数学物理方法知识点归纳

1、第一章复述和复变函数1.5 连续若函数f (x) f ( x) 在 z0 z0 的领域内（包括 z0z0 本 身 ） 已 经 单 值 确 定 ， 并 且limzzf ( z)f ( z0 ) limzzf (z) f ( z0 )00，则称 f(z) 在 z0 z0 点连续。1.6 导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件uuuuvvvv(i) xx 、yy 、 xx 、 yy在点不仅存在而且连续。(ii)C-R条 件在该点成立 。 C-R条件 为u(x, y)v( x, y)xyv(x, y)u( x, y)xyu(x, y)v(

2、 x, y)xyv(x, y)u( x, y)xy1.7 解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。解析的必要条件：函数f(z)=u+iv在点 zuuuu的 领 域 内 (i)xx 、yy、vvvvx x 、 y y 存在。(ii)C-R 条件在该点成立。解析的充分条件：函数f(z)=u+iv在领域uuuuvv内 (i)xx、yy 、xx、vvy y 不仅存在而且连续。(ii)C-R 条件在该点成立。1.8 解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数：2u2u2u2 ux 2x 2+y2y 2=0由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意

3、的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足 CR 条件。 当 知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中 的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过 C R 条件列微分方程第二章复变函数的积分2.2 解析函数的积分柯西定理： 若函数 f(z) 在单连区域 D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点 A 与 B 的那些曲线来讲，BBf ( z) dzf ( z)dz积分 AA的值均相等。柯西定理推论： 若函数 f(z) 在单连区域 D 内解析，则它沿 D 内任一围线的积分都f ( z)dz0f ( z) dz 0等于零。 CC二连区域的柯西定理：若

4、f(z) 在二连区域D 解析，边界连续，则f(z) 沿外境界线 (逆时针方向 )的积分等于f(z) 沿内境界线 (逆时针方向 )的积分。n+1 连区域柯西定理 ：f ( z) dzf (z)dzf ( z)dz .ei1i 2f ( z) dzf (z)dzf ( z)dz .ei1i 2推论： 在 f(z) 的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。2.3 柯西公式若 f(z) 在单连有界区域 D 内解析，在闭区域 D 的边界连续，则对于区域 D 的任何一个内点 a，有f (z)dzinf ( z)dzinf (a)1f ( z) dz2 iz af (a)1f( z) dz2 iza其中是

5、境界线。2.5 柯西导数公式f ( n) (z)n!C (f ()d2iz)n1f( n)(z)n!f ()1 d2iC (z)n第三章级数3.2 复变函数项级数外尔斯特拉斯定理：如果级数uk ( z)uk ( z)k 0k0在境界上一致收敛，那么(i) 这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z)(ii) 由它们的 m 阶导数组成的级数uk(m) ( z)uk( m) (z)k 0k 0在区域内也收敛，而且它们的和等于F(m)(z) 。3.3 幂级数阿贝尔 (Abel) 定理： 如果幂级数ck ( z a) kck ( z a) kk 0k 0在点 z0 处收敛，则在任一圆 |z-a|<=

6、p|z0-a|，0<p<1内，幂级数一致收敛，并且绝对收敛。达朗贝尔 (D Alembert) 判别法 :对于幂级数，计算下列极限| ck 1 (za)k1| lim | ck 1 ( za)k1|limkkk| ck (za)|k| ck( za)|(i) 当极限值小于 1 时，幂级数在点 z 处绝对收敛 (ii) 当极限值大于 1 时，幂级数在点 z 处发散 (iii) 当极限值等于 1 时，敛散性不能判断。柯西判别法：计算极限lim k | ck (za) k | lim k | ck ( za) k |kk当极限值小于 1 时，幂级数在点 z 处绝对收敛 ;而当极限值大于

7、1 时，幂级数在点 z 处发散；极限值等于 1 时，不能判断3.4 解析函数与幂级数定理 ：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。Taylor 级数 ：f ( z)f (n) (a) (za)nn0n!f ( z)f (n) (a)a)n(zn0n!ez1zz2.zn.2!n!ez1zz2.zn.2!n!sin zzz3z5.(-1) nz 2n1.3!5!(2n1)!sin zzz3z5.(-1) nz 2n1.3!5!(2n1)!cos z1z2z 4.z 2n.2!4!(2n)!cos z1z2z 4.z 2n.2!4!(2n)!ln(1z)zz2z3.(-1)nzn123n.1ln(1z)z

8、z2z3.(-1)nzn123n.13.5 解析函数与双边幂级数定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析函数。环形区域内的解析函数可展成双边幂级数f ( z)ck ( za) kkf ( z)ck ( za) kkck1i(f ( )d2a)ck1i(f ( )d2a)称为 Laurant 系数3.8 孤立奇点非孤立奇点 ：若函数f(z) 在 z=a 点的无论多么小的领域内，总有除z=a 以外的奇点，则 z=a 是 f(z) 的非孤立奇点。孤立奇点 ：若函数在z=a 不可导 (或无定义) ，而在去心领域0<|z-a|< 解析，则z=a 是 f(z) 的一个孤立奇点。3.9 奇点分类有

9、限远奇点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)= 有限不含负幂项值极点limf(z)= 含有限个负幂项本性奇点limf(z)= 无定含无限个负值幂项无穷远点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)= 有限值不含正幂项极点limf(z)= 含有限个正幂项本性奇点limf(z)= 无定值含无限个正幂项第四章 留数4.1 柯西公式的另一种形式一阶极点留数 ：若 g(z)在单连区域 D 内解析， a 在 D 内，在 D 内作一环绕点 a 的围线 C。令 f(z)=g(z)/(z-a) 则有：f ( z)dz2i Re sf (a)Cf ( z)dz2i Re sf (a)Re sf (a)lim (za

10、) f ( z)zaRe sf (a)lim (za) f ( z)z a一阶极点留数的一种算法 :f ( z)( z)f ( z)( z)如果( z)( z) 那么Resf (a)(a)Resf (a)(a)( a)(a)m 阶极点的留数公式1d m 1mf ( z)|z aRe sf (a)(m1)! dzm 1 ( za)1d m 1mf ( z) |z aRe sf (a)(m1)! dzm 1 ( za)4.2 用级数分析来分析留数定理f ( z)kck (za)kf ( z)kck (za)k则有 Res f ( a)c 1f (a) c 1多连区域的柯西定理:如果在围线 C 的内

11、部包含 n 个孤立奇点，利用多连区域的柯西定理就有nf (z)dz2iRe sf (ak )Ck1nf (z)dz2iResf (ak )Ck14.3 无限远点的留数Re sf ()1f (z)dzc 12iRe sf ()1f (z)dzc 12i定理 1：如果当z时，若zf(z) 0,则CResf( )=0定理 2：nResf(a k )Re sf ()0k 1nResf(a k )Re sf ()0k 14.4 留数定理计算型积分第一种类型：2R(cos , sin)d02R(cos, sin)d0型积分令 zeizeiddz / iz ddz / izcos1( zz 1 ) cos1

12、 ( zz 1 )22sin1 ( zz 1 ) sin1 ( zz 1 )222R(cos, sin)df ( z)dz0|z| 12R(cos, sin)df ( z)dz0|z| 1在单位圆内各个奇点的留数之和f ( x) dxf ( x)dx第二种类型：型积分注意，需要满足条件lim zf (z)0 lim zf ( z) 0zzf ( x)dx2 if (x)dx2 i在上半平面的奇点留数之和（界限上的乘以 0.5）第三种类型：f ( x)eimx dxf ( x)eimx dx型积分注意需要符合条件lim f ( z)0 lim f ( z)0zzf ( x)eimx dx2 if

13、 ( x)eimx dx2 i f(z)e imz 在上半平面的奇点留数之和4.7 围线积分方法泊松积分：e ax2cosbxdx1e b2 / 4a02ae ax2cosbxdx1e b2 / 4a02a菲涅尔积分：cosx 2 dxsin x2dx10022cosx 2 dxsin x2 dx10022第六章 积分变换6.1 傅里叶级数三角函数系的正交性2 周期 - 展开定理：f ( x)C 0(C m cosmxD m sin mx)m 1f ( x)C 0(C m cosmxD m sin mx)m 1C 01f () d2C01f ( ) d2C m1f () cosm dCm1f

14、() cosm dD m1f () sin m dDm1f ( ) sin m d任意周期 2l- 展开定理：f ( x)C 0(C m cos mxD m sin m x)m 1llF f (x)f ( x) C 0(C m cosm xD m sin mf (k)F f ( x) f (k)x)11m 1llf ( x)FF f (k) f (x) f (k)C01l1l2lf ( )d C02lf ( )dllCm1l) cosmf (dlllCm1l) cosmf (dlllDm1l)sinmf (dlllDm1l)sinmlf (dll6.2 傅立叶积分f ( x) C(k) cos

15、kxD (k ) sin kxdk0f ( x) C (k) coskxD (k) sin kxdk0C (k)1f ( ) cosk dD ( k)1f () sin kdC(k)1f ( ) cosk dD( k)1f ( ) sin k d6.3 傅立叶变换线性定理F C1 f1C2 f 2 C1F f1 C2 F f 2 F C1 f1C2 f 2 C1 F f1 C2 F f 2 导数定理F f( x)ikF f ( x)d n f (x)nF f ( x)F dxn(ik )积分定理1 F f ( x)F f ( )d xx0ik延迟定理F f ( xx0 )eikx0 F f (

16、 x)相似定理1 k)F f ( ax)f (aa卷积定理F f 1( ) f 2 ( x)d 2 f1(k ) f2 (k )6.4 拉普拉斯变幻C(k) 是偶函数， D(k) 是奇函数( p)(t)e pt dt傅里叶公式0令注意当 t<0 时，(t ) =01iD (k )f ( k) C (k )2( p) =L(t) (t) =L -1 ( p) 1 C(k )iD (k )f ( k)2(t ) ( p)则f ( x)ikxdk线性性质：f (k)ea 1 (t ) b 2 (t) a 1 ( p) b 2 ( p)ikxf ( x)dkf (k)ea 1 (t ) b 2

17、(t) a 1 ( p) b 2 ( p)1ikdf ( k)f ( )e2导数的象函数：1ikd (t )p ( p)(0)f ( k)f ( )e ddt2d(t)p( p)(0)延迟函数的象函数dt(t )H (t)( p)(t) H (t )( p)d n (t )nn 1n 2n-1dt np( p)p(0)p(0) .(t(0) )H (t)e p( p)d n (t )pn( p)pn 1(0)pn 2(0) .n(-1t)H (t)e p( p)dt n(0)卷积定理积分的象函数t1 ()2 (t)dL 1(t) L 2 (t)Lt( p)t( p)0(t )dtp(t )dt

18、pt1 ()2 (t)dL 1 (t) L 2 (t)00L0nn!nn!象函数的导数ttpn 1pn 1ndn( p)(t )(t)dpn象函数的位移定理：eat(t)( pa) eat(t )( pa)(t )n(t)d n( p)由此可得dpneatpa积分公式：cos t( p( p)dp(t ) dta) 2200tatpaecost( pa) 22eatsint( pa) 22eatsint( pa) 22eat cht( ppaa)22eat cht( ppaa)22eat sht( pa)22eat sht( pa)22（用来求逆变( p)dp(t ) dt00t第八章数学物理

19、方程的导出2u( x,t )a22 u( x,t)t 2x22u( x,t )a 22 u( x,t)t 2x2弦的横振动方u=弦的横向位移程a2=FT/FT=张力 =单位长度弦的质量弦的纵振动方u=弦的纵向位移程a2=E/E=杨氏模量 =单位长度弦的质量u(r ,t )a 22u(r ,t )t换）u(r ,t )a 2 2u( r , t)tu=离子浓度， a2 =D扩散方程D=扩散系数热传导方程u=温度， a2=k/ ck= 导热系数， =质量密度c=比热容2 u(r , t )a2 2u(r , t )t 22 u(r , t )2 2u(r , t )t 2a波动方u=E 或 B 的

20、任一分量程a21/ 0 0 a21/000=真空电容率0 =真空导磁系方u(r ,t ) |t 0(已知函数 )程u( r, t) |t0（已知函数）tu(r, t) |t0（已知函数）t边界条件u已知函数unu已知函数un第九章 本征函数法弦振动方程的第一类边值问题定解2u(x,t )2u( x, t)问题a2t 2x22u(x,t )a22u( x,t )t 2x2数E 电场强度 B 磁场强度拉普拉斯方2 u(r ,t ) 02 u(r ,t) 0程稳恒状态扩u=粒子浓度散方程稳恒状态传u=温度导方程u |t 0u(0,t )u |t 0u(0,t )分离u(x,t)变量u(x,t)( x

21、), ut|t0( x)u(l ,t )0( x), ut|t0( x)u(l ,t )0X ( x)T (t ) X ( x)T (t )静电场方程u=静电势线性算符与解的叠加初始条件扩（已知函数）散 u(r , t) |t 0方（已知函数）u(r , t) |t 0程热传导方程波已知函数u(r , t) |t 0)(动解本X ( x)X ( x)0证方X (0)X (l )0程X ( x)X ( x)0X (0)X (l )0本征值n( n) 2n( n)2llX (x)X n (x)sinnx本征函数l解非a2nT (t )0T (t)本征方程T(t )a2nT (t)0的通解为T(t)

22、Tn(t)n an aCn costDn sintllT(t)Tn(t)Cn cosn atDn sinn atll定解问题u(x,t)n 1Tn (t)Xn (x)的解(Cn cosn at Dn sinn a t)sinnxn 1lllu(x,t)Tn (t)Xn (x)n 1(Cn cosn at Dn sinn a t)sinnxn 1lll由初Cn sin n始条u(x,0)( x)x件和n1l傅里Cn sin n叶级u(x,0)( x)x数确n1l定系n anut|t(x)D nx数0lsinln 1ut|t0(x)D nn a sin nxn 1llCn2l() sinndl0l

23、Cn2l() sinnd分离变量解本证方程解非本征方程u( x, t)a22u(x,t )tx2ux |x 00,ux |xl0u(x,0)( x)ux |x 00,ux |x l0u(x,0)( x)u(x,t)X ( x)T (t )u(x,t)X ( x)T (t )X ( x)X (x)0X (0)X (l )0X ( x)X (x)0X (0)X (l )0本征值n ( n ) 2n( n )2llX (x)X n (x)cosn x本征函数lT(t)a2nT (t )0T(t)a2nT (t )0的通解为an 2t()T(t)Tn(t) Cnelan 2t()T(t)Tn (t)C

24、nell0lD n2l()sin ndna0lDn2l()sin ndna0l热传导方程第二类边值问题定解u(x,t )2u(x,t )问题a2tx2定解问题的解由初始条件和u(x,t)C0 (an2l) t Cnen 1u(x,t)C0an2() t Cneln 1u(x, t )C0ncosxcosnxlCn cosnxn 1l傅里叶级数确定系u(x,t )1C0Cn cos nxn 1ll1 l定2 v( x,t)2 v( x,t )解a2f ( x, t)问t2x2题数C0Cnl2l2()d C0l( )d0n0l(d) cos0lln2 v( x,t)a22 v( x,t )f (

25、x, t)t2x2v |x 0 0,v |x l0Cnl( ) cosd0lv |t 00, vt |t 00X ( x)X (x)0 X ( x)X ( x)0本征值和本征函数系v |x 00,v |xl0v |t 00, vt |t00齐次边界条件本征值本征函数系X(0)X(l)0n( n) 2sin nxllX(0)X(l)0n( n) 2sin nxX (0)X (l )0ll( n) 2cos nxX (0)X (l )0nlln( n) 2cos nxX(0)X (l)0ll(n1)(n1)X(0)X (l)0n22sin2xll(n1)(n 1)n22sin2xll第一类边界条件

26、齐次化的一般方法非齐次边界条u(0, t)1(t)件u(l, t)2 (t)u(0, t)1(t)本征 X (x)函数非齐 f (x,t )次项按 f (x,t )本征函fn (t )数fn (t )展开定解 v(x,t)问题试 v(x,t)解nX n ( x)sinxlfn (t ) sin nxn1lfn (t ) sin n xn1l2l, t ) sinnlf (d0l2l, t ) sinnlf (d0lTn(t)xinnxn 1lTn(t)xinn xn 1lu(l, t)2 (t)齐次化方法v(x, t )1 (t)u( x, t )x2 (t)1(t )lu( x, t )v(x, t )1 (t)xT n(