专题平面向量中的最值问题

1、平面向量中的最值问题与平面向量的最值有关的问题主要包括与参数有关的最值、与向量的模、与向量的夹角、与向量的数量积有关的最值.常见转化的方法有坐标化； 基底化； 几何法，可以建立函数或用基本不等式，也可以找出动点的轨迹，利用几何意义求解.例1(1)如图，已知扇形AOB勺圆心角为90° ,半径为1,点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q,则Op 0(的取值范围为 |a+xb| > | a+b| 恒成立,(2)已知向量a, b满足| a| =J2，|b| =1,且对于一切实数x,则a与b的夹角大小为(3)如图，直角梯形 ABC阴，已知 AB/ CD Z DAB= 90&#

2、176; , AD= AB= 4, CD= 1,动点 P在边BC上，且满足AP= miAB- nAD(m n均为正实数)，则：，的最小值为思维变式题组训练1 .如图，已知 AC= BC= 4, /ACB= 90° , M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则Aia DC的最大值是2 .如图，在同一平面内，点A位于两平行直线 e n的同侧，且A到mj n的距离分别为1,3.点B, C分别在mi n上，| A母AC =5,则曲 AC勺最大值是 .3 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点A, B分别为x轴、y轴上一点，且 AB= 2, 若点R2 ,洞,则|正MOp的取值范围是.4

3、.在直角梯形 ABCDK 已知 AB/ CD / DA290° , AB= 2CD M为CD的中点，N为 线段BC上一点(不包括端点)，若AC=入而 W前 则1+)的最小值为 .强化训练1 .已知点A(1,0) , B(0 , 1), P是曲线y = 11x2上一个动点，则BP-BA勺取 值范围是.2 .在AB/,B堤2,A= 45° , B为锐角，点O是AABO接圆的圆心，则OA-BC 的取值范围是.3 .已知点 A(0,1) , B(0 , 1), C(1,0),动点 P满足AP BP= 2|PC2,则| AP+BP |的最大值为.4 .设函数 f(x)=x3 a2x(

4、a>0, x>0), O 为坐标原点，A(3 , 1), C(a, 0),对 函数图象上的任意一点 B,都满足OA-OBcOA- g立，则a的值为.5 .在等腰梯形ABCM,已知AB/ DC A五2, BC= 1, /AB生60° .动点E和F 分别在线段BC?口 DC1，且BE三入於DF= /而则AE - AF勺最小值为.9人6 .在直角坐标系xOy中，已知三点A(a, 1),B(2，C(3,4),若OA-OC=OB- OC 则a2+b2的最小值为.，一 , , .,.一 九 一 一 , 一 _ _ _7 .如图，在 AB& 中，已知/ BAB = "3, AB=6, AB=4,点 E2, B3,巳，Bs,&, B分别为边B2的7等分点，则当i+j =9(1 &i08)时，AB AB的最大值 为.8 .已知点 A(0,1),蜕0, 1), C(1,0),动点 P满足扉加=2|PC|2,则| AP+BP |的最大值为.9 .如图，已知AG= 2, B为AC的中点，分别以AB, AC为直径在AC的同侧作半 圆，M, N分别为两半圆上的动点(不含端点A, B,。，且B业BN则AM-CN勺 最大值为.10 .在平面内，定点A,B,C,D满足|像=1的=1的，族显西 昆瓦以 =2,动点P, M满足|旃=1,百血加 则|欧P的最