一维空间中的结构

1、一维空间中的结构学生：张玲梅指导教师：王文霞(太原师范学院数学系 14014班 山西太原 030012)内容提要：在学习了诸如n维欧氏空间，度量空间，线性赋范空间等一些空间的基础上，我们对最简单的一维空间进行分析，看看一维空间上的结构是怎样的.关键词：一维空间距离结构线性结构范数结构内积结构拓扑结构序结构在数学分析中，我们学过导数，它是这样定义的： 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,对灯君A0,当x x0 = &x父6时，有f(X0x) - f (x°)xf(x0. ：x) f(x0)x存在时，则称函数 f (x)在点x0可导.在这个定义中涉及到R空间中的两个结构

2、：一个是距离结构,即包 =f (x0+x) - f (x0) , W = x x0 ；另一个是线性结构，即x0 + Ax w R .在这两种结构的xAx保证下导数才得以定义.那么R空间中都有一些什么结构呢？本文以抽象空间的理论为依据来分析一维空间R的结构.一、度量结构定义12:设X是一个非空集合，d是一个在X父X上的实值函数，即对于 Vx,y X ,对于实数d(x,y).若对于Vx, y,zWX,满足： d(x, y) > 0 , d(x, y)=0当且仅当x = y (非负性) d(x, y) = d(y,x)(对称性) d (x, y) < d (x, z) + d (z, y

3、)(三角不等式性),(X,d)称为度量空间.对于则称d为X上的度量(metric)或称为距离函数 (distance function)给定的x,ywX, d (x, y)称为x与y的距离.定义24设Xn w(Z, d),若三xw X ,使得lim d(4,x) = 0,则称序列xn是收敛的.x称为xn的极限，记为lim xn =x. n .二二定义34:设xn是(X,M)中的序列.若存在xw x ,使得1mxn -x则称xn依范数收敛于若对V© >0,存在正整数 N ,使得对一切 m, n > N ,都有|xm -xn| <s ,则称xn是X中的Cauchy序列.

4、定义44：在度量空间 X中，若每一个Cauchy序列都收敛，则称X是完备的.Banach空间是完备的赋范空间.设R为实数集，在 RmR上定义映射d如下：d :(x,y)T x-yVx,y,ze R,显而易见，它满足度量空间定义的非负性，对称性和三角不等式性.证明如下: 有： x - y > 0 xy=0u x = y x -y = y -x x-ywxz + z y在上述定义下，R是一个度量，从而(R, d )为度量空间.度量结构有对称性，即x和y的距离与y和x的距离相同，用字母表示即是 x-y = y-x且对距离具有下面的性质 ：任意的x, y,有：|x-y|-为一%卜 x % +|y

5、 y卜面给出证明.由x yw x -x1+x1y,x1y1wx1y + y y1,则有上式左边=x x1 +x1_y_x1_y+y_y1x - Xi - y - yJl < x-Xi +|y y1二右边.口由度量空间中收敛序列的定义，在R中，实数列an收敛于a的定义为：对审名>0,三N>0, 使得对一切的n a N ,总有an - a <e成立.显然，R在此度量结构下的5收敛即与数学分析中的数列收敛的定义是一致的.R是Banach空间.、线性结构定义54:设X是一个非空集合，K是数域(实数域或复数域).若定义 X中两元素的加法运算以及数与 X中的元素之间的数乘运算并且满

6、足下面的条件：加法运算“ +”，即这样一个 X x X到X的映射，使得对每一个 (x, y) w X父X ,对应于 x + y w X ,满足下列条件：(1) x y = y x (x y) z = x (y z) 存在0 e X ,使得对于一切 xX,有x+6=x.(日称为零元素)(4)对于任意x W X ,存在x的加法逆元素 x,使彳# x + (-x) = 8数乘运算“ ”，即这样一个 K MX到X的映射，使得对每个(a,x) K X X ,对应于a x = X , 满足下列条件：(：x)=(：工 I-') x 1 x = x 二(x y):：x : y(:工一户)x = ： x

7、 x则X称为数域 K上的线性空间(linear space) .当K = R时，X称为实线性空间.X上的加法运算和数乘运算统称为线性运算.设 M =Xi,X2,，xn U X ,若关系式 %Xi +%x2 + nxn =0,其中% w K(i =1,2,n),仅当a1 =% =an =0时才成立，则 M称为是线性无关的.(linearly independent) .若M不是线性无关的，则 M称为是线性相关的 (linearlyindependent).当M线性相关时，必存在一组不全为零的数%产2,9n使得上述式子成立.线性空间 X称为是有限维的 finite dimensional) ,若存

8、在一个正整数n,使得 X包含一个由n个元素组成的线性无关集. 任何多于或等于n+1个元素组成的集都是线性相关的.这时，正整数称为的维数 (dimension),记为dim X =n.设x,y,z是R上任意三点，口，P是任意两个实数，加法定义为普通数的加法，乘法定义为一般意义下数的乘法，而这样的定义满足线性空间的八个条件： x y = y x (x y) z = x (y z) 存在ewR,使得对于一切 xw R,有x+e =x.这里8 =0.(4)对于任意x W X ,存在x的加法逆元素 x,使得x+(x)=日=0： ( I;- -x)=(：工 I ') x 1 x = x二(x y)

9、二二 x 一 y(:工-F) x = ： x 一 , x不难看出，零元素 日=0和R上的任何元素 x的逆元素-x都是唯一的.R是一维空间，线性无关组为任一非零实数.R上具有的线性结构这些性质的运算不难看出，就是我们在中小学所学到过的一般意义上的加 法和乘法的交换律，结合律等基本的加乘法则.但是在这里，它已经上升到了一个线性空间的结构 一R中的线性结构.三、拓扑结构定义64:设J是非空集合 X的子集为元素的一个集族，满足： X w J,0 w J ; 任意多个J中元素的并仍是 J中的元素，即若 Uw J(a w D),则 U Uw J:必Dn有限多个J中元素的交仍是 J中的元素，即若 UjWJ(

10、i=1,，帝，则。5W1. i 1则J称为集上的一个拓扑，(X,d)称为拓扑空间.定义77:设(X,J)是拓扑空间.若对于Vx, yw X,x#y,存在x与y的开邻域U,V,使得U QV =0,则(X , J )称为 Hausdorff 空间(Hausdorff space).定义87：设D为拓扑空间 X的子集，若 D的闭包等于 X (即C(D) = X ),则D称为X的 稠密子集.有可数稠密子集的拓扑空间称为可分的空间.定义97:设X为拓扑空间，如果 X的每一个开覆盖都有可数子覆盖，则称 X为Lindelof空定义105：设xo为度量空间 X中任意一点，r为正实数，则称S(x0,a)=xw

11、X d(x,%) <8 为开球.以x0为心，r为半径的开球又称为 x0的8一邻域.定义115：设X是度量空间，G u X,% w X,如果存在x0的某邻域S(x0,w)u G,则称凡是G的内点.如果 G中所有的点都是它的内点，则G是开集.性质1 ：开集具有下面的性质：X是开集，0也是开集.任意多个开集的并是开集.有限多个开集的交是开集. 证明：因为每一个 xX至少有一个球形邻域，因而X的每一点x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在 X中，所以X满足开集的条件.0中没有任何一点，也自然地可认为0满足开集的条件.设G后是一族开集，G =UGi .若xw G ,则存在i w D,使彳导xW

12、Gi,于是存在r>0,使得 IDB(x, r)u G二G,因此G是开集.仅就两个开集情况.设A, A2是开集.若x w AA2,则存在r1 a 0,r2 a 0 ,使得B(x,1r)匚 A, B(x2 巨),2Ar = min( 口上)，则 B(x,r)u A D A2,因此 A D A 是开集.口根据开集的定义知平时的区间中(-笛,收)(a,b ),。都是开集，而(a,b!(-笛，a%,")都不是开集.在度量空间(X,d)中，令J=AUX A为X中的开集,由性质1易见J为(X,d)中的拓扑，它称为由度量所诱导的拓扑.由全文的第一部分知，R在度量d(x,y)= x-y的诱导下为

13、拓扑空间.此时其拓扑为R中通常意义下的所有开集.性质2： R是Hausdorff空间.rr.这是因为对于任意相异的两点x,y ,有d (x, y )= r > 0, S(x, ), S( y,)分别是x与y的邻域且22互不相交.具体到R来说：x - y = r a 0,( x,匚),(y,匚)是其邻域且互不交.口22性质3: R是可分的.因为R中可数稠密子集为有理数集.性质4： R是Lindelof 空间.四、赋范结构在线性空间的基础上，我们就可以定义线性赋范空间了.定义124：设E是数域上的线性空间， 在E上定义实值泛函：f : Et R ,对于每一个 xw E ,其对应的值 f(x)

14、记为JX .若满足下列范数公理：对任意 x, y w E,q w R ,有：|X| > 0| X = 0当且仅当x = 0 (非负性) |ax| =|ot| x|(正齐性)|x +y| < |x| +|y|(三角不等式)则称口 x II为x的范数(norm), ( E, II - II )称为线性赋范空间( normde linear space )R上定义范数为|x = x ,这时，(R, 口 II )是线性赋范空间.事实上， R满足三条： x > 0 x=0ux = 0 |ctx =|cx|x x + y w x +| y该空间实际上就是点到原点的距离.五、内积结构在线性

15、空间中可定义内积概念如下：定义134：设X是数域K(K为实数域或复数域)上的线性空间.若映射(，)： X父X t K ,对任意的x, y, zw X以及ot, P w K ,满足如下性质：(1)对第一变元线性：(二:x - :y,z) = ： (x, z) ( y, z)(2)共轲对称性:(x, y) = (y, x)(3)非负性：(x,x) >0并且(x,x) = 0当且仅当x=0.则(，)称为 X 上的内积(inner product ), ( X ,( , , )称为内积空间(inner product space ),对于给定的 x, y w X , (x, y)称为x与y的内积

16、.定义144 : Hilbert空间是完备的内积空间.在R中，定义Rm R至iJ R的映射如下：(x, y) =xy(x, y亡R),易证该映射满足上述内积定义中 的三条性质，故而R是内积空间.接下来我们考察 R空间中三种结构：度量，范数以及内积的关系.R的度量结构等价于R的赋范结构.证明：在R的赋范结构中，我们定义 d(x,y)=|x-y ,则由第四部分对赋范空间的讨论，R为度量空间.反之，R为度量空间，此时对 yx,定义|X = d(x,0) =|x,由前面第一部分对度量空间的考察知，R是线性赋范空间.口1 .| 221 ., 2(x,y) =-( x + y - x-y )=-(x +

17、y - x 44知R为内积空间.R的赋范结构等价于 R的内积结构. 证明：R为线性赋范空间，由范数定义内积2、1 ,，一，一-，、，、“-y )=- 4xy = xy,由对内积的讨论, 4反之，R为内积空间时，我们定义v(x,x) =|x|，在R中有 帆二|x,验证定义中的三条： x = (x,x) > 0(x, x) = 0= x = 1222Ctx=(o( x, a x)=£xx +y2=(x + y,x + y)=(x,x)+ (y, y) +(x,y) +(y,x)=|x2 +2(x,y)+|y2&x2 + y+2 x y =(x + y)2即证为线性赋范空间.

18、口注 由上述三种结构的等价性及R在度量d(x, y)= x-y下的完备性可知：R既是Banach空间，又是Hilbert 空间.六、序结构定义156:设E是实Banach空间，如果 P是E中某非空凸闭集，并且满足下面两个条件：(i ) x W P,九 >0二九xW P(ii) xW P,xW P= x=e 6表E中零元素，则称 P是E中的一个锥.注意：给 定E当中一个锥 P后，则可 在E中的元素间 引入半序；xwy (x,yWE如果 y - x P).在R中，定义P为正的实半轴，此时可在R中诱导序如下：xwy (x, yWR), y -x= P ,这样，序的结构就是平时我们所认为的结构了

19、.该序具有如下性质：TH1 (次序的全序性)对任意的两个实数 a, b,则必满足下列三个关系之一：a>b,a<b, a = b.TH2 (次序的对逆性)对上述任意的a,b,若a>b则b<a;若a<b5Uba.Th3 (次序的传递性)对上述任意的a,b,c,若a<b, b<c,则a<c;若ab,bc,则ac.现在来证明其中的次序对逆性.首先来看一个定义.如果有限集合 A和B的基数记为a和b ,那么当AB时，称a等于b,记彳a = b .当A'u A, A'B时，称a大于b,记为a>b.当B'u B,AB'时，称

20、a小于b,记为a <b.现用上述定义来证明对逆性.要证b<a,由定义中的，只须证存在 A'u A,使BA',但条件是 a >b,由定义中的，有 A”u A,使A”B,令A' = A""UA' B.由集合的等价关系性质有BA'.即证.同理可证反之.正是由于R上的序结构，才有了数字大小的可比性.才有了函数的单调性的研究，有了极值及 最值问题的研究.在对一维空间进行结构分类讨论时，我们对一维空间有了更为深入的了解.一维空间是我们学 过的最简单也是最基础的空间，只有对它进行深入的了解，在学习抽象空间时，才能够由抽象到具 体，由具体到抽象进行联系，才能对抽象空间理解的更透彻.参考文献：1梁绍君，初等代数研究，四川大学出版社，四川， 2002, 8.2程其襄等，实变函数与泛函分析基础，高等教育出版社，北京，1983, 12.3华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社，北京，1981, 4.4熊洪允等，勒贝格积分与泛函分析基础，高等教育出版社，哈尔滨，1992, 5.5刘世伟等，泛函分析概要，高等教育出版社，河北，1987, 11.6郭大钧，非线性泛函分析，山东科学技术出版社，山东，1985, 5.7熊金成，点集拓扑讲义，高等教育出版社，北京， 1981, 10.The construction