人口指数增长模型和Logistic模型

1、根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据如下表，确定人口指数增长模型和Logistic模型中的待定参数，估计出美国2021年的人口，同时画出拟合效果的图形表1美国人口统计数据年份1790180018101820183018401850人口(X106)3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口(X106)31.438.650.262.976.092.0106.5年份193019401950196019701980人口(X106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5提示：指数增长模型：x(t) x

2、0eLogistic 模型： x t xm1% 1 ertXo解：模型一：指数增长模型。Malthus模型的根本假设下，人口的增长率为常数,记为r,记时刻t的人口为x(t),即x(t)为模型的状态变量且初始时刻的人dx口为x°,因为d7”由假设可知x(t) xoert经拟合得到:x(0)Xox(t) XoertIn x(t) In x0 rt y at a2y In x(t),a1 r,a21nx0r a1,x0 ea2程序：t=1790:10:1980;x(t)=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0

3、 106.5 123.2 131.7150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),'r',t,x1,'b')结果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214 x0= 1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为：x(t) x0e0.0214t ,其中x0 = 1.2480e-016输入：t=2021;x0 = 1.2480e-016;x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 5

4、98.3529即在此用英型下到2021年人口大约为598.3529 106 0350300250200150100500 17801800182018401860188019001920194019601980模型二：阻滞增长模型或Logistic模型由于资源、环境等因素对人口增长 的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x的 减函数，如设r(x) r(1 x/xm),其中r为固有增长率(x很小时)，Xm为人dx_x_口容量资源、环境能容纳的最大数量，于是得到如下微分方程：dt rx( 二) x(0) Xo建立函数文件curvefit_fun2.mfunction f

5、=curvefit_fun2 (a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790);在命令文件main.m中调用函数文件curve巾t_fun2.m%定义向量数组x=1790:10:1990;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 .92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4;plot(x,y,'*',x,y); %画点，并且画一直线把各点连起来hold on;a0=0.001,1; % 初值%最重要的函数，第1

6、个参数是函数名一个同名的 m文件定义，第2个参数是初值，第3、4个参数是数据点a=lsqcurvefit('curvefit fun2',a0,x,y);disp('a=' num2str(a); %显示结果%画图检验结果xi=1790:5:2021;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,'r');%预测2021年的数据x1=2021;y1=curvefit_fun2(a,x1)hold off运行结果：a=311.95310.02798178y1 =267.1947其中a(1> a(2汾别表示x txm中的x

7、m和r, y1那么是对美国美1xm 1 ertx0国2021年的人口的估计第二题：问题重述：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓 励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量 的方法。假定鱼池中只有一种鲸鱼，并且得到 8条鱼的如下数据胸围指鱼身的 最大周长：身长(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454胸围(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6问题分析:鲸鱼的体重主要与鱼的身长、胸围有关系。一般来说，鲸鱼的胸围越大

8、，鱼 的体重会越重，身长越长，体重也越重。但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联 系，共同影响鱼的体重。建模的目的是寻求鲸鱼体重与身长、 胸围之间的数量规 律模型假设：1、鲸鱼的身长越长体重越重，体重与身长存在正相关关系；2、鲸鱼的胸围越大体重也越重，体重与胸围存在正相关的关系；3、鲸鱼的胸围、身长互相影响，共同作用鲸鱼的体重；4、鲸鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。符号说明：L鲸鱼的身长C鲸鱼的胸围W鲸鱼的体重模型的建立及求解:一、鲸鱼体重与身长模型确实立为了研究鲸鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLAB软件画出散点图，如下：身长与体重散点图从

9、图形上看，鲸鱼的体重与身长可能是二次函数关系，我们利用多项式拟合的方法，得到：2W 1.6247*L2-59.3124*L +709,7392根据拟合的函数，我们画出拟合图：身长与体重拟合图2000180016001400120010008006004002003032343638404244464850从拟合图上看，大局部原始数据在拟合函数附近，说明用二次函数拟合的效果较好，下面利用得出的函数对鱼的体重进展估计， 用相对误差检验拟合度，得到下表：表一、鲸鱼体重实际值与估计值比照及误差表身长cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量g)4824824546527

10、3776511621389拟合值 g466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相对误 差%3.20.445.73.444.935.753.570.86从表中的数据，我们可以得出鲸鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大， 说明用二次函数拟合鲸鱼身长与体重的关系式可行的。二、鲸鱼体重与胸围的模型确立仅仅考虑鲸鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一一样的方法，先画出鲸鱼体 重与胸围的散点图：利用多项式拟合的方法，我们得从图形上看，鲸鱼体重与胸围可能成线性关系, 到鲸鱼体重与胸围的函数表达式：W 92*0-1497.5(2)根据拟合函数2，画出胸围与体重关系的拟合

11、图：利用拟合函数及实际数据，求出实际值与拟合值得相对误差表:表二、鲸鱼体重实际值与估计值比照及误差表胸围cm21.321.621.622.924.824.827.931.8重量g)48248245465273776511621389拟合值cm462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相对误 差%4.131.607.866.556.392.507.982.81220020020胸围与体重拟合图20001800160014001200100080060040022242628303234363840从鲸鱼胸围与体重的拟合图，及表二中的数据，我们可以得出用线

12、性函数拟 合胸围与体重的关系拟合程度高，鲸鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大， 说明用线性函数拟合鲸鱼身长与体重的关系式可行的。三、建立体重与身长、胸围相互影响的模型实际情况下，鲸鱼的体重不可能只由身长、胸围单方面影响，因此考虑建立 身长、胸围共同作用体重的模型。此模型的建立是基于假设，4，即：鲸鱼的体态用与胸围等周长，与身 长等高的圆柱形来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长C22表示： J.因此可以分析得出W LC .又物体质量等于密度与体积的乘积，因4此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：W LC2,问题转化为对系数的求解。根据数据，利用 MATLAB软件求解,得到：0.03273因此，W 0.0327LC24利用得出的函数对鱼的体重进展估测并列如下