2019-2020年高二数学：课时达标训练(十三)

1、课时达标训练（十三）数列求和（习题课） 即时达标对点练 题组 1 分组转化求和 1 已知数列an的通项公式为 an= 2n+ n，前 n 项和为 S“，则 S&等于（ ） A 282 B 147 C 45 D 70 解析：选 B / an= 2n + n, Sn= ai + a2 + a3 + + an =（21 + 22+ 23+ + 2n）+ （1 + 2+ 3+ + n） 2 (1-2n) 1 2 2 .已知数列Cn : 11, 21, 31,- 2 4 8 解：令cn的前 n 项和为 Sn，则 1 1 1 1 n n (n+ 1) 1+4+ 8+ 2 = 2 + 一 “ .一

2、n2+ n _ 即数列Cn的前 n 项和 Sn= 2 + 1 题组 2 错位相减法求和 3数列n 2n的前 n 项和（ A n 2n 2n + 2 C n 2n+1 2n ) B. n 2n+1 2n+1+ 2 n + 1 1 D n 2 2 解析：选 B Sn= 1X 2+ 2 X 22 + 3 X 23+ n X 2n, 2Sn= 1 X 22+ 2X 23+ + (n 1)X 2n+ nX 2n+1. 由一得 Sn= nX 2n+1 (2 + 22+ 23+ + 2n) =nX 2n +1 2 2 X 2 = n2n+1 2n+1 + 2. 1 2=2n + 1 2 + n (n+ 1)

3、 2 S6= 27 2+ 6X 7 2 147. 1 - 2 A 11 B. 99 C 120 D 121 解析：选 C T an= - 1 1 =寸 n + 1 /n. 诉+彳 n+ 1 4求数列 1, 3a, 5a2, 7a3,，( (2n 1)an1 的前 n 项和. 解：( (1)当 a= 0 时，Sn= 1. (2)当 a = 1 时，数列变为 1, 3, 5, 7,，(2n 1), n1 +( 2n 1) 2 Sn= = n . 2 3 Sn = 1 + 3a + 5a + 7 a + + (2n 1)an二 2 3 4 aSn= a + 3a + 5a + 7a + + (2n

4、1) an, 得 Sn aSn= 1 + 2a+ 2a + 2a + 2a (2n 1) a , (1 a)Sn = 1 (2n 1)an+ 2(a + a2+ a3+ a4+ + an 1) n a ( 1 a ) =1 (2n 1)an+ 2 1 a 2 (a an) n 、 =1 (2n 1)a + Sn= / 、 n “ n、 1 ( 2n 1) a 2 (a a ) + (1 a) (a= 0), 综上，Sn = ,1 (a= 1), z 、 n z n、 (2n 1) a 2 (a a ) + 2 (a 工 0,且 a 工 1). (1 ) 2 题组 3 裂项相消法求和 5数列an

5、的通项公式 an = 1 Jn+ n+1 ，若前 n 项的和为 10,则项数 n 为( (3)当 a 工 1 且 a 老时，有 Sn = a1 + a2 + + an= (：2 1) + ( ( 3 . 2) + ( ( J J4 才 3) + + ( n + 1 n) = 1 + 7.已知 Sn 为数列an的前 n 项和，若 an(4 + cosnn) n(2 cosnn)贝 U S20=( ) A. 31 B. 122 C. 324 D. 484 解析：选 B -an(4 + cosn n = n(2 cosn n ) 当 n= 2k 1(k6*)时，an= n; 20 5 +1. 由一

6、1+“ n+ 1= 10,得- n + 1 = 11,即 n= 120. 1 2 n 6.在数列an中, an= n +市+而，且 2 bn=L+?求数列bn的前n 项的和. 解：an=(1 + 2+- + n) = 2，vbn=- n + 1 an an+1 ,-bn = 1 _J_) Ln n+ 1 ;， f * 当 n= 2k(k N )时, an = 数列 bn的前 n 项8n n+ 1 题组 4 奇偶并项求和 5*an= n 为奇数， 2 2 解得 ai = 1，所以 an= 1+ (n 1)x 2= 2n 1. 故 a1a2 + a2a3+ a3a4+ + a“an+1 = 23

7、+ 21 + 2-1 + 2- 3+ + 25-如 2.已知数列an的前 n 项和为 Sn= 1 5+ 9- “3+ 17-2“ + ( 1) )n 1(4n- 3)，则 S15bn = (- 1)- n 1 4 n n 1 =(-1)- anan+1 亠+亠 2n- 1 2n+ 1 为偶数时, 1 1 + 2n 3 2n 1 (1 1 + 0n- 1 2n+ 1 =1-匚 2n+ 1 2n 2n+ 1 为奇数时, Tn = ” 1 + 1 2n- 1 2n+ 1 =1+亠 2n+ 1 2n+ 2 2n+ 1 , n 为偶数, 2n + 1 所以 Tn = 2n + 2 ,n 为奇数. 2n

8、+ 1 能力提升综合练 1 已知an是等比数列, a2= 2, 1 a5=4，则 a1a2+ 臥+十叭+ 1=() ) -n A. 16(1 - 4 -n B. 16(1 - 2 ) C. 32 - n 2(1-4) ) 乎(1- 2-n) 解析：选 C _ 1 a2 = q = 1， -an an + 1 = 4 -1 4 =25 2n =哼=加 4 - 1-1 1 - 1 + a4= 4，贝 U |a1|+ |a21+ |a3| + + |an|= + S22 S31 的值是（ ） A. 13 B. 76 C . 46 D . 76 解析：选 B S15= 4X 7+ a15= 28+ 5

9、7 = 29, S22= 4 X 11 = 44, S31 = 4 X 15 + a31 = 4 X 15 + 121 = 61, S15+ S22 S31 = 29 44 61 = 76. 3.在数列an中，a1 = 2 , an+ 1 = an+ ln 1 + 匚匚，则 an 等于( ( ) ) A. 2+ ln n C. 2+ nln n B. 2 + (n 1)ln n D. 1 + n+ ln n 解析：选 C a*+1 = an+ ln 1 + n , an+1 an = ln n + 1 ln = ln(n+ 1) ln n. n 又 a1= 2, an= a1 +( (32 a

10、“+ (a3 a2) )+ (a4 a3) )+ + (an an 1) = 2+ ln 2 ln 1+ ln 3 ln 2 + ln 4 ln 3 + ln n ln(n 1) = 2+ ln n ln 1 = 2+ ln n. 2 4 6 2n 4.数列 2，尹 f，歹，的前 n 项和为 _ 2 4 6 2n 解析：设 Sn = +尹+歹+ +迁， 2 4 6 2n 野=尹尹尹+尹， 一得 + 22 23 22 22 1 2n n+2 2产尹./Sn= 4F - 2-n2 答案：4 n+ 2 2n 解析： an为等比数列，且 1 a1 = 2, a4= 4,/q3 2 2 (1) 求数列a

11、n的通项公式； (2) 设 bn= 2n an，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解：( (1)在等差数列an中，由 ai + a2 + a3= 3a2= 9,得，a2= ai + d= 3. 又由 a2+ a4+ a6= 3a4= 21,得 a4 = ai+ 3d= 7, 联立解得 ai= 1, d= 2, 则数列an的通项公式为 an= 2n 1. / bn= 2nan= (2n 1) 2n, Sn= 1 2+ 3 22+ 5 23+ (2n 1) 2n， 2Sn= 1 22+ 3 23+ 5 24+ + (2n 3) 2n+ (2n 1) 2n+ 二 一得 Sn= 2+ 2(22 + 2

12、3 + + 2n) (2n 1) 2n +1, ./ 丄 *n 1、 8 (1 2 ) n1 n1 得 Sn= 2 + (2n 1) 2n+1= 6 + (2n 3) 2n+1 1 2 1 * 7.在数列an中，a1= 2， 2an= an-1 n 1(n2, n N )，设 bn= an+ n. (1) 证明：数列bn是等比数列； (2) 求数列nbn的前 n 项和 Tn； 若 cn= 2 n an, Pn为数列1的前 n 项和，求不超过 P? 018的最大的整数. 解：( (1)证明：由 2an = an 1 n 1 两边加 2n 得， 2(an+ n)=為1+ n 1, 1 1 所以 a

13、n+ n = an1+ (n 1)，即 bn = _bn 1. 因为 b1 = a1+ 1 = 1 + 1 = 2,所以数列bn是首项、公比均为 殳的等比数列，所以 bn = n. i1 n n (2)nbn = n ”2 丿=2n. Tn= 2+ *+*+ p+ 寺+ + n n， 2Tn=寺+承+ 24+25+宁+卢 由得 an = 一 n，所以 Cn= n. 2 丄 2 丄 Cn + Cn+ 1 n + n+ 1 1 1 1 =1 + - = 1 + _ - n n + 1 n n + 1 所以不超过 P2 018的最大的整数是 2 018.2 4 1111 1 得 qTn= 2+尹+于

14、+尹 n _ 1 1 n 2n+1 2n 2n + 1， 所以 n+ 2 Tn= 2 -2. 2 Cn+ Cn 018 = 1+1-1 1+2 21 +1+1 -1+1+ =2 019 2 018 2 019 2 019 -a1 = 1 , a2= 5 , a3 = 2 3 ,冋=5， a5= 5, S20= (1 + 3+ + 19) + 10X 1 + 19 1 10X 2+ 20 = + = 122.故选 B. 2 5 2 8.已知等差数列an的公差为 2,前 n 项和为Sn,且 S , S2, S4成等比数列. (1) 求数列an的通项公式； (2) 令 bn= ( 1)n 1 4n ，求数列bn的前 n 项和Tn. anan+1 解： 等差数列an的公差为 2,贝 V S1= a1, S2= 2a