2019-2020学年河北省张家口市高三(上)期末数学试卷(文科)

1、第 1页（共 17页） 2019-2020学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷（文科） 、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1. (5 分)已知集合 A x Z| 5 剟 x 1，集合 B 2 , 1 , 0, 1 , 2，则集合 A| B ( ) A . 5 , 4, 0, 1 B. 2 , 1, 0, 1 , 2 C. 2 , 1 , 0, 1 D . 2 , 1 , 0 11 2 i 5 5 的是（ A . 12 B . 16 C 18 D 20 （5 分）已知函数 f (x) 2sin x ax 1 的

2、图象在点 （0,1） 处的切线方程为 y x 1，则 A . 0 B. 1 C . 1 D . 2 log1 x 1,x 0 （5 分）已知偶函f(x) 2 ，则 g( 4)( ) g(x) 2,x 0 A . 1 B . 2 C . 1 D . 2 （5 分）在下列四个函数，y sin | x | y | cos2x | y 2sin(2 x ) y 2tan( x 3 最小正周期为 的所有函数为（ ) A . B . C D 矩形 ABCD 中，AB 2 , AD E为 DC 的中点，则 (5 分) ) 4 , 4. ) 5. 6. n是空间中两条不同的直线, 7. ( 5 分)设 m ,

3、 中, a ( 兀） , 是两个不同的平面，下列命题中正确 2. （5 分）已知 i 是虚数单位, z z是复数 z 的共轭复数，复数 z 满足（1 2i）z 3 4i，则复数 2. i 5 iuur uuu AEg3C ( 3. 第 2页（共 17页） 若 m/ /n , ，贝 U m/ B .若 / , m n ，贝 U m/n & （ 5 分）现有A , 同学猜测谁跑了第一,n ，则 m n D .若 m , m / /n , n/ ，则 C , D , E , F六名百米运动员参加比赛，甲、 乙、丙、丁四名 甲猜不是 C 就是E ；乙猜不是F ；丙猜不是B ,C , D中任一个

4、: 第 3页（共 17页） 丁猜是A, B , D中之若四名同学中只有一名同学猜对，则猜对的是 9. （ 5 分）某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益 5% .该家庭 2020 年 1 月 1 日投 人 10 万元，按照复利（复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加人本金，以计算 F 期的利息）计算，到 2030 年 1 月 1 日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为 （ ） 参考数据：1.058 1.48 , 1.059 1.55 , 1.0510 1.63, 1.057 1.71 A . 14.8 万 B . 15.5 万 C. 16.3 万 D . 17.1 万 2 2 10

5、. （5 分）椭圆C：q y 1与抛物线 y2 4x在第一象限相交于点 P , F , F2为椭圆 C a a 1 的左、右焦点.若| PF2 | 2，则椭圆 C 的离心率是（ ） 、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） y x, 2 13. （5 分）已知实数x , y满足条件 3y x3，则 z 2x 3y 的最小值为 _ |x|, 1 14. （5 分）我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏 季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、 夏、秋、冬四个季节的彩绘，每位同学绘制两个季节，则甲同学绘制春、

6、夏两个季节的概率 为 . 15. _ （5 分） ABC 中，si nA , si nB , si nC 若成等差数列，并且 2a 3b 3c ,贝 U ABC 的 三个内角中，最大的角的大小为 . 16. （5 分）四面体 ABCD 中，BC CD BD 2 2 , AB AD 2, AC 2 3，则四面体 ABCD 外接球的表面积为 _ A 甲 B .乙 C.丙 D .丁 1 A B . 2 2 11.( 5分） 已知锐角 满足 3cos2 1 sin2 A . 2 5 B .亠 5 5 2 2 12.( 5分） 已知双曲线 C : X y C : 1( 0, a b 圆a与圆： 2 2

7、2 :x y a 2 b相交于点 J , K . ) 1 Ay -x B. y x 2 C.卫 4 D. . 2 1，则 cos ( ) C. D. 5 5 0），点 B（0,2b）, O 为原点，以 OB 为直径的 若|JK | |OB |，则双曲线 C 的渐近线方程为（ C. y 2x D. y 3x 第 4页(共 17页) 三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17. ( 12 分)随着我国人民生活水平的提高，居民家庭教育投资观念不断加强，从整个社会 到单个居民家庭都非常重视教育投人. 为了了解单个居民家庭教育投入占家庭收入的百分比,

8、 现对某小区 200 户人家进行了调查，得到的频率分布直方图如图: 频率 (H) 估计教育投人占家庭收人的百分比的平均数. 2 * 18. (12 分)已知数列a.的各项均为正数，且 an (2n 3)an 4n 2 0(n N )，正项等 比数列bn的前n项和为 S，且 b1 2 , SB as 1. (I) 求数列an , bn的通项公式； 1 1 (n)若 Tn为数列 的前n项和，求 Tn . a an a an 1 b bn 19. ( 12 分)四棱柱 ABCD ABC D 的底面是菱形，AA 平面 ABCD , AB 2 , BAD 60 , 点P是侧棱 CC上的点AP PB .

9、(I)证明：AP 平面PBD ; (n)若P是 CC 的中点，求四棱锥 P ADDA的体积. 1 20. (12 分)已知动点P到点 F(1,0)的距离与它到直线 l:x 4 的距离 d 的比值为-，设动点 2 第 5页(共 17页) P形成的轨迹为曲线 C. (I)求曲线 C 的方程； (H) 过点 F(1,0)的直线与曲线 C 交于A , B两点，过A点作 AA I，垂足为 A,，过B点 作 BB I，垂足为 B,，求的取值范围. IBB | x 21. (12 分)已知函数 f(x) (x 1)e x 1(e 是自然对数的底数).证明： (I) f (x)存在唯一的极值点； (n) f

10、(x) 0 有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数. 请考生从第 22、23 题中任选-题作答如果多做，则按所做的第一题计分 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目的题号涂黑 4 43 x 4 t 22. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 G 的参数方程为 2 2 (t 为参数)以坐 1 标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 2 2 .5 3cos2 (I)在曲线 G 上任取一点 Q，连接 0Q，在射线 0Q 上取一点P，使| OP 0Q | 4，求P 点轨迹的极坐标方程； (n)在曲线 C1上任取一点 M，在曲线 C2 .上任取一点 N，

11、求|MN |的最小值. 23. 已知函数 f(x) |x 2| |x t|(t 0)的最小值为 2. (I)求不等式 f(x) |x t|8 的解集； 5 (n)若 2a2 3b3 5c2 t，求 2ac 3bc 的最大值. 2第 6页（共 17页） 2019-2020学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1. (5 分)已知集合 A x Z| 5 剟 x 1，集合 B 2 , 1 , 0, 1 , 2，则集合 A| B ( ) A . 5 , 4

12、, 0, 1 B. 2 , 1, 0, 1 , 2 C. 2 , 1 , 0, 1 D . 2 , 1 , 0 【解答】解：Q 集合 A x Z | 5 剟 x 1 5, 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1, 集合 B 2, 1, 0 , 1, 2, 集合 AI B 2 , 1 , 0 , 1. 故选：C . 2. (5 分)已知 i 是虚数单位，z 是复数 z 的共轭复数，复数 z 满足(1 2i)z 3 4i ,贝愎数 z 为( ) 11 2 11 2 11 2 11 2 A . -i B. i C i D - 5 5 5 5 5 5 5 5 【解答】 解: 由(1 2i)z 3

13、4i，得 z 3 4i (3 4i)(1 2i) 11 2 i , 1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 _ 11 2 z i . 5 5 故选：D . iuur uuu 3. (5 分)矩形 ABCD 中，AB 2 , AD 4 , E 为 DC 的中点，贝 U AEgBC ( ) A . 12 B . 16 C. 18 D. 20 【解答】解：如图, Q E为 DC 的中点， UUUUU UJIUJU AE AD DE BC DE ， 且 DE BC , BC AD 4, LUUULT ULUT ULLT UULT UUU AEgBC (BC DE)gBC BC 1 故选：B .第

14、7页（共 17页） 4. ( 5 分)已知函数 f(x) 2si nx ax 1 的图象在点(0,1)处的切线方程为 y x 1，则 a ( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 【解答】解：由 f (x) 2sin x ax 1，得 f (x) 2cos x a , Q 函数 f(x) 2sinx ax 1 的图象在点(0,1)处的切线方程为 y x 1， f (0) 2cos0 a 2 a 1，解得 a 1 . 故选：B . log1 x 1,x 0 5. (5 分)已知偶函数 f(x) 2 ，则 g( 4)( ) g(x) 2,x 0 A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 【解答

15、】解：Q f(x)是偶函数， 设 x 0 , x 0 , f( x) f(x), log x) 1 g(x) 2 , 2 g(x) log! ( x) 3 , 2 g( 4) log4 3 1 . 2 故选：A. 中，最小正周期为 的所有函数为（ ） 【解答】解：y sin |x|的偶函数，不具备周期，不满足条件 6. （5 分）在下列四个函数, 2sin(2x -) y 3 2tan( x ) 10 A . B . C. D. 第 8页（共 17页） y |cos2x|的周期是 3 ,不满足条件. y 2sin(2 x -)的周期 T 3 ，满足条件. 第 9页（共 17页） y y 2 2

16、丽 x命）的周期是T T ，满足条件, 故选：D . 的是（ 故选：D . 丁猜是A, B , D中之若四名同学中只有一名同学猜对，则猜对的是 （ A .甲 B .乙 C.丙 D .丁 【解答】 解：若甲的猜测是对的，即第一名在 C 与E中产生，其他人猜测都是错误，则乙 的猜测是错误的，即得到第一名是 F ,矛盾，故甲的猜测是错误的； 若乙的猜测是正确的，则第一名在 A , B, C , D, E中产生，则丙的猜测是错误的， 即得到第一名是 B, C , D中的一个；丁的猜测是错误的，即得到第一名不是 A, B , D 中的一个，故第一名一定是 C，而甲的猜测也是错误的，即得到的第一名不可能是

17、 C，故 矛盾，故乙的猜测是错误的； 若丙的猜测是正确的，即第一名不是 B, C , D中任一个，是 A , E, F中的一个，因 为甲的猜测是错误的，故第一名不是 C , E，则是A , F中的一个，因为乙的猜测是错误 的，即得到第一名是 F，故得到第一名一定是 F ,这时也满足丁的猜测是错误的，故正确 答案是丙； 若丁的猜测是正确的，即第一名是 A, B , D中之一，则乙的猜测是错误的，即得到第 名是F，矛盾. 故选：C .7. ( 5 分)设 m , n是空间中两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确 若 m/ /n， 【解答】解: B .若 II C .若 D .右 n ，

18、则 m/ B .若 / / , m m ,n ，贝 U m n D .若 m , m / /n .右 m / /n , n ，则 m/ 或m ，因此不正确; m ,n ，则 m/n或为异面直线，因此正确； m ,n ，则m与n不 疋垂直，因此不止确； m/ /n, n/ ，贝 U ，因此正确. & （ 5 分）现有 D , E , F六名百米运动员参加比赛，甲、 乙丙、丁四名 同学猜测谁跑了第一甲猜不是 C 就是E ;乙猜不是F ;丙猜不是B , C ,D中任一个: n/ ，则 n ，贝 U m/In 5 5 第 10页（共 17页） 9. （ 5 分）某家庭决定要进行一项投资活动，预

19、计每年收益 5% .该家庭 2020 年 1 月 1 日投 人 10 万元，按照复利（复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加人本金，以计算 下期的利息）计算，到 2030 年 1 月 1 日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为 （ ） 8 9 10 1.05 1.48 , 1.05 1.55 , 1.05 A . 14.8 万 B . 15.5 万 C. 16.3 万 D . 17.1 万 【解答】解：由题意，可知 该家庭 2021 年 1 月 1 日本金加收益和为 10 5%） 10 1.05 ; 2 2022 年 1 月 1 日本金加收益和为 10 1.05 ; 3 2023 年

20、1 月 1 日本金加收益和为 10 1.05 ; g g g 10 2030 年 1 月 1 日本金加收益和为 10 1.05 10 1.63 16.3 . 到 2030 年 1 月 1 日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为 16.3 万元. 故选：C . 2 y 1与抛物线 y2 4x在第一象限相交于点 P , R , F2为椭圆 C a 1 圆 C 的左、右焦点. |PF2 | 2，则 P(1,2), 所以椭圆的离心率为: 故选：D . 参考数据: 7 1.63, 1.05 1.71 x2 10. (5 分)椭圆C:飞 a 的左、右焦点.若 【解答】解：椭圆 2 x C：T a 2，则

21、椭圆 C 的离心率是（ ） B .虫 4x在第一象限相交于点 P , F , F2为椭 可得椭F2(1,0), 所以 A #- a a 1 解得 3 2 2，所以 2 1，因为 a 1 所以 a 5 5 第 11页（共 17页） 【解答】解：Q 3cos2 1 sin211. （5 分）已知锐角 八 2 5 A . 满足 3cos2 1 si n2 ，则 cos ( 19 5 第 12页（共 17页） 2 2 2 3(cos sin ) (cos sin ), 3(cos sin )(cos 2 sin ) (cos sin ), Q 为锐角，可得 cos sin 0, 3(cos sin )

22、 cos 1 sinsin ，可得 cos 2sincos 2sin ，即 tantan 2 2， cos 1 1 tan2 12. (5 分) 2 2 已知双曲线C: x2 爲1(a a b 0,b 0），点 B（0,2b）, O 为原点，以 OB 为直径的 圆a与圆 2 b 相交于点 J , K .若|JK | |OB |，则双曲线 C 的渐近线方程为（ C. y 2x D. y 一 3x 【解答】解：由题意, 可知 圆a方程为：x2 （y 2 2 b) b . QOB 为圆a的直径，而 |JK| |OB| 2b . JK 也是圆a的直径. 圆方程为：x2 y2 a2 b2. 根据两圆的对

23、称性可知 JK OB . 根据题意画图如下: a2 b2 . 根据勾股定理，可得 2b2 a2 b2 . 故 a2 b2 .即 a b . 双曲线 C 的渐近线方程为 y -X x . a 故选：B . 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） y x, 2 13.（ 5 分）已知实数x，y满足条件 3y x3，则 z 2x 3y 的最小值为 0 |x|, 1 y x, 2 【解答】解：实数x , y满足条件 3y x3 的可行域，如图所示: |x|, 1 2 三个顶点坐标为 A（ I,”、B（ 1,1）, 2 将 A（ 1,-）、代入 z 2x 3y 得到最小值为： 2

24、 2 0 . 3 14. （ 5 分）我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏 季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、 夏、秋、冬四个季节的彩绘，每位同学绘制两个季节，则甲同学绘制春、夏两个季节的概率 【解答】解：某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、夏、秋、冬四个季节的彩绘, 每位同学绘制两个季节，第 14页（共 17页） 故答案为：1 6 ABCD 外接球的表面积为_12 【解答】解：由题意将此四面体放在正方体中，如图所示：设正方体的棱长为 可得 a 2，设正方体的外接球的半径为 R，则（2R）2 3 22 12 , 所以

25、外接球的表面积 S 4 R2 12 , 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. （12 分）随着我国人民生活水平的提高，居民家庭教育投资观念不断加强，从整个社会 到单个居民家庭都非常重视教育投人. 为了了解单个居民家庭教育投入占家庭收入的百分比, 现对某小区 200 户人家进行了调查，得到的频率分布直方图如图： 基本事件总数 n _ 2 2 C4C2 6 , 则甲同学绘制春、 夏两个季节的概率 15. （5 分） ABC 中，si nA , sin B , sin C 若成等差数列，并且 2a 3b 3c，贝 U ABC 的 三个内角

26、中，最大的角的大小为 120 【解答】解: Q si nA , sin B , sinC 成等差数列， 2si n B si nA si nC , 2b a c , 又 Q 2a 3b 3c, a |c , b 2 cosC 5 7c c， b2 c2 2ab c 边最长，角 C 最大， 角 C 为 1200, 故答案为：1200 . 16. （5 分）四面体 ABCD 中，BC CD BD 2.2 , AB AD 2, AC 2.3 , 则四面体 则由题意 第 11页（共 17页）第 16页（共 17页） （I）求教育投人占家庭收入的百分比在 20% , 30%）的户数； （H）估计教育投人

27、占家庭收人的百分比的平均数. 【解答】解：（l）20a 1 0.05 0.4 0.1 0.05，解得 a 0.02， 故教育投入占家庭收人的百分比在 20%，30%）的户数有 10 0.02 200 40 （户）. an 2n 1(an 2 舍去)， as 1 14 2(1 (II)Q15 0.05 25 0.2 35 0.4 45 0.2 55 0.1 65 0.05 37.5 所以估计教育投入占家庭收人的百分比的平均数为 37.5% . 18. （12 分）已知数列an的各项均为正数，且 2 an (2n 3)an 4n 2 正项等 比数列bn的前n项和为 Sn，且 b1 2 , S3 a

28、s （I）求数列an , bn的通项公式; （n）若 Tn为数列 1 1 a an a an 1 b bn 的前n项和, Tn . 【解答】解：（I）由 a： 3)an 4n 0 0，得aan (2n 1)(an 2) 频率 60 , 第 17页(共 17页) 解得 q 2(q 3舍去） ， bn 2n ； a ana an 1 1 bn (2n 1)(2n 1) 1 ( (2) ) 1 1 2( (2n 1 1 2n 1) ) GTGT， 1 (2n 1 1 2n 1) 1 1 1 2 Q (2) 1 2(1 2n 1 (丄)n 2n 1 2 19.( 12 分)四棱柱 ABCD ABC D

29、 的底面是菱形，AA 平面 ABCD , AB 2 , BAD 点P是侧棱 CC 上的点AP PB . (I)证明：AP 平面PBD ； (H)若P是 CC 的中点，求四棱锥 P ADDA的体积. 【解答】 解：(I)证明： 连接 AC .由AA 平面 ABCD， 得AA BD . 又底面 ABCD 是菱形， 所以 BD AC . 而 AC , AA是平面 ACC A 内的相交直线， 所以BD 平面 ACC A 又AP 平面 ACC A，所以BD AP . 又 A P PB, BD| PB B，所以 AP 平面 PBD . (II )解：连接 AC 当P是 CC 中点时， 设 CC 2a,则

30、PC PC a .则有 A P2 AC 2 PC 2 12 a2, 2 2 2 2 2 2 2 2 PB PC CB a 4, AB A A AB 4a 4 又 APB 90 , 所以 AP2 PB2 AB2，即 12 a2 a2 4 4a2 4,a .6 . 故侧面 ADDA的面积为 S AD ggAA 2 2. 6 46 (。，1)， 第 18页(共 17页) 点P到平面ADDA的距离就是底面菱形的高 h，由题意知 h 3 所以四棱锥P ADDA的体积为： 1 1 _ _ _ V -Sh - 4.6 3 42 3 3(。，1)， 第 19页(共 17页) (II)当直线的斜率为 0 时,

31、BB1 診 3， 当直线的斜率不为 0 时，设直线 AB的方程为 x ny 1 . A(Xi， yj , Bg , y2). x 由 X2 ny 1 y3 消去x，化简整理得，(3n2 4)y2 1 6ny 9 0 , 2 144(n 1) 0 4 3 y1 y 6n 3n2 ,y y1 y y2 4 uuur 设 BF uni FA , 所以 所以 y1 y 6n 3n2 由消去 y1 ， 可得 当 n 0 时， 1 yi，即 y2 yi, _9_ 3n2 4 y2 )2 4n2 3n2 4， 1 1 20. (12 分)已知动点P到点 F(1,0)的距离与它到直线 I : x 4 的距离

32、d 的比值为 2 P形成的轨迹为曲线 C. (I)求曲线 C 的方程; ,设动(H)过点 F(1,0)的直线与曲线 C 交于A , B两点，过A点作 AA I，垂足为A ，过B点 作 BB I，垂足为 B1，求的取值范围. |BB | 【解答】解：(I)设 P(x,y)，由题意，得匹 d (x1厂丫2 |x 4| 2 2 整理化简得-工 4 3 y2 (i 4 (1 当 3n2 n 0 时， (1 )2 2 第 20页(共 17页) 所以o (1L 4，解得1 1 3 3 综上所述：1 1剟 3 , 3 所以空 J 2|AF | 1 |BBi | 2| BF | (I) f (x)存在唯一的极

33、值点； (n) f(x) o 有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数. 【解答】证明：(I )f(X)的定义域为(，)， 因为 f (x) ex ex(x 1) 1 xex 1 , 令 g(x) xex 1 1，则 g (x) (x 1)ex, 易得，当 x 1 时，g (x) 0 , g(x)单调递增，当 x 1 时，g (x) 0 , g(x)单调递减， 又 x 时，g(x) 0 , x 时，g(x) 0 且 g( 1) 0 , g (1) 0 , g(0) 0 . 故存在 x (0,1)使得 g(xj 0 , 当 0 x XD 时，g(x) 0 即 f (x) 0 ,当 x x0 时，g

34、(x) 0 ,即 f (x) 0 , 所以当 x ( ,xo)时，f (x) 0, f (x)是减函数；当 x (Xo , )时，f (x) 0 , f (x)是 增函数. 即 xo是 f (x)唯一的极值点，且是极小值点； 1 3 2 (II )f ( 2) 3e 1 1 0, f (0) 2 0, f(2) e 3 0, e 所以 f (x)仅有两个零点，分别记作 x1 , x2(x 0 x2). 由于 f (x) 0 .所以 f(xj (为 1)ex1 为 1 0 即 ex, 1 1_ _x x1 . x1 1 则 e 凶一 . f ( xj (为 1)e X1 * 1 (为 1)岸 1 1 x 1 0 1 x, 1 x1 即 X1也是 f (x)的零点，即 X1 X2 , 所以 X X2 0，即 f(x)的两根互为相反数. 请考生从第 22、23 题中任选-题作答如果多做，则按所做的第一题计分 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡