第六章二次曲线仿射理论与度量理论

1、§6.4二阶曲线的主轴、焦点、与准线一、 主轴1、 定义：二阶曲线的一条直径如果平分和它垂直的弦，则此直径叫做主轴。 2、 主轴. 主轴与曲线的有穷交点叫做顶点。. 或简述为：垂直平分一组弦的直径叫做主直径。 顶点由定义可见，二阶曲线关于主轴是对称的，故主轴也叫对称轴。下面讨论不同曲线的主轴，顶点的个数。（1） 抛物线的主轴一条，顶点一个定理：29.1抛物线有唯一主轴，唯一顶点。主轴是抛物线 顶点上无穷远点关于两个圆环点的调和共轭点的极线。证明：如图主轴L是直径，故过，PVI顶点为V，设V上无穷远点为，L垂直与顶点V的切线（平行弦的极限位置）J则（由拉格尔定理推论）Q曲线S上唯一确定

2、，故唯一。而的极线是过，V的直线即主轴(注意上证与共轭，V的极线（切线）过，的极线过V，用到配极原则)而V是主轴与二阶曲线（抛物线）的唯一有穷交点，即有唯一定点。.有心二次曲线1. 圆的任一对共轭直径都互相垂直，故主轴无穷多。（由 圆的=0 有 互相垂直）2. 除圆以外，有心二次曲线只有一对主轴是渐进线的两个角平分线，定点有4个。证明：（可不讲）由§26习题3，即由于渐进线是自共轭直径，由于也是对合方程，自共轭即知渐进线是此对合的不变直线，而渐进线及其内、外角平分线的线调和共轭（P97.例3）（回到渐进线交于中心）PVIJQ主轴CA，CB，CACB，则（CACB，CICJ）=-1，又

3、CA，CB，CACB，则（CA，CB，CICJ）=-1即Th（14，3）对合二重元与任一对对合元素调和共轭，故渐进线的一对对角平分线是一对主轴。 下证唯一性，若再有一对主轴，即由两对主轴所决定的 射影对应，也是对合对应中每一对主直径互相垂直，则由于（自共轭）故渐进线与自身成为此对应中的对应直径即为此对应中的不变直线，而CI，CJ为不变直线（注：即自共轭直径，即渐进线，因渐进线是曲线与无穷远直线交点处的切线，故I，J在曲线上，从而曲线过圆环点而为圆。（C为中心）。这与假设矛盾，所以只有两条渐进线的角平分线过一对主轴，4个顶点。作用：用主轴（对称轴）可求曲线的标准方程（解析几何）2、主轴的方程（1

4、）对有心二阶曲线 共轭直径垂直（由Th26，直径平分共轭直径的一组平行弦，主轴不但平分且垂直，即主轴垂直于其共轭直径，即主轴的共轭直径是另一主轴） 共轭条件： （*） 垂直 又由（*）( )由 =即=即 即 特征方程 =0求出特征根代入解出再代入直径方程即主轴（2）无心曲线即抛物线直径都过中心即即（ ， ，0）PNHML（MN，H P）=-1若一直径垂直它所平分的弦则弦的无穷远点为即（A32，-A31，0）则它是（A32，-A31，0）的极线即二、焦点与准线1、焦点的定义：过I，J引二次曲线的切线 这些切线在有穷处的交点称为二次曲线的焦点2、准线定义：焦点关于二次曲线的极线下面证明用这样的意义

5、所得到的实焦点或准线就是通常的焦点或准线。抛物线： 设抛物线，则可作两条迷向切线（即通过圆环点的有穷切线） 即由 代入 有唯一解（切点横坐标） 迷向切线为同理 另一条迷向切线为 （29.2）求有穷交点： + 焦点为求准线：准线d： dEIJ 即 即由此可见，迷向直线的切点在准线上，焦点在主轴上，如图（迷向直线的切点在准线上，如图E的极点过切点）焦点在主轴上理由：二迷向直线与二重直线成调和共轭，且即为主轴，见P221 29-1）于是有定理29.3 抛物线有两条（迷向切线）一个焦点，一条准线，焦点在主轴上，迷向切线的切点在准线上。（2）椭圆设椭圆方程为可作四条迷向切线，其方程可同上述抛物线迷向切线

6、求法，有： （29.3） 由(29.3)解得不同迷向直线交点为，与，其中，是轴上的实点，是轴上的共轭虚点，故知有四个焦点（两实两虚）分别在两条主轴上。四个焦点对应的2： 求法： 即 其他同法故有定理29.4.实椭圆有四条迷向切线，（每两条是同类），四个焦点（两实两虚）分别在两主轴上，四条准线（两实两虚），迷向切线的切点在对应准线上。3、如何求焦点与准线（1）方法1.见书P225公式： 焦点公式证明：设焦点P（P1，P2，P3）切线为SPPS=SP2 展开为二次方程P点的切线过I，J，即此二次方程（二条切线）是退化圆，满足圆的方程公式成立（2）方法2.1，先求迷向切线 设为 代入，根据相切的条件决定h的值，相切只有一个交点，代入后为关于的二次方程相切有唯一交点，唯一，定出，求出