竞赛讲座13平面三角

1、竞赛讲座13平面三角三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一一、三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等这里以单调性为最难它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。由2k-2x+2k+，kZ，得k-xk-，kZ。即原函数的单调增区间为：k-，k-（kZ）。【例2】 若（0，），比较sin(cos)，cos(sin)，cos这三者之间的大小。解

2、：在（0，）中，sinx<x<tgx，而0<cosx<1<，sin(cos)< cos。在（0，）中，y=cosx单调递减，cos< cos(sin)。sin(cos)< cos< cos(sin)。【例3】 已知x,y-，aR，且。求cos(x+2y)的值。解：原方程组化为。x,-2y-，函数f(t)=t3+sint在-，上单调递增，且f(x)=f(-2y)x=2y，cos(x+2y)=1。【例4】求证：在区间（0，）内存在唯一的两个数c、d(cd)，使得 sin（cosc） c， cos（sind） d证明：考虑函数f（x）cos（si

3、nx）x，在区间0，内是单调递减的，并且连续，由于f（0）cos（sin0）0=1>0，f（）cos（sin）= cos 1<0，存在唯一的d（0，），使f（d）0，即cos（sind） d对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind）=sin d，sin（cosc）=c。显然c（0，）。且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。故存在唯一的cd，使命题成立。【例5】、（0，），且ctg=，sin(ctg)=，ctg(sin)=。比较、的大小。解：、（0，），ctg>0，0< sin<<。=sin(ctg)< ct

4、g，=ctg(sin)> ctg。作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：<<。【例6】 nN，n2，求证：cos·cos· ··· ·cos>。证明：0<<<···<<<1，0<sin<，cos2=1-sin2>1-=，k=2，3，n。(cos·cos· ··· ·cos)2>(·)·(·)·(·)

5、83;··(·)=·>>()2，cos·cos· ··· ·cos>。二、三角恒等变换众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。【例1】（1）已知cos= -，sin(+)= ，且0<<<<，求sin的值。（2）已知sin(-)= ，求的值。提示：（1）sin=。（2）sin2=1-2 sin2(-)=；=。【说明】

6、三角变换重在角的变换。【例2】求coscoscoscos的值。解法1：利用公式coscos2cos4···cos2n=，得coscoscoscos= -，coscoscoscos=。又coscos=，cos=，coscoscoscos=××=。解法2：coscoscoscos=··· ··· ·=。解法3：利用公式coscos(+)cos(-)= cos3，取=、。【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。解：由倍角公式得co

7、s4=()2= (1+2cos2+cos22)= +cos2+cos4，cos420°+cos440°+cos480°= ×3+(cos40°+ cos80°+ cos160°)+(cos80°+ cos160°+ cos320°)= +(cos40°+ cos80°+ cos160°)= +(2cos60° cos20°- cos20°)= 。【例4】若sin+cos=，cos+sin=，求sincos的值。解：令=-，则(1)

8、47;(2)得tg=， cos(+)=，sincos=sinsin= - cos(+)+ cos(-) = -。【例5】已知f(x)=sin(x+)+cos(x-)是偶函数，0<<，求。解法一：由偶函数的定义，可得(cos+sin)sinx=0对任意xR成立。cos+sin=0，2 sin(+)=0，+=k，而0<<，=。解法二：由f(-)=f()，得=，然后验证f(x)是偶函数。【例7】方程sinx+cosx+a=0在（0，2）内有相异两根、，求实数a的取值范围，以及+的值。解：sinx+cosx+a=0，sin (x+)= -。令t= x+，则t(，)，sint=

9、-。作出函数y= sint，t(,)的图象：由图象可以看出：当-1< -<1且-即-2<a<-或-<a<2时，sint= -有相异两根t1、t2，原方程有相异两根、，并且当-2<a<-时，t1+t2=(+)+(+)=，+=；当-<a<2时，t1+t2=(+)+(+)=3，+=。【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。解：由已知得，(1)2+(2)2得cos(x-y)= -，同理，cos(y-z)= -，cos(z-x)= -。x，y，z中任意两角的终边夹角为，不妨设x=y+2m,mZ，y=z+2n,nZ，x= z+2(m+n)，x+y+z= 3z+2(m+2n+1)，s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz= tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz= tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz= tg3z+ tgz tg(+z)tg(-z)=0。【说明】如能熟练