极化恒等式优化向量题解法上课讲义

1、极化恒等式优化向量题解法精品资料课题：极化恒等式在向量问题中的应用学习目标目标1通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；目标2-1 :通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值；目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围; 目标2-3:通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。重点掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题难点根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式目标达成途径学习自我评价目标1:阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒阅读以下材料:等于两条邻边平方和的 两倍证明：不妨设ABa, ADb,则AC*a b,

2、DB ab,22Tf 2T24aCACabai 2a22T2 - 2¥DBDBaba2a(1)（2）两式相加得：AC2引例：平行四边形是表 你能用向量方法证明：示向量加法和减法的几 何模型。 平行四边形的对角线的平方和结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 思考1:如果将上面（1）（ 2）两式相减，能得到什么结论呢?2 2a b = - a b a b极化恒等式4对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引 例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形1的“和对角线”与“差对角线”平方差的 1 .4T

3、 -122即：a b 4AC|DB| （平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何 表示呢？仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2精品资料因为AC 2AM，所以a bAM1 2-DB （三角形模式）仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7目标2-1 :掌握用极化匕恒等式求数量积的值例 1.(2012年浙AM 3, BC折江文15）在10，则 AB?ACBC 中P, M是BC的中点，.A因为M是BC的中点，由极化恒等式得:解:BMO 在 CD 上,2 3PA PB PD1|ab4所以当P在点C处时,PD因为P在圆O上，当P在CO的延长线与圆 O的交

4、点处时,| PD |max 3| PD |min 1AB AC |AM |2 -|BC| =9-二 100= -16【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到 三角形的中线，再写出极化恒等式。目标检测（2012北京文13改编）已知正方形ABCD的边长为1, 点E是AB边上的动点，则 DE DA的值为.目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围例2.（自编）已知正三角形 ABC内接于半径为2勺圆O,点P是圆O上的一个动点, 则pA pB的取值范围是.解：取AB的中点D，连结CD,因为三角形 ABC为 正三角形，所以 O为三角形ABC的重心，且 OC 2OD 2，所

5、以 CD 3, AB（也可用正弦定理求 AB） 又由极化恒等式得：所以 PA PB 2,6【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单 变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。目标检测2 2（2010福建文11）若点O和点F分别为椭圆:；1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为（）A.2B.3C.6D.8问题、疑惑、错解汇集能力提升目标2-3:会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题例3.（ 2013浙江理7）在 ABC中,Po是边AB上一定点，满足1P0BAB，且对于边 AB上任-4()A. ABC 90： B. BAC 90：C.

6、 AB AC D. AC BC目标检测（2008浙江理9）已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a c） （b c）0,则c的最大值是（）A.1B.2 C. 2 D. 22问题、疑惑汇集知识、方法总结本课的主要学习内容是什么？极化恒等式：平行四边形模型：三角形模型：极化恒等式在处理与 关问题时，显得较有优越性。直径,AB长为2,C是圆0上异于A, B的一点,P是圆0所在平面上任 PC的最小值为()A.D. 13.在ABC中j臂AP 2，贝U PB PCf24. 若点O和点F( 2,0)分别是双曲线-X2 y2 1(a 0)的中心和左焦点，点P为双曲线 右支上任意一点则oP f

7、P的取值范围是5. 在Rt ABC，AC BC 2，已知点P是 ABC内一点，贝U PC (PA PB)的最小 值是6. 已知A、B是单位圆上的两点， 点C在圆内，且满足0C1A.,127. 正ABC边长等于 3，3 33A.B.2 22O为圆心，且OA (1)OB(0B.1,1C.AOB 120o, MN是圆O的一条直径,1)，则 CM3,04CN的取值范围是()点P在其外接圆上运动，则 AP1 C. * 1,32 2 2D. 2PB12的取值范围是()8.在锐角 ABC中，已知B ，3C.，AB AC 2，贝卩 AB AC的取值范围是课后检测碉丁這正方砒朋UD的边悅为4.幼内尸在也/15为

8、直祥呦弧”翻 t (如圈所示).則 氏而的取值范圉是精品资料DR【吉新】取中联蛛ZTAFW冋*E幔化恫苇式捋fc pd=|e|1-|P -|Se|3 |ct|3-|:-4 由图可知J袍卜冷2廳故疋而亡卩応制3衣3匚中点E尸舟剂足经段的中点.十尸市直銭EFXBC的而鞭为2PC PBBC2的堆小值是(2012年江苏省甫京山赴学高号備扭國勵仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6冈为f的向枳【分析】汇魇.槪BC的申点D*育廿EC內牠用拥化扫竽式待 更网=1珂T西f =1帀弓西二从血民朋+詰=I 所以5亡的高人=帶* 乂药为S(?的中也疑.故山叱的高为善.从而PD工令 阖此B + BC2>

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