2019-2020学年广东省潮州市高三(上)期末数学试卷(文科)

1、C. 5第 1 页（共 18 页）2019-2020学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（文科）、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的A. a 1, b 1B .a1 , b1C . a 1 , b 1D. a 1 , b 12 . ( 5 分)设集合)A. 0S x|2x2x 0,x2R , T x|x 2x 0 ,xR，则 SIT (B .0,2C. 2 , 0D. 2 , 0, 23. （ 5 分）已知函数 f(x)2x21,x 1，若 f (f (0) 4a，则实数a等于( )xax,xT1. （5 分）若a, b R

2、 , i 为虚数单位，且（a i）i b i 则（）A .1B .4C. 2D. 9254. （ 5 分）“数列an既是等差数列又是等比数列”是“数列 an 是 常 数 列 ” 的（）A .充分不必要条件C充要条件A. b 0, c 0 B. b 0, c 0B 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件则下列结论成立的是（）C. b 0 , c 0 D. b 0, c 000345 5 6SS S 914111222334 4555&7 gIS01223336. （ 5 分）在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1 35 号

3、，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩小于 139 分钟运动员人数为（）C. 5第 1 页（共 18 页）第3页（共 18 页）C. 2D. 3则 2x y 的最大值和最小值分别为（）C. 1,2D. 2,1uuuBD （ 4,2），则该四边形的面积为（）C. 5D. 10C. 432 2 212 （ 5 分）已知 ABC 的内角A ,B,C 所对的边分别是a,b,c，且 b 2 ,b c a bc , 若 BC 边上的中线sincos2A .3B.21剟x y 1&(5 分）若实数x,y满足1剟x y 1，A .1,1B .2,2uuur9. ( 5分）在四边形 ABCD 中，

4、AC(1,2)A .5B . 257. （ 5 分）若Sin一汇1，则 tan （10. （5 分）如图，四棱锥 S ABCDC正确的是（）A . ACSBAD SCC .平面SAC 平面 SBDBD SA11. (5 分)2x已知双曲线 a距离为2b4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为0,b0）的左顶点与抛物线2px（p 0）的焦点的(2,1），则双曲线的焦距的底面为正方形,SD 底面ABCD，则下列结论中不D .45第4页（共 18 页）AD7，贝 U ABC 的外接圆面积为（）A . 4B . 7C. 12D. 16二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分

5、.13. （5 分）曲线 y 3lnx 1 在点（1,1）处的切线方程为_第5页（共 18 页）、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,每个试卷考生都必须作答，第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（1 ）求an的通项公式;求出m的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3 天中恰好有 2 天下雨的概率;从 2011 年开始到 2019 年该地区清明节当天降雨量（单位：mm）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）14.(5 分) 已知函数 y sin（2x)(1 I215.(5 分) 数列an满足 an 11a81an16.（5 分）2已知抛物线 y 4x 上有二点A,6

6、, 12,则ABC 的重心坐标为3，则的值是BC , AC 的斜率分别为 3,17-21 题为必考题,17.（12a210, a4（2） 设等比数ay.若 b6ak，求 k 的值.18. （12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中,PA底面 ABCD , AD/BC , AB AD AC 3 ,PA BC 4 ,M为线段AD上一点,AM 2MD, N 为 PC 的中点.19. （12 分）某地区 2020 年清明节前后3 天每天下雨的概率为 60%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3 天中恰好有 2 天下雨的概率：用随机数x（x N,0 剟 x 9）表示是否下雨:当 x 0 , m(mZ）时表

7、示该地区下雨，当x m1 , 9时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20 组数如下332714740945593468491272073445992772951431169332435 027898719(1)(2)2， 贝 U aiB, C，直线AB,）的一条对称轴为 x（I）证明 MN / /平面PAB；第6页（共 18 页）时间2011 年2012 年2013 年2014 年2015 年2016 年2017 年2018 年2019 年第7页(共 18 页)年份 t123456789降雨量y292826272523242221经研究表明：从 2011 年开始至 2020 年，该地区清

8、明节有降雨的年份的降雨量y与年份 t 成(2)若 g(x) exmxe， x (0,)，求证：当m, 1时，g(x)0 .雨量为多少？(精确到0.01)n(tit)(yiy)参考公式：i1n,a? ybT .i 12tit)9797参考数据：i(tif)(y1y)58 , (tii 1F)(y y) 54,(ti 1f)260 , (ti 1t)25220. (12 分) 已知函数f(x)x al nx(aR).线性回归，求回归直线? A ?，并计算如果该地区2020 年(t 10)清明节有降雨的话,降(1 )当 a 0 时，求函数 f(x)的单调区间;第8页(共 18 页)x221. (12

9、 分)已知椭圆C：pa0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)设F为椭圆 C 的左焦点，T为直线 x 3 上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆 C 于点P, Q .1证明：OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点);2当匹最小时，求点T的坐标.|PQ|请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分x22. (10 分)已知动点P、Q 都在曲线 C:y2cos2sin为参数)上，对应参数分别为与 2 (02 ) ,M为 PQ 的中点.(1 )求 M 的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离 d 表示为的

10、函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.123.设函数 f(x) |x | |x a|(a 0).a(I)证明:f (x) 2;第6页（共 18 页）2019-2020学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的R, i 为虚数单位，且(ai)iC.【解答】解: Q (ai)iai 1 b故选:分）设集合2x| x 2x 0 ,R , T2x| x 2xR，则 SIT (A . 0B . 0 , 2C. 2 , 0【解答】解: 分析可得，2S 为方程 x2x 0 的解集，则 S

11、x|x22x 00 ,2,T为方程 x2x 0 的解集，则 Tx|x22x 00 ,2,故集合 S|T0,)故选：A. 2 , 0, 23. （ 5 分）已知函数f(x)2x2x1,x 1ax,xT若 f(f(0) 4a ,则实数a等于C. 2【解答】解：Q 函数f(x)2x2x1 x 1,f(f(0) 4a ,ax, xTf(0)201 2 ,f(f(0)2f (2)2 2a4a ,解得 a 2 .实数a等于 2.第7页（共 18 页）故选：C .4.（ 5 分）“数列a.既是等差数列又是等比数列”是“数列a.是常数列”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充

12、分也不必要条件【解答】解：若数列an既是等差数列又是等比数列，则数列an为常数列，且 an0 ,则反之当 an0 时，满足数列an为常数列，但数列an不是等比数列，即“数列an既是等差数列又是等比数列”是“数列an是常数列”的充分不必要条件，故选：A.5.（ 5 分）函数 f（x）x b2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A. b 0, c 0 B. b 0, c 0 C. b 0 , c 0 D. b 0, c 0【解答】解：函数的定义域为x|x c,即 c p 0 ,则 c 0 ,排除A,B,f(0)飞0,得 b 0 ,c故选：C .6.（ 5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的

13、成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.于 139 分钟运动员人数为（）根据系统抽样方法从中抽取7 人，得到抽取比例为丄，1JC034566S8 S914111222334 45 556 5 7 3150122333若将运动员按成绩由好到差编为1 35 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩小A . 4B . 2【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是C. 5D. 3130 , 138 , 139 , 151 , 152 , 153,第8页（共 18 页）5第9页（共 18 页）所以成绩小于 139 的中共有 10 名运动员，抽取人数为 1012 ;5sin7. ( 5 分)右sinco

14、scos1，则 tan2()A.3B2C. 2【解答】解：QSincos1sincos2tan11，可得 tan3 .故选：B.& （ 5 分）若实数 x ,y满足1；： y 1，则2xy 的最大值和最小值分别为（A. 1,1B. 2,2C. 1,2由图可知，当 y 2x z 过 A（1,0）时，截距 z 最大，最大值为 z 2 102 ;当 y 2x z 过 C（ 1,0）时，截距 z 最小，最小值为 z 2 1 02 .2x y 的最大值和最小值分别为2,2.故选：B.1； 剟y 1I 解答】第10页（共 18 页）10.（ 5 分）如图，四棱锥 S ABCD 的底面为正方形， S

15、D 底面 ABCD，则下列结论中不 正确的是（ ）A . A CSBB.ADSCC .平面SAC 平面 SBDD.BDSA【解答】解 :由四棱锥 S ABCD 的底面为正方形，SD底面 ABCD，知在A中，Q SD 底面 ABCD , ACSD ,Q 四棱锥 SABCD 的底面为正方形，ACBD ,Q SD|BD D , AC 平面 SBD ,QSB 平面 SBD , AC SB，故A正确；在B中，Q 四棱锥 S ABCD 的底面为正方形， SD 底面 ABCD ,ADCD,ADSD ,QSD|CDD ,AD平面 SDC ,Q SC平面 SCD ,ADSC,故B正确;uuuruuur9.( 5

16、 分)在四边形 ABCD 中，AC (1,2) , BD（4,2），则该四边形的面积为A .5B. 2 5C. 5D. 10【解答】解：因为在四边形 ABCD 中，AC （1,2） , BDujir uuur(4,2) , ACcBD 0,所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直，又ULUT-2-2|BD| . ( 4)2该四边形的面积：1 ujir uuiu 1| AC |C BD | 5 2 55 .222 5，故选：C .则 c 、5，则焦距为 2c 2 5第11页（共 18 页）在 C 中，QSD 底面 ABCD , AC SD,Q 四棱锥 S ABCD 的底面为正方形，AC BD ,Q

17、 SD|BD D , AC 平面 SBD ,则抛物线的焦点为（2,0）;则双曲线的左顶点为（2,0），即 a 2 ;点（2, 1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为由双曲线的性质，可得 b 1 ；Q AC 平面 SAC ,平面 SAC 平面SBD，故 C 正在D中，以D为原点,DA为x轴，DC 为y轴，DS 为 z 轴，建立空间直角坐标系,设 ABDS b，贝 U D（0，0，0），B(a ,a, 0) , A(a , 0,0)，S(0 , 0，b)，uurDB (a,0)，urSA(a , 0, b),uur ur QDBgSA故D错误.a b4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐

18、标为2px（p 0）的焦点的(2,1），则双曲线的焦距2.5B . 2.3C. 4 3【解答】(2, 1),即点（2, 1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2px 的准线方程为 x12X，BD与 SA 不垂直,0 ,0,b0）的左顶点与抛物线距离为2a236第 11 页(共 18 页)12.( 5 分)已知 ABC 的内角A ,B,C 所对的边分别是a,b,c，且 b 2 , b2Ca2be.若 BC 边上的中线 AD7，则ABC 的外接圆面积为()A.4B.7C.12D.16【解答】解：Qb2c22a bc,cosA b22 2c abc 1,A (0,)2bc 22bcA -.3由D是 BC

19、 的中点，可得UUT1 uu (ABLUITADAC),2iur2i Luui2uuu2ujinUJITAD (AB AC 2ABgAC), 4127 (c 4 2 2ccos-),43化为：c22c 240,解得 c 4 .2242a22 4，解得 a 2 3 .a2打 /口2R4，解得R 2.sin A .sin 32ABC 的外接圆面积R 4 .故选：A.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.(5 分)曲线 y 3lnx 1 在点(1,1)处的切线方程为3x y 20_.【解答】解：由 y 3lnx 1,得 y3,xy |x 13 ,曲线 y 3lnx 1 在

20、点(1,1)处的切线方程为 y 13(x 1)，即 3x y 20 .故答案为：3x y 2 0 .14.(5 分)已知函数 y sin(2x)(| |)的一条对称轴为 x，贝 U 的值是一所以 y1y2y3第13页（共 18 页）【解答】解：Q 函数 y sin（2x)(1 I屮的一条对称轴为 X2(k Z),6(kZ),故答案为:15. （ 5 分）数列an满足 ana82， 贝 U aian11 an a8令 n7 代入上式得，1a81，解彳1a7令 n6 代入得，a71，解得 a61 a6令 n5 代入得，a6-，解得 a5【解答】解：由题意得,a71 ；2 ；35an 1根据以上结果

21、发现，求得结果按2,-21循环,Q8 322，故 a1故答案为:16.( 5 分) 已知抛物线4x 上有三点A,B, C，直线AB,BC , AC 的斜率分别为 3,6, 12,则ABC的重心坐标为（寻【解答】解：设 A（x , y1）,B(x2, y2), C(x3,ys),由y；4x1，两式相减得y24x2(yy2)(y y2)4 任X2),所以直线AB的斜率 kABX1X2里，因为y1y2同理可得：kBCy2y3kACy1y24y2* y3ys,y1第14页（共 18 页）所以 y315 y21%662所以 X3125X21,x1441446因此XX2X335144所以 ABC 的重心坐

22、标（竺,）,43218357故答案为：（曲,上）.43218三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第每个试卷考生都必须作答，第22、23 题为选考题，考生根据要求作答17.（12 分） 已知等差数列a.满足 a a210,a32 .（1 ）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足 b2a3, b3a?.若民 ak，求 k 的值.【解答】解：（1）等差数列a.的公差设为 d , a1a210 , a4a3可得 2a,d 10 , d 2，即 a,4, d 2 , an4 2（n 1） 2n 2 ;（2）等比数列bn的公比设为q, b2a3, b3a7.可得 bq 8

23、, be 16，解得 d 4 , q 2 ,若 b6ak,则 4 32 2k 2，解得 k 63 .18. （12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中，PA底面 ABCD , AD /BC ,PA BC 4 ,M为线段AD上一点，AM 2MD, N 为 PC 的中点（I）证明 MN / /平面PAB;【解答】 证明：（I）取 BC 中点E，连结 EN ,EM,Q N 为 PC 的中点，NE 是 PBC 的中位线17-21 题为必考题,AB AD AC 3 ,第15页(共 18 页)NE /PB ,又 Q AD/BC ,BE/AD ,Q AB AD AC 3, PA BC 4 ,M为线段AD上一

24、点，AM 2MD,1BE BC AM 2,2四边形ABEM是平行四边形，EM /AB , 平面 NEM /平面PAB,Q MN 平面 NEM ,MN / /平面PAB.解：（n）取 AC 中点F，连结 NF,QNF 是 PAC 的中位线，1NF / /PA， NF -PA 2，2又Q PA面 ABCD， NF 面 ABCD，如图，延长 BC 至 G，使得 CG AM，连结 GM，QAM /CG， 四边形 AGCM 是平行四边形，AC MG 3，又 Q ME3 , ECCG2 ,MEG的高 h5 ,SBCM-BC21 h -24525 ,四面体 N BCM 的体积貝 VN BCM1 c一 SBC

25、MNF125 2心33319.(12 分)某地区 2020 年清明节前后 3 天每天下雨的概率为 60%，通过模拟实验的方法 来计算该地区这 3 天中恰好有 2 天下雨的概率：用随机数 x(x N,0 剟 x 9)表示是否下雨： 当 x 0 , m(m Z)时表示该地区下雨，当x m 1 , 9时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得 20 组数如下第16页(共 18 页)332714740945593468491272073445第17页(共 18 页)992772951431169332435 027898719(1)求出m的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3 天中恰好有 2 天下

26、雨的概率；(2)从2011年开始到2019年该地区清明节当天降雨量(单位：mm)如表：(其中降雨量为 0 表示没有下雨)时间2011 年2012 年2013 年2014 年2015 年2016 年2017 年2018 年2019 年年份 t123456789降雨量y292826272523242221经研究表明：从 2011 年开始至 2020 年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份 t 成当 x 0 , m(m Z)时表示该地区下雨，当714, 740, 945,593, 491, 272, 073, 951 , 027 共 9 个,故所求的概率值为P92099(2 )由(tii 1U

27、yy)58 ,(tii 12t) 60 ,计算回归系数58290.97 ,603019又 t -N5,y19y1 22525 ,9i 19i19则 m 5，根据随机数表知该地区清明节前后计算?25 ( 0.97) 529.85 ,线性回归，求回归直线? bt?，并计算如果该地区2020 年(t 10)清明节有降雨的话,n(tit)(yiy)参考公式： i?i 1bn,a? y bt 2(tit)i 197参考数据：(tif)(y y)i 158,(tif)(y y)i 1r)27260，(tit) 52 i 160%，用随机数 x(xN,0 剟X 9)表x m 1 , 9时,3 天中恰好有 2

28、 天下雨的基本事件为:雨量为多少？954，(tii 1【解答】 解：(1)每天下雨的概率为第18页(共 18 页)所以回归直线方程为?0.97t 29.85 ;计算 t 10 时，?0.97 10 29.85 20.15,预测该地区 2020 年(t 10)清明节有降雨的话，降雨量为20.15mm 第19页(共 18 页)20. (12 分)已知函数 f(x) x alnx(a R).(1 )当a 0 时，求函数 f (x)的单调区间；(2 )若 g(x)xeemx ,x (0,)，求证:当m, 1时，g(x)0【解答】解:(1)f (x) a x a1, x0 , a 0 ,xx当 x (0

29、, a)时，f (x)0 , f (x)递减；当 x (a,)时，f (x)0 , f (x)递递增；(2)证明：由 g(x) exmxe, x (0,),当m 0时，g(x)0 显然成立；当0 m, 1时，g(x)0 成立，即 exmxe，即xnm elnx,即x elnxnm,构造函数 h(x) x elnx，根据(1)知，h(x)在(0,e)递减，(e,)递增，h(x)由最小值 h (e) e elne 0 ,故 h(x)-0 ,综上，所以原命题成立.2 221.(12 分)已知椭圆C:笃气1(a b 0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个a b端点构成正三角形.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 设F为椭圆 C 的左焦点，T为直线 x 3 上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆 C 于 点P, Q .1证明：OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点)；2当匹最小时，求点T的坐标.|PQ|c 2【解答】解：(1)依题意有 a 3b2 2 2a b c2 2所以椭圆 C 的标准方程为 1.6 2(2)设T(3,t) ,P(N, yj, Q(X2,y?), PQ 的中点为 N(& ,y。),1证明：由 F( 2,0)，可设直线 PQ 的方程为 x my 2，则 PQ 的斜率 kPQ-.解得b2