率波动也就是对收益率波动的计量建模。为了寻求对股票市场的计量建模。为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和价格波动行为更为准确的描述和分析方法分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中许多金融学家尝试了不同的模型。其中, Engle于于1982年提出的年提出的ARCH模型模型,被认为是最集中被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融

12、数据时间序反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。列分析的模型。1120世纪世纪70年代以前计量经济学的年代以前计量经济学的建模方法都是以经济变量平稳这一建模方法都是以经济变量平稳这一假设条件为基础。但在实际中假设条件为基础。但在实际中,许多许多经济指标的时间序列都是非平稳的经济指标的时间序列都是非平稳的,并不具有固定的期望值并不具有固定的期望值,并且呈现出并且呈现出明显的趋势性和周期性。经济变量明显的趋势性和周期性。经济变量表现出的非平稳性使传统建模遇到表现出的非平稳性使传统建模遇到了前所未有的困难。了前所未有的困难。格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡格兰杰

13、注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡关系关系,但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整整,是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前目前,协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方法。系的行之有效的方法。 12本文主要介绍n投资组合理论投资组合理论nRoss套利定价理论套利定价理论n衍生证券的定价理论衍生证券的定价理论n二杈树模型

14、二杈树模型nBlack-Sholes模型模型nARCH模型及其应用模型及其应用n利率期限结构理论利率期限结构理论n公司资本结构公司资本结构 n保险精算学简介保险精算学简介131.投资组合理论简介在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投资组合。资组合。证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组合标准差愈小愈好，但在

15、同一证券市场中，一般情形合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期望收益率望收益率 ，选择资产组合使其总风险最小。，选择资产组合使其总风险最小。14Markowitz 提出的证券组合均值方差问题，是证券提出的证券组合均值方差问题，是证券组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问题题 wXEXEwtswwTpTTwp)()(11.minmin2解上述问题可得最优

16、资产组合解上述问题可得最优资产组合w*的表达式，且最的表达式，且最优资产组合的方差为优资产组合的方差为cbap222其中2111),()(),(1, 11bacXEXEcXEbaTTT注15在方差在方差-均值坐标系下，它是抛物线。均值坐标系下，它是抛物线。2p )(pXE注16在均方差在均方差-均值坐标系下，它是双曲线。均值坐标系下，它是双曲线。)(pXEp 17可证：任一最小方差资产组合可证：任一最小方差资产组合wp都可唯一都可唯一地表示为地表示为dgpwAAww)1 (*其中其中)(abacA11111Tgw称为全局最小方差资产组合。称为全局最小方差资产组合。)(1)(11XEXEwTd称

17、为全局可分散化资产组合。称为全局可分散化资产组合。这就是著名的两基金分离定理。这就是著名的两基金分离定理。注18上述结论还可推广到具有无风险资产的均值上述结论还可推广到具有无风险资产的均值-方差模型，此时模型为方差模型，此时模型为 rwrXEtswwTTwp )1)(.minmin2最小方差资产组合的方差为最小方差资产组合的方差为12222arrbcrp在均方差在均方差-均值坐标系下，它是公共交点为（均值坐标系下，它是公共交点为（0，r）的两条射线，其斜率为的两条射线，其斜率为2122arrbc19两基金分离定理的表现形式为：所有最小方差资两基金分离定理的表现形式为：所有最小方差资产组合都是无

18、风险资产和不含任何无风险资产的产组合都是无风险资产和不含任何无风险资产的所谓所谓“切点切点”资产组合的组合。资产组合的组合。)(pXEarrbcr22 cbap222tw202.资本资产定价模型资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPM）是在理想的资本市场是在理想的资本市场中中,根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是(Sharp-Lintner-Monssin)假设市场上可以获得无假设市场上可以获得无风险资产，当市场达到均衡时，任意资产的超额收益风险资产，当市场达到均衡时，任意资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比，即率与风险资产的

19、市场资产组合超额收益率成正比，即有关系式有关系式)()(rXErXEMM 其中其中)(),(MMMXVarXXCov称为资产称为资产X的市场的市场beta系数系数,表示资产表示资产X所面临的风险系数。所面临的风险系数。注21XM为市场资产组合为市场资产组合设市场上有设市场上有n种风险资产，一种风险资产，一种无风险资产。每种资产的价格为种无风险资产。每种资产的价格为pi，i=0,1,n, 如果市场上有如果市场上有K位投资者，且在某一时刻，第位投资者，且在某一时刻，第k位投位投资者持有第资者持有第i种资产的数量为种资产的数量为Nik，若记若记 niiKkkiKkikimipNpNw011则称则称

20、mnmmmwwww,.,10 为该时刻的投资者为该时刻的投资者市场资产组合。市场资产组合。可以证明，当市场达到均衡，且无风险资产是零净可以证明，当市场达到均衡，且无风险资产是零净供应的金融证券时，切点资产组合供应的金融证券时，切点资产组合wt就是市场资产就是市场资产组合。组合。注22CAPM在资产定价中的应用在资产定价中的应用一一 证券市场线证券市场线 对任意风险资产的投资组合对任意风险资产的投资组合Xx，由由点点 所形成的轨迹称为证券市场线。所形成的轨迹称为证券市场线。)(MXE)(,(xMXEx)()(rXErXEMMxx)(xXExMrAB1注23二二 风险自行调节收益率定价公式风险自行

21、调节收益率定价公式),(1)(0MjeXXCovrPEPCAPM对个别资产提供了一种可量化的风险测对个别资产提供了一种可量化的风险测度，所以度，所以CAPM可以用于确定未来收益率概率可以用于确定未来收益率概率分布假设为已知的风险资产在当前的价值。设分布假设为已知的风险资产在当前的价值。设市场上第市场上第j种资产期终风险收益为种资产期终风险收益为Pe，当前价格当前价格为为P0，其收益率其收益率 00PPPXej 则风险自行调节收益率定价公式为则风险自行调节收益率定价公式为其中其中)()(MMXVarrXE24在风险自行调节收益率定价公式中，将在风险自行调节收益率定价公式中，将),(1),()(0

22、00,MeMeMjXPCovPXPPPCovXXCov代入，得代入，得确定等价定价公式确定等价定价公式rXPCovPEPMee1),()(025CAPM在资产定价中的应用在资产定价中的应用股票定价股票定价例例 某公司某公司I在时期在时期1将发行将发行100股股票，公司股股票，公司I在时期在时期2的价值为随机变量的价值为随机变量VI（2）。）。公司的资金都是通过公司的资金都是通过发行这些股票而筹措的，已知股票的持有者有资格发行这些股票而筹措的，已知股票的持有者有资格获得完全的收益流。现给出有关测算数据如下获得完全的收益流。现给出有关测算数据如下VI（2）$1000$800P0.50.52 . 0

23、)(,09. 0)(, 1 . 0,045. 0),(MMMIXEXVarrXXCov将上述数据代入风险自行调节收益率定价公式得将上述数据代入风险自行调节收益率定价公式得6 .782045. 009. 01 . 02 . 01 . 015 . 08005 . 01000) 1 (IV故每股价格为故每股价格为7.83$263. Ross 套利定价理论（APT）在金融理论中，确定风险资产合理价值主要有两种在金融理论中，确定风险资产合理价值主要有两种方法。一种是基于竞争均衡理论的定价方法，如上方法。一种是基于竞争均衡理论的定价方法，如上节的节的CAPM，认为资产的合理价格由所谓的认为资产的合理价格由

24、所谓的“内在内在源源”，也就是资产市场中现有的所有资产所共同确，也就是资产市场中现有的所有资产所共同确定；另一种是基于一般套利定价理论的定价方法定；另一种是基于一般套利定价理论的定价方法（GAPT），），如本节将要介绍的如本节将要介绍的Ross套利定价理论套利定价理论（APT）认为资产的合理价格由所谓的认为资产的合理价格由所谓的“外在源外在源”，也就是资本市场的其他因素所确定。也就是资本市场的其他因素所确定。27 基于上述思想，被誉为美国基于上述思想，被誉为美国“金融神童金融神童”的的Ross在在1976年年Journal of Economic Theory上发上发表的表的Arbitrage

25、 Theory of Capital Assert Pricing一文中十分武断地指出：任何资产的价格一文中十分武断地指出：任何资产的价格可以表示为一些可以表示为一些“共同因素共同因素”的线性组合。这些的线性组合。这些“共同因素共同因素”可以是通货膨胀率，人口出生率，工可以是通货膨胀率，人口出生率，工业增长指数，证券市场综合指数，外汇汇率等等各业增长指数，证券市场综合指数，外汇汇率等等各种因素，然后利用套利定价方法给出了资产收益率种因素，然后利用套利定价方法给出了资产收益率的一般表达式。的一般表达式。 记资产市场中第记资产市场中第i种资产的收益率为种资产的收益率为Xi，可通过可通过统计方法测算

26、的影响资产收益率的因素收益率记为随统计方法测算的影响资产收益率的因素收益率记为随机变量机变量fk,k=1,K,不能通过统计方法测算或未知的不能通过统计方法测算或未知的影响资产收益率的因素收益率记为随机变量影响资产收益率的因素收益率记为随机变量 i ,并假定并假定资产收益率由以下线性多因子模型所描述：资产收益率由以下线性多因子模型所描述：注28iKkkikiifbaX 1(3.1-a) 0 mkkijikiffEfEEfEE (3.1-b) 1,2222 kiifESSE (3.1-c)i 其中其中称为残差风险。称为残差风险。根据上述模型，利用渐近无套利定价假设可以给出根据上述模型，利用渐近无套

27、利定价假设可以给出资产超额收益率表达式资产超额收益率表达式ikKkkibrXE 10( )实数实数 k反映了证券对于因子反映了证券对于因子fk的敏感性。称为因子风险溢价。的敏感性。称为因子风险溢价。(3.2-c)29从统计观点来看，从统计观点来看，APT是通过许多因子来确定证券价是通过许多因子来确定证券价格，它使我们扩大了考虑因素的范围，可以从证券市格，它使我们扩大了考虑因素的范围，可以从证券市场以外的因素去选择，而不象场以外的因素去选择，而不象CAPM只从证券市场本只从证券市场本身的历史来研究。这样，就可以把证券的价格和国家身的历史来研究。这样，就可以把证券的价格和国家经济发展状况，企业经营

28、状况，外汇市场等等其它经经济发展状况，企业经营状况，外汇市场等等其它经济因素相联系，从而使模型更好地反映现实状况。一济因素相联系，从而使模型更好地反映现实状况。一般认为，般认为，APT与与CAPM相比有以下几个特点：相比有以下几个特点：（1）对分布不作要求）对分布不作要求（2）对个人的效益没有直接假定什么条件；）对个人的效益没有直接假定什么条件；（3）允许依赖于许多因素；）允许依赖于许多因素；（4）可以对证券的一部分的组合定价，无需涉及全）可以对证券的一部分的组合定价，无需涉及全体；体；（5）容易推广到多阶段的情形。）容易推广到多阶段的情形。304.二杈树模型二杈树模型是金融衍生证券定价问题中

29、常用的一种二杈树模型是金融衍生证券定价问题中常用的一种股票价格模型。考虑这种模型有以下股票价格模型。考虑这种模型有以下2个原因。个原因。1。该模型构造简单，且是实际模型的一种很好的。该模型构造简单，且是实际模型的一种很好的逼近逼近2。可通过这种简单的模型阐明金融中的重要概。可通过这种简单的模型阐明金融中的重要概念念套期保值，风险中性测度等。套期保值，风险中性测度等。无套利假设是所有研究的前提无套利假设是所有研究的前提称某个市场有套利机会，如果存在称某个市场有套利机会，如果存在一种投资组合，使资产值一种投资组合，使资产值Yt满足满足Y0=0,000TTYPY注310S01)(uSHSHT01)(

30、dSTSpqTPpHP1)(,)(urd10考虑简单欧式看涨期权的定价问题：以敲定价考虑简单欧式看涨期权的定价问题：以敲定价K0于时刻于时刻1兑现，期权持有者的收益为兑现，期权持有者的收益为V0=?)(11KSV注32设期权价格设期权价格V0,若将价值若将价值V0的资产在市场投资，在的资产在市场投资，在0时刻购买时刻购买 0股股票，剩余的资金（可能是负的）股股票，剩余的资金（可能是负的）存（借贷）款，则到存（借贷）款，则到1时刻资金价值为，时刻资金价值为，)(1 (000101SVrSV这一价值应该与期权在这一价值应该与期权在1时刻的价值相等，即时刻的价值相等，即)(1 ()()(000101

31、SVrHSHV)(1 ()()(000101SVrTSTV解上述联立方程可得解上述联立方程可得)()1 ()(111,)()()()(11011110TVduruHVdudrrVTSHSTVHV*注330称为套期保值比。称为套期保值比。注意若取注意若取pduruqdudrp1)1 (,1则则*式可形式地写作式可形式地写作11)()(111110VErTVqHVprV称称),(qp为风险中性概率测度（或等价鞅测度）。为风险中性概率测度（或等价鞅测度）。欧式期权的定价可以简洁地表示成欧式期权的定价可以简洁地表示成“风险中性测度风险中性测度下，期权到期价值的数学期望下，期权到期价值的数学期望”。34

32、多期二杈树模型多期二杈树模型SuSdSSu2udSSd2Su3Sd3Sud2dSu2Su4Sd4dSu3Sdu22Sud3Stock price,)(KSVnn期权价值期权价值注355. Black-Sholes模型当考虑股票价格随时间连续变动情形时，当考虑股票价格随时间连续变动情形时，Black-Scholes给出了市场的如下描述：给出了市场的如下描述： 仅考虑一个简单的证券市场。市场中仅有一种债仅考虑一个简单的证券市场。市场中仅有一种债券和一种股票。设债券在券和一种股票。设债券在t t时刻的价格时刻的价格P P0 0(t)(t)，股票股票在在t t时刻的价格时刻的价格P(t).P(t).满

33、足方程：满足方程：pPpPTttdBtPdttbPtdPTtdttrPtdP)0()0(, 0)()()()(, 0)()(, 000036考虑考虑T时刻到期的欧式期权，假定到期时，期权时刻到期的欧式期权，假定到期时，期权的内在价值为的内在价值为V(T)=g(P(T);设期权在设期权在0时刻价时刻价格为格为V(0); 现考虑现考虑0时刻初始值为时刻初始值为X(0)=V(0)的的投资。设在投资。设在t时刻购买股票的股数为时刻购买股票的股数为 (t),则则dttPttXrtdPttdX)()()()()()()()()()()()(tdBttPdttPrbttrX设设V(t,x)表示在表示在t时刻

34、股票价格为时刻股票价格为x时，期权的价值时，期权的价值,则则dBPVdtVPbPVVtdPVdxVdtVxtdVxxxxtxxxt21)(21),(222(5.1)(5.2)37令令 V(0,P(0)=X(0),V(t,P(t)=X(t), g(P(T)=X(T)即在即在(4.1),(4.2) 两式中令两式中令dt,dB系数相等，则系数相等，则得得)(,(tPtVxt),(),(21),(),(22xtrVxtVxxtrxVxtVxxxt终端条件终端条件)(),(xgxTVBlack-Scholes方程。方程。(5.3)38另一方面，利用随机分析理论可以证明，设另一方面，利用随机分析理论可以证

35、明，设 是使股票价格贴现过程是使股票价格贴现过程 为鞅的测度，为鞅的测度，称为等价鞅测度，则欧式期权在称为等价鞅测度，则欧式期权在t时刻的价时刻的价值为值为Q)(tPert|)(),(txTPgExtVF(4.4)通过解偏微分方程通过解偏微分方程(5.3)或用概率论中的期望定义解或用概率论中的期望定义解(5.4)都可以得到欧式看涨期权的价格为都可以得到欧式看涨期权的价格为)()(),(2)(1dKedxxtVtTr式中式中;)(21()log(21tTtTrKxdtTdd12Black-Scholes公式公式39衍生证券定价问题的进一步研究方向衍生证券定价问题的进一步研究方向n放宽理想市场假设

36、（如有卖空限制，交易费等）n对新型衍生证券进行定价n模型改进（如随机利率，随机波动率，跳过程等）n不完备市场模型40期权定价技术的应用 期权定价理论虽然源于对金融期权的估值，但其期权定价理论虽然源于对金融期权的估值，但其主旨为降低不确定性所必须付出的成本问题，而主旨为降低不确定性所必须付出的成本问题，而不确定性是所有经济活动的本质特征。这决定了不确定性是所有经济活动的本质特征。这决定了期权定价技术期权定价技术(以下简称以下简称0PT)的应用绝不仅仅局限的应用绝不仅仅局限于对以金融资产为标的资产的期权。许多现实问于对以金融资产为标的资产的期权。许多现实问题在分析的过程中常常可以把核心问题归结为期

37、题在分析的过程中常常可以把核心问题归结为期权定价问题来处理，即归结为确定期权价值的权定价问题来处理，即归结为确定期权价值的5个个因素：执行价格、现货价格、到期时间、波动率因素：执行价格、现货价格、到期时间、波动率和无风险利率的分析计算。和无风险利率的分析计算。注41目前期权定价理论主要应用于目前期权定价理论主要应用于1 1金融衍生证券的定价金融衍生证券的定价 2 2保险合同的定价保险合同的定价 3 3政府政策与行为政府政策与行为 4 4个人家庭决策个人家庭决策 5 5投资决策投资决策 426 ARCH模型及其应用在计量经济学中在计量经济学中, 收益率的建模研究一直具有很重收益率的建模研究一直具

38、有很重要的地位。其中对一阶矩的刻画是比较容易要的地位。其中对一阶矩的刻画是比较容易,所以所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上,也就是也就是对收益率波动的计量建模。对收益率波动的计量建模。 经典资本市场理论在描述股票市场收益率变化经典资本市场理论在描述股票市场收益率变化时时,所采用的计量模型一般都假定收益率方差保持所采用的计量模型一般都假定收益率方差保持不变。这一模型运用简便不变。这一模型运用简便,常用来预测和估算股票常用来预测和估算股票价格。但对金融数据的大量实证研究表明价格。但对金融数据的大量实证研究表明,有些假有些假设不甚合理。一些金融时间序列常常会

39、出现某一特设不甚合理。一些金融时间序列常常会出现某一特征的值成群出现的现象。征的值成群出现的现象。注43为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和分析方法分析方法,许多金融学家和计量学家尝试用不同的模型许多金融学家和计量学家尝试用不同的模型与方法处理这一问题。如与方法处理这一问题。如ARMA模型，模型，ARIMA模型，模型，隐隐MARKOV模型等，但被认为是最集中反映了方差模型等，但被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型型,是是Engle于于1982年提出的年提出的

40、ARCH模型。模型。ARCH模型模型是过去是过去20年内金融计量学发展中最重大的创新。目前年内金融计量学发展中最重大的创新。目前所有的波动率模型中所有的波动率模型中,ARCH类模型无论从理论研究的类模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。44设随机序列设随机序列Yt满足满足1,1tYYttt其中其中 为弱白噪声，满足鞅差条件为弱白噪声，满足鞅差条件ttEtt0)|(1且设且设tttuac212其中其中 为强白噪声。为强白噪声。)(tuu (6.1)(6.2)考虑考虑Engle最初的最初的ARCH(1)模型模型45(6.3)

41、给出了模型的预测公式，给出了模型的预测公式，(6.4)则表明模型具则表明模型具有时变性的波动率。有时变性的波动率。 实证分析表明时变性波动率更能描述真实的股票实证分析表明时变性波动率更能描述真实的股票行情变化，反映外部冲击对股市造成的影响，便于行情变化，反映外部冲击对股市造成的影响，便于进行风险评价。进行风险评价。 由由(5.1)-(5.2)式易得，过程相邻时刻的条件均值与式易得，过程相邻时刻的条件均值与方差分别为方差分别为211)|(tttacYYVarhthhhttYYYE11)|(6.3)(6.4)注46广义广义ARCH模型模型ARCH(1)模型虽然较好的解释了波动率聚类现象，模型虽然较

42、好的解释了波动率聚类现象，但它有很多缺陷，在其后的工作中但它有很多缺陷，在其后的工作中,Engle及其同及其同事沿着许多方向对该模型进行了拓展。事沿着许多方向对该模型进行了拓展。例如，在考虑风险与投资回报之间的关系时例如，在考虑风险与投资回报之间的关系时,由于投由于投资者是依据当前信息而持有证券资者是依据当前信息而持有证券,当风险当风险(条件方差条件方差)增大时增大时,投资者要求的投资补偿也就大。因此投资者要求的投资补偿也就大。因此,条件方条件方差的变化也会影响收益率条件期望的变化。与其他研差的变化也会影响收益率条件期望的变化。与其他研究者合作究者合作,Engle在在ARCH的基础上的基础上,

43、建立了建立了ARCH-M模型来分析时变风险的收益补偿。期望收益率取决于模型来分析时变风险的收益补偿。期望收益率取决于时变性的方差和协方差时变性的方差和协方差,从而自身也随时间变化。从而自身也随时间变化。 47ARCH(1)模型的各种拓展表述模型的各种拓展表述 ARCH(q)模型（模型（Engle 1982)0)|(212itttitqiitEuac GARCH(p,q)模型模型(Bollerslev 1986)pjjtjqiititiiiihchVarE121211)|(0)|(48 GARCH-M 模型模型(Engle, Lilien, Robbins 1987)ttttthbXY满足满足G

44、ARCH模型模型参考文献参考文献1 Engle Robert F. Autoregression conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of U.K.inflation, Econometrica,1982,50(4):987_10082 Christain G ARCH Models and Financial Applications Springer,19973 T. Bollerslev. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticit

45、y, Journal of Econometrics 31, 307-327, (1986).注497 利率期限结构理论 在社会经济生活中一部分人通过储蓄或购在社会经济生活中一部分人通过储蓄或购买债券来保存多余的资金，而部分家庭和厂商买债券来保存多余的资金，而部分家庭和厂商也可以通过贷款获得资金。资金的提供不是无也可以通过贷款获得资金。资金的提供不是无偿的，利息就是借入资金的个体为了在一段时偿的，利息就是借入资金的个体为了在一段时间里使用资金而必须支付给资金出借人的补偿。间里使用资金而必须支付给资金出借人的补偿。显然利息与投资本金和储蓄时间有关；利息与显然利息与投资本金和储蓄时间有关；利息与期

46、初投资本金的比值称为该时期的利率。不同期初投资本金的比值称为该时期的利率。不同时期投资可能利率不同。利率的期限结构理论时期投资可能利率不同。利率的期限结构理论主要研究随机波动利率与（较长）时期的对应主要研究随机波动利率与（较长）时期的对应关系。关系。注50经济学家认为，在决定利率期限结构过程中，投经济学家认为，在决定利率期限结构过程中，投资者对未来变动的预期是致关重要的。然而，投资者对未来变动的预期是致关重要的。然而，投资者对自己是否既有十分准确地分析未来变动的资者对自己是否既有十分准确地分析未来变动的能力是缺乏信心的。因此，一般情况下，假定投能力是缺乏信心的。因此，一般情况下，假定投资者对利率未来的变动满足一随机过程。比较常资者对利率未来的变动满足一随机过程。比较常用的模型有用的模型有Cox-Ingersol