最新双曲线的标准方程推导-解析式求解-教师版

1、精品文档精品文档直利教育2015年寒假名师培优一对一教案双曲线的定义及标准方程1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差：|PF卜|PF2卜2a或|PF2|-|PF； |=2a,即:|PFHPFIF2a， 其中a 0动点的轨迹会发生什么变化呢？ 若MF! MF? =2a =卩店2，则轨迹是线段Ff?的延长线；若MF： - MF! =2a = FT?,则轨迹是线段F2R的延长线； 若RF2I <2|MF MF2|，则无轨迹； 在0 ： 2a ：|F（F21条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线说明通过对椭圆定义的类比， 启发学生思考并发现 2a与F1F2的大小关系与动点的轨迹的变化规

2、律.2、概念形成（1 ）当2a ： 2c时，双曲线（2）当2a = 2c时，射线（3）当2a 2c时，无轨迹双曲线定义定义：平面内到两定点 F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2 ）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点F1, F2叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离| F1F2 |叫做焦距双曲线定义中的注意点在概念的理解中要注意：（1 ）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于F1F2 .（2 ）当| Ph | -PF? |=2a时，动点的轨迹是与F2对应的双曲线的一支，| PF? | - |PF11 = 2a时为双曲线的另一支.1 /V一旷一fv團1 8-123

3、、双曲线的标准方程的推导 可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程.如图8-12建系，设FiF2 =2c，取过点F2的直线为x轴，线段Fi F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则Fj-c,。）、F2（c,0），设M是所求轨迹上的点依已知 条件有 MF!MF2|=±2a ,MF=J(x +c)2 + y2 ,；22i22122-MF2=p(xc) +y，二 J(x+c) + y £(xc) + y = ±2a ,移项得：、(x c)2 y2 =： 2a . (x -c)2 y2 ,平方得：一(a2 - ex) = a. (x - c)2y2(*) 再平方得

4、： (a2 -c2)x2 - a2 y2 二 a2(a2 _ c2),即(c2 _a2 )x2 _ a2y2 二 a2(c2 _ a2)，令 b2 二 c2 _ a2(c b 0)则 b2x2 a2y2 二 a2b2，即b2综上：焦点在x轴上双曲线的标准方程是2 2x7 =1 ，其中 c2 二 a2 b2 (c a - 0),a b焦点 Fc,。)、F2(c,0).说明对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成， 坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理同样如果双曲线的焦点在y轴上（图8- 13），那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1

5、（0，- c）、F2（0 , c）时，a、b的意义同上，那么只要将方程在建立直角a、的x、y互换，就可以得到焦点在 y轴上双曲线的标准方程是2 2 2其中 c =a b (c a 0)，焦点 F(0厂c)、F2(0,c).22y亠2,2ab说明双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程名称椭圆双曲线定义及性质对比图象0/ ”x定义平面内到两定点Fi, F2的距离的和为常数2a (2a a FF2 )的动点 的轨迹叫椭圆即MF1 +

6、MF2| = 2a 当2a > 2c时，轨迹是椭圆，当2a=2c时，轨迹是一条线段F F2|当2 a < 2c时，轨迹不存在平面内到两定点Fi, F2的距离的差的绝对值为常数 2a ( 0 c 2a c F1Fj ) 的动点的轨迹叫双曲线.即MF_, MF2| = 2a当2a <2c时，轨迹是双曲线当2a =2c时，轨迹是两条射线当2a >2c时，轨迹不存在标准 方程2 2焦点在x轴上时：务+当=1 ab(a > b a 0 )2 2焦点在y轴上时：y2 +x2 =i ab(a >b > 0 )注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上2 2焦点在x

7、轴上时：x2 y =1a2 b22 2焦点在y轴上时：y2 x1ab注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数a,b,c的关 系22丄2a =c +b (符合勾股定理的结构)a > c >0,a 最大，可以 c=b，ccb，c>b22丄2c =a +b (符合勾股定理的结构)c a a :>0c最大，可以 a = b，a<b，a>b精题精讲【例1】 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量a,b,c的值.精品文档2=112 2丄"2 22 2 4y2 _9x2 =36 （爲笃=1 ）.3222分析：双曲线标准方程的格式：平方差，x2项的系数是正的

8、，那么焦点在x轴上，x2项的分母是a2 ; y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y2项的分母是a2.解：是双曲线，a 二 2, b 二.2, c 二.6 ；是双曲线,a 二.2,b 二 2,c 二 2 ；是双曲线，a 二、2,b=2,c-6 ；是双曲线，a=3, b=2, c- ,13-【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为片(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到斤(-5,0), F2(5,0)的距离之差的绝对值等于6,求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为2 2务岭=1( a 0, b 0).a b2 2 22a 二 6,2c 二 10a 二 3,c 二

9、 5 b = 5 3 =16-2 2所求双曲线标准方程为 x y 1 +916【例3】 已知双曲线的焦点在 y轴上，中心在原点，且点R(3,4J2) , F2(-,5)，在此双4'曲线上，求双曲线的标准方程 +分析：由于已知焦点在y轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数a,b的一个分式方程组，并且分母的次数是2,解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将a2,b2的倒精品文档精品文档精品文档数作为未知数，直接看作二元一次方程组.解：因为双曲线的焦点在 y轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为则有x2=

10、1(a . 0,b0)L 22ab2=132 土9X2 ，即a25 12 -52(4)12L ab21L a2 a81169 4 =1b2丄一 1 b21 1解关于，当的二元一次方程组，得 a b所以，所求双曲线的标准方程为1 1a22 2 y _ x_ 16 一 9【例4】点A位于双曲线b21(a 0,b 0)上，FF2是它的两个焦点，求 AF1F2的重心G的轨迹方程.分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，禾U用相关点法进行 求解+注意限制条件-解：设 AF1F2的重心G的坐标为(x, y)，则点A的坐标为(3x,3y).因为点A位于双曲线x2(3)22 y_21( a

11、0,b0) 上， 从而2=1(y =0)所以，AF1F2的重心&22 2(3x)(3y)G的轨迹方程为b2x2(a)21(y = 0), 即【例5】 已知B C的底边BC长为12 ,且底边固定，顶点A是动点，使1sin B-si nC si nA，求点 A 的轨迹2分析：首先建立坐标系，由于点 A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可 利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立 xoy坐标系，这时1B( -6,0),C(6,0)，由 sin B-sinC sin A得b c=6,即 | AC | - | AB | = 6.所以，点

12、A的轨迹是以 B( _6,0),C(6,0)为焦点，2 a =6的双曲线的左支”其方程为:点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有 些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂+解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情 况来进行训练的【例6】求下列动圆圆心 M的轨迹方程：(1)与O C( x+2) +y =2 内切，且过点 A (2, 0)2222(2) 与O C: x+(y-1) =1 和O C2:x+(y

13、+1) =4 都外切.(3) 与O C：( x+3) vO M与O C、O C2都外切 |MC=r+1,| MG)= r+2,| MC-| MC=1 点 M的轨迹是以+y2=9 外切，且与O C2：( x-3) 2+y2=1 内切.分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离.如果相切的O C、OC的半径为1、2且1>2,则当它们外切时，|OQ|=r1+2； 当它们内切时，| QQ|= ms解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程解：设动圆M的半径为r(1) vO C与OM内切，点 A在O C外 | MC= r-''2Maf

14、,| M*| M(> J2点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支,且有：a=2 , c=2, b2=c2-a2= 双曲2 2线方程为c22x2-=1( xw -2 )4y2-4x2=1(y> 却 vO M与O C 外切，且与O C2 内切 |MQ=r+3,| MC=r-1,| M-| MC=4点M的轨迹是以C、C2为焦点的双曲线的右支，且有：a=2, c=3, b2=c2-a2=52 2所求双曲线方程为： =1 (x > 2)452 2【例7】已知双曲线 1的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且916|PF| PFa|=32，求/ RPR的大小.分析：一般地，求

15、一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形解：点P在双曲线的左支上|PF|-| PF2|=622 |PF| +| PF2| -2| PF| PF2|=3622 | PF| +| PF| =100 I F1F212=4c2=4(a2+b2)=100/ FiPF=90°评述：(1)巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化(2)题目的“点 P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将 这一条件改为“点 P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索2【例8】已知Fi、F2是双曲线 -y2 =1的两个焦点，点 P在双曲线上且满足/ FiPF4=90°,求厶F1

16、PF2的面积.分析：利用双曲线的定义及 F1PF2中的勾股定理可求 RPR的面积.2解：t P为双曲线-y2 =1上的一个点且R、F2为焦点.4 | PF|-| P別=2 a=4 | F1F2|=2c=2V5 v/ 只卩冃=90° 在 Rt PFF2中 | PF1| 2+| PE| 2=| F1F212=202 2 2v( | PF|-| PE| ) =|PF| +|PF2| -2| PF| PB|=16 20-2| PF| PB|=161-S.F1PF2 = ?IPFI I PI=1由此题可归纳出 | PF1I | PH|=2S“1PF2=b2cot / F1 PF2评述：双曲线定

17、义的应2用在解题中起了关键性的作用综合发展:1已知点F1 (0,-13)、F2 ( 0, 13),动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26,则动点P的轨迹方程为()A.y=0B.y=0(x < -13 或 x > 13)C.x=0(|y| > 13)D.以上都不对【解析】v |PF1|-|PF2|=|F1F2|,. P点的轨迹为分别以F1、F?为端点的两条射线 【答案】C2.在方程mx2 my2=n中，若mnv 0,则方程的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线精品文档2 2【解析】 把方程mx2 my2 =n

18、写成标准方程-=1n nm mcn小n小/ mnv 0, v 0,>0.mm方程表示焦点在 y轴上的双曲线【答案】D3.已知点P (x, y)的坐标满足；(X_1)2(y_1)2l22(x 3) (y 3) _± 4,则动点 P的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对1 ）与（-3,-3 ）的距离为4. 2 >4 , P的轨迹是双曲线.【解析】点（1,【答案】2 2笃 当_1,点A、B在双曲线的右支上，线段 a b点F2, |AB|_m,F1为另一焦点，则 ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+m【解析】/ A、B在双曲线的右支上， IB

19、F11 |BF2|_2a,|AF1| |AF2|_2a, IBF1 |+AF1| (|BF2|+|AF2|)_4a IBF1 |+|AF1|_4a+m ABF1 的周长为 4a+m+m_4a+2m.【答案】B4已知双曲线的方程为AB经过双曲线的右焦D.2a+4m5已知双曲线的焦距为a-_25,则双曲线的标准方程是（c 13A.x-y _1B.lx12516925169222222xyxyyxC.1D._1或1251442514425144)26,132 22 22【解析】/ 2c_26, _ c2513精品文档 c= 13, a2= 25. b2_13225_144.双曲线的标准方程为2514

20、4 _1 或2 2 X25144 _j【答案】D6.F1、F2为双曲线2X -y _41的两个焦点，点P在双曲线上，且/ F1PF2=90 ° ,则厶F1PF2的面积是（A.2【解析】双曲线B.42 -y2_ 1的两个焦点是4C.8D.16F1(0, 5 )、F2(0,5),即丨 PFi | 2+ | PF2 I 2=20| PFi |-| PF2 I = ±2,I PFi | | PF2 I =4.I PFi | 2-2 | PF2I PFi | + | PF2 I 2=4一得 2 | PFi | | PF2 I =16,【答案】B7双曲线的焦点在 y轴上，且它的一个焦点

21、在直线5x 2y+20=0上，两焦点关于原点对称,C =5，则此双曲线的方程是（）a 32xA.3622x yB.=i64362xC.362642xD.64236【解析】 在方程5x 2y+20=0中，令x=0得：y=iO,双曲线的一个焦点在直线5x 2y+20=0上又在y轴上，且两焦点关于原点对称, c=i0,c 5222, a=6, b =c a =i00 36=64.a 32222双曲线的方程为=1，即=1.36 6464 36【答案】D18.已知 ABC中，B、C是两个定点，并且si nB-si nC= si nA ,则顶点A的轨迹方程是（）2A.双曲线B.椭圆C.双曲线的一部分D.椭

22、圆的一部分1【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=|BC|. v B、C为定点， |BC|为常数.2点A的轨迹是双曲线的一部分.【答案】C9. 双曲线2x2 y2=k的焦距是6,求k的值.2 2【解】把双曲线的方程写成标准形式，=i.k k2当 k > 0 时，a2=k,b2=k,由题知+k=9 即 k=6.2 2kk当 kv 0 时，a = k,b = , k=9 即 k= 622综上所述k= ± 6为所求.2 210. 过双曲线-=i的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离i44252 2【解】双曲线方程为- J=ii4425 c= Ji44 +25=i

23、3,于是焦点Fi ( i3, 0)、F2 (i3, 0),设过点Fi的垂直于x轴的直.y2132线I交双曲线于 A( 13,y)(y>0).-1=竺，二尸竺，即AFiF2525144144121225313又T |AF2 |AFi|=2a=24,. |AF2|=24+|AFi|=24+12 =p故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为竺 或 竺12 1211. 一双曲线中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A(-2和'7，-3)、(7，6丁2)，求双曲线的方程【解】当双曲线的焦点在 x轴上时，设双曲线的方程为 mx2-ny2=1(m>0,n>0)，则由题知和(一277)2 -

24、n(3)2 =1,m 72 - n(6T2)2 =1,"28m - 9 n = 1, j49m - 72n =1.解之得1m =,15n.752 2双曲线的方程为 -=1.2575当双曲线的焦点在 y轴上时，设双曲线的方程为py2-qx2=1(p>0,q>0)，则此方程组的解使p、q都为负值，故应舍去p(-3)2 -q(-2、.7)2 =1, p(6、2)2 -q 72 =1,2 2综上所述，所求双曲线的方程为=1.257512.已知曲线C： x2 y2= 1及直线I: y=kx 1.(1)若I与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；若I与C交于A、B两点，0是坐标原点

25、，且 AOB的面积为、. 2，求实数k的值.【解】(1)由丿2 2 .x-y曰消畀=kx _1y,得(1 k2)x2+ 2kx 2= 0由)"A= 4k2 +8(1 _k2) >0得k的取值范围为(一2 , 1 )U ( 1, 1 )U( 1,2 )(2)设 A (xi, yi), B (X2, y2),由(1)得 Xi+ X2= 2k1 -k2XiX2= 21 -k2又I过点D(0, 1)I S OAB = S OAD +111S OBD = I X1 | + | X2 | = | X1 X2 |22(冯X2)2=( 22 ) 2即(忌)2+ 炸=8/ k= 0 或 k= ±13.已知双曲线2 2Xy =1 , P为双曲线上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，并且/2