“设而不求”的未知数

1、有志者事竟成设而不求”的未知数让我们先看一道简单的数学 题 三角形 的面积 代 入 式 得 4+4S=6解 设这个三角形的斜边长度为 c ，因为斜边上的中线长是 1，所以斜边长 c=2再 设两条直角边的长度是 a， b，面积是 S，那么a2+b2+2ab=6 把 在这个题目中，只要求出未知数 S 的值，而我们却设了三个未知数： a，b，S， 并且在解题过程中，我们也根本没求 a，b的值但是由于增设了 a，b 后，给我 们利用等量关系列方程及方程组求 S 的值，带来了很大的便利，像这种未知数 ( 如 a，b)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为

2、解决问题增设的一些参例2若数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用求 x+y+z 的值分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比 解 令则有 x=k(a -b)， y=k(b -c)， z=k(c -a)，所以 x+y+z=k(a -b)+k(b -c)+k(c -a)=0 ，所以 x+y+Z=0 说明 本例中所设的 k，就是“设而不求”的未知数例 3 已知 p，q，r 都是 5 的倍数，r > q> p，且 r=p+10，试求 解 不妨设 p=5k1，q=5k2，r=5k3，由题意可知， k1，k2，k3都是整数因为 r >q&

3、gt; p，所以 k3>k2> k1又因为 r=p+10 ，所以 5k 3=5k1+10，k3=k1+2， 所以 k1+2>k2>k1，所以 k 2=k1+1 将，代入所求的代数式得说明 本题中 k1，k2，k3 均是“设而不求”的未知数a>1，并且设 分子： n-13=ak1， 分母： 5n+6=ak2其中 k1，k2 为自然数由得 n=13+ak1，将之代入得 5(13+ak 1)+6=ak 2，即 71+5ak 1=ak2， 所以 a(k 2-5k1)=71由于71是质数，且 a>1，所以 a71，所以 n=k1·71+13故n最小为 84例

4、 5 甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和 17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解 设四个人的年龄分别记为 a，b，c， d，根据题意有由上述四式可知比较，知，d 最大， c 最小，所以 - 得所以 d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为 18说明 此题不必求出 a，b，c，d 的值，只须比较一下， 找出最大者与最小者是谁， 作差即可求解例 6 设有 n个数 x1，x2，xn，它们的值只能是 0，1，2 三个数中的一个， 如果记试用 f1和 f2表示解 设在 x1，x2，xn这几个数中取值为 0的有 s个，取值为 1的有 t 个，

5、取值 为 2 的有 r 个，则 s+t+r=n ，0t n，0sn，0r n，由此得f 1=t+2r ， f 2=t+4r 所以=(2k-1)f 2-(2 k-1-2)f 1说明 本题借助于 s，t，r 找到了 fk与 f 1， f 2的关系表达式整除根据一个数能被 9 整除的特征有 6+2+4+2+7=9m(m为自然数 ) ， 即 + +3=9m1(m1为自然数 )又由于 0 9，0 9，则有 3 + +321，从而有 +=6 或 +=15 同理，按照一个数被 11 整除的特征有 -=-2 或 -=9 与相结合，并考虑 0 9，0 9，故只有 =2， =4所以原自然数为 6 224 427例

6、 8 我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数 字对调，取两数的差 (大数减小数 ) ，将所得差的三位数与此差的个位、 百位数字 对调后的三位数相加，最后的和是多少？=a×100+b×10+c-(c ×100+b×10+a)=99×a-99×c =100×a-100×c-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+9 ×10+(10 -a+c) 因 k 是三位数，所以 2 a-c8， 1 a-c-1 7所以210-a+c8差对调后为 k=(10-a+c) ×100+

7、9×10+(a-c-1)，所以 k+k=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)+(10 -a+c)×100+9×10+(a-c-1) =1089说明 本例中 a， b， c 作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它 们的值这正是“设而不求”的未知数的典型例子在列方程解应用题中，更是经常用到增设参数的方法，下面再举几个例题例9 从两个重量分别为 12千克(kg) 和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切 下重量相等的两块， 把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起， 熔炼后两个 合金含铜的百分数相等求所切下的合金的重量是多少千克？分析 由

8、于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含 铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数， 才能充分利用已 知，为列方程创造条件 解法 1 设所切下的合金的重量为 x 千克，重 12 千克的合金的含铜百分数为 p， 重 8 千克的合金的含铜百分数为 q(p q) ，于是有整理得5(q -p)x=24(q -p)因为 pq，所以 q-p0，因此 x=4.8 ，即所切下的合金重 4.8 千克解法 2 设从重 12 千克的合金上切下的 x 千克中含铜 m千克，从重 8 千克的合 金上切下的 x 千克中含铜 n 千克(mn) ，则这两个合金含整理得5x(n -m)=24(

9、n-m)因为 mn，所以 n-m0，因此 x=4.8 ，即所切下的合金重 4.8 千克说明 在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未 知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关例 10 某队伍长 1998 米(m) ，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立 即返回，当这个战士回到排尾时，全队已前进 1998 米，如果队伍和这个战士行 进的速度都不改变，求这个战士走过的路程解法 1 设这个战士走过的路程为 s米，所需要的时间为 t 小时(h) ，消去参数 t 得解之得解法 2 设这个战士的行进速度为 V1 米/ 小时，队伍行进的速度为因此所以这个战士所走距离为说明 在同一个问题中，由于考虑问题的角度不同，所以增设的参数也会有所不 同（如上例中的两种解法 ） 练习九字），又 N是 4的倍数，且 N被 11除余 5，那么 x