对坐标的曲面积分ppt课件

1、 第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联络四、两类曲面积分的联络对坐标的曲面积分 第十章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类曲面分类双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和曲面分上侧和下侧下侧曲面分内侧和曲面分内侧和外侧外侧曲面分左侧和曲面分左侧和右侧右侧(单侧曲面的典型单侧曲面的典型) 其方向用法向量指向其方向用法向量指向方向余弦方向余弦coscoscos 0 为前侧为

2、前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧外侧外侧内侧内侧 设设 为有向曲面为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面指定了侧的曲面叫有向曲面, , 表示表示 :其面元其面元在在 xoy 面上的投影记为面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为的面积为那么规那么规定定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定类似可规定zxyzSS)( ,)( 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例：引例： 设稳定流动的不可紧缩流体的速度场为设稳定流动的不可紧缩流体的速度场为求单位时间流过有向

3、曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量 . S分析分析: 假设假设 是面积为是面积为S 的平的平面面, 那么流量那么流量法向量法向量: 流速为常向量流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv 对普通的有向曲面对普通的有向曲面 , ,用用“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限 ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS对稳定流动的不可紧缩流体的对稳定流动

4、的不可紧缩流体的速度场速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进展分析可得进展分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 那么那么 设设 为光滑的有向曲面为光滑的有向曲面, 在在 上定义了一上定义了一个个意分割和在部分面元上恣意取点意分割和在部分面元上恣意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分分,yxRxzQzyPdddddd记作记作P, Q, R 叫做被积函数叫做被积函数; 叫做积分曲面叫做积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二类曲面积分或第二类曲面积分.以下极限都存在以下极限都存在向量场向量场xdydzdPQR),(

5、),(),(zyxRzyxQzyxPA 假设对假设对 的任的任 那么称此极限为向量场那么称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面在有向曲面上对坐标的曲面积积2. 2. 定义定义. . 3.物理意义：物理意义： 流过有向曲面流过有向曲面 的流体的流量为的流体的流量为zyPddxzQdd称为称为Q 在有向曲面在有向曲面 上对上对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为称为R 在有向曲面在有向曲面 上对上对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为称为P 在有向曲面在有向曲面 上对上对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd假设记假设记 正侧的单位法向量为正侧的单位

6、法向量为令令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 那么对坐标的曲面积分也常写成如下向量方那么对坐标的曲面积分也常写成如下向量方式式 4. 4. 性质性质(1) 假假设设,1kiiki 1之间无公共内点之间无公共内点, 那那么么i且(2) 用用 表示表示 的反向曲面的反向曲面, 那么那么 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA d 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面设光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上侧取上侧,),

7、(zyxR是是 上的延续函数上的延续函数, 那那么么yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd 假设假设,),( , ),(:zyDzyzyxx那么有那么有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 假假设设,),( , ),(:xzDxzxzyy那么那么有有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负前正后负)(右正左负右正左负)阐明阐明: 假设积分曲面假设积分曲面 取下侧取下侧, 那那么么yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd 把把 分为上下两部分分为上下两部分2211:yxz例例1. 1.

8、计算曲面积分计算曲面积分,dd yxxyzI其中其中 为球面为球面外侧在第一和第五卦限部分外侧在第一和第五卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz1222 zyx dxdyxyzzxyyzxI333由于由于 1222 zyx解解: :所以所以 yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr 思索根据对称性根据对称性0ddyxxyz 下述解法能否正确下述解法

9、能否正确: 例例2. 2. 计算计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中其中 是以原点为中心是以原点为中心, 边长为边长为 2 的正立方的正立方体的整个外表的内侧体的整个外表的内侧.解解: 利用对称性利用对称性.原式原式 yxyxdd)(3 的顶部的顶部 ),(:11-11 zxx取前侧取前侧 的底部的底部 取后侧取后侧 13yxyxdd)( yxDyxydd)( 1-3 yxyx 2dd)( yxxyxD dd)( 1 yxDyxdd28 xzy)1, 1(1:2zxx 例例+. +. 设设S S 是球面是球面1222zyx的外侧 , 计算SxxzyI2cosdd2解解: 利

10、用轮换对称性利用轮换对称性, 有有Sxxzy2cosdd20cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22 练习练习. . 位于原点电量为位于原点电量为 q q 的点电荷产生的电场为的点电荷产生的电场为解解: :Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求求E 经过球面经过球面 : r = R 外侧的电通量外侧的电通量 .SE dSnEdSrrdrrq3 四、

11、两类曲面积分的联络四、两类曲面积分的联络ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦描写曲面的方向用法向量的方向余弦描写 令令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量方式向量方式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在在 n 上的投影上的投影) 例例3 3 计算计算dxd

12、ydxdzdydz0, 1222zzyx, , 其中其中为下半球面为下半球面的外侧的外侧解：由于解：由于 ： 221yxz取下侧取下侧, , 而而在在xoyxoy面的投影为面的投影为1:22 yxDxy的定向法向量为的定向法向量为 ) 1,1,1(2222yxyyxxn，dxdyyxxdydz221 dxdyyxydxdz221 例例3 3续续那么那么dxdydxdzdydzdxdyyxyx1122xyDdxdyyxyx1122xyDdxdyxyDdxdyyxyx2211022201)sin(cosdrrrd yxz111例例4+. 4+. 设设,1:22yxz是其外法线与是其外法线与 z 轴

13、正向轴正向夹成的锐角夹成的锐角, 计算计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n 221cosyxx练习练习. . 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 解解: 利用两类曲面积分的联络利用两类曲面积分的联络, 有有zyxzdd)(2yxddcoscosoyxz2 原式原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面旋转抛物面)(2221yxz介于平面介于平面 z= 0 及及 z = 2 之间部分的下侧之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx )( xxyxD222)(41yx oyxz2原

14、式原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz 内容小结内容小结定义定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分及其联络两类曲面积分及其联络xziiiiSQ),( 性质性质: :yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联络联络:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思索思索:的方向有关的方向有关, 上述联络公式能否矛盾上述联络公式能否矛盾 ?两类

15、曲线积分的定义一个与两类曲线积分的定义一个与 的方向无关的方向无关, 一个与一个与 2. 2. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分面积分第一类第一类 (对面积对面积)第二类第二类 (对坐标对坐标)二重积分二重积分(1) 一致积分变量一致积分变量代入曲面方程代入曲面方程 (方程不同时分片积分方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影积分元素投影第一类：第一类： 面积投影面积投影第二类：第二类： 有向投影有向投影(4) 确定积分域确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化转化 当当yx

16、Dyxyxzz),( , ),(:时，时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(上侧取上侧取“+, 下侧取下侧取“)类似可思索在类似可思索在 yoz 面及面及 zox 面上的二重积分转化公式面上的二重积分转化公式 . ,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上侧 , 计算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示: 求出 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分P167 P167 题题3(3). 3(3). 设设SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121思