条件极值及拉格朗日乘数法

1、§4条件极值一、何啣条件根值在対论极值冋题时，往柱会遇到逹样一种情形,就是函数的自变量要受到某些条件的限 制。决定一给定点(心,九,乙0 )到一曲面G(x,y,z) = O的最短距离问题,就是fiftffi形。8 01 知 道 点 (x, > z) 到 点(不),儿，) 的 卽 离 为 F(x, y, z) = yj(x-x0)2 +(y-y0)1 +(z.-zo)1 . ffi 在的冋題是要求出曲而 G(x,y,z) = o 上的点(x, y,z)便F为最小.即何题IH化为求函数F(x,y,z)在条件G(x,y,z) = 0下的最小 值冋趣.Q如，在总和为C的几个正数册,兀2

2、,耳的数组中，求一数组，便因数值 f = X2 +X22 +Xn2为最小，这是在条件X+E+ £ =c (形>0)的限胃下,求 函数/的板小値问题。迪类间證叫做限籲极值冋題(条件枚值I北).« 1要设计一个容枳为V的长方W形开口水箱彌定长、宽和高，便水箱的表而枳最 小分别以x、y和z表示水箱的长、宽和高，该例可表述力：在约東条件xyz = V之下求函数S(x, y, z) = 2(xz + yz) + xy的最小值.条件板値冋题的一般形沆是在条件组(xx2, -,xn) = 0, k = 1,2,，加(m< n) 限制下,求目标函数> = /(“,

3、3;，,耳)的板值.对世种冋题的解法有：化为无条件板值.VH 1由桦=1/解岀 Z =,并代人因数S(x,y,z)中，得到 与F(x.y) = 2V(- + -) + xy然后按(化,化)=(0,0),求出梯定点x = y = 阪，并有 y x乙=丄阿，最后列定在此檜定点上取的晟小面枳S = 3#2然而，在一般情形下条件组中解岀加个变元并不总是可能的卞面介鉛的垃格朋日乗数 法就是一种不肓接依赖消元而求解条件檢值问題的有效方沫.二、条件根值的必更条件设在约東条件0（也刃=0之下求函数z=/d,y）的机值当满足约東条件的点（心,儿）是函数/（X,刃的条件根值点,目在垓点函数0（x,y）満足隐函数存

4、在条件时，由方f? （pa y） = 0决定鞠函数y = g（x）,于是目心就是一元函数z = /（X, g（x）的根限点，有牛=£+仏3 = 0代入gg = _警叫,就有 fx（“，儿）一A（“，儿）= °，狄（心儿）W fx<Py fy x=° '亦即（£ ' fy）（冷，一卩J = 0 .可见向量（人-人）与向量（久，-（px ）正交.注意到向量（0r , ?、）也与向量（沢，一仏）正交，即得向量（人，人）与向量（久，冷）找性相关，即存在实数几，使 （人，/、）+ 2（久，代）=0亦即<上+兄仇=0,fy+(Py =0三

5、、Lagrange * 9 法:由上述讨论可见，因数z= f（x.y）在约束条件0（九刃=0之下的条件柿值点应是方£（儿刃+如乂（匕刃=0,f?组i （俎刃+加y（X, y） = 0,的解.0（兀刃=0.引进所谓Lagrange函数L(x, y, 2) = /(x, y) + A(p(x. y),(祢貝中的实数2 为 Lagrange ) i±ii方桿组RP为方样组Lx(x, y.A) = O, 厶(忑”兄)= 0, LJx,>2) = 0.下面以三元因数，两个约東条件为例介Lagrange法的一般情况B2求函f = xyz在条件P + y2+z2=i,+ y + z

6、 = 0下的根值。解 令 L = xyz + A(x2 +y2 +Z2 -l) + /(x+y + z)Lx = yz + 2Ax + / = 0,Lv = xz + 22y + / = 0 fL: = xy + 2Az + / = 0,得 2Zv2 + /.ix = 22y2 + /)' = 2/U2 + /zz ,( 1 )Q x2+y2+Z2 =1, (2)x+y + Z = 0,( 3 )由(1)得 2A(x2 -y2) = /(y-x) , 2A(y2 - z2) = jl/(z-y),当 xHyHz 时得 2A(x + y) = -/,22(y + z) = “枚得 x =

7、 z,代人(2)(3)直得2F+)，2=i,l 2x + y = 0."（秸想）由册性得恥誓#为齡删定点人躺手拾) p”空游5t)也是競总囚、用Lagrange %数法解应用H3用拉格朗日乘数进虫新解决：求容枳为V的长方体形开口水箱的最小表面艮解迪时所求的何题的垃格朗日因数是L(x, y,乙兄)=2(xz + yz) + x>J + QCyyz-V)L< =2z + y + Ayz = 0,对厶求偏导瓠并令它们都等干0:L、=2z + x + /kz = 0,L: = 2(x + y) + Axy = 0,La = xyz, - V = 0求上述方讪解，"严2“

8、席一符依Sit,所求水箱的表面枳在所给条件下确实存在晟小值.由上可九当高为 为高的2倍时，表面Rg/J<最小值S = 3(2沪.fl 4 Aft物面疋+),2=7被平而x + y + z = i截成一个椭岡.求该椭岡列坐标原点的晟 长和最短距离.fl 5 求函 9i f(x.y.z) = xyz 在条件丄 + - + - = - (x>O,y >0,z >0,r >0). x y z r下的板小値；并证明不等式3(丄 +丄+ 丄< /abc a b c J其中abc为任意正常数解设川IS朋日因数力厶(兀,乙几)=xyz + A(I1)x y z r对厶求偏导

9、亂并令它都等干0,则有r2 c厶=yz r = 0，L、= xz = 0,:TLz = xy- = 0,r1111cLa = i1= 0' y z r由上述方杈组的前三it,易II - = - = - = = p . u而函数厶的稳定点为X y Z Ax = y = z = 3r,A = (3r)4.为7判斷/(3r3r,3r) = (3r)3是否力所求条件根(小)值，我们可把条件丄+丄+ 1 = 1看作隐因数z = z(x,y)(满足跑函数定理条件)，并把目标因数 x y Z r /(x,”z) = “yz(x,y) = F(x,y)看作f z =乙(x,y)的夏合函数.址样，就可应

10、用柿值充分条件来錶岀判趾力此itMftDT：J =4，FjW, + w+g严耳,yxFxy = z + yzy+xzx+xyzxyz2 z2 2,=z 1y x xy当 x = y = z = 3/时，FXX = 6r = F、.y, Fxy = 3r, FxxFyy - F： = 36r2 -9r2 = 27r2 >0.由此可见，所求得的稳定点为様小（6点，而目可以勁址是最小ffijg.逆样就有不等衣 xyz > 3 广'（兀 >0,y>0,z>0 且丄 + - + - = -）.x y z r令x = ayy=b,z=c, W r =（丄+ -J- + -）-1,代人上不等直有a b cabc > 3（丄+丄+丄尸3a b c或3（丄 +1 +1）-* <V （d>0“>0,c>0）abc用乘致法求解条件极值何题的一般步51如下：(1) 冋題意义确定目标因数与条件组.in(2) 作竝格朗日函数厶(“,心,£,人池“,九)=/ +工人洙，其中人的个敛即 为条件组的个数.(3) 求竝榕朗日因数的梯定点，即通过令竺=0,上土 = 0 ,oxi oAj(i = 1,2,“J