2018版高中数学苏教版选修1-1学案：3.1.1平均变化率

1、 3. 1.1 平均变化率 【学习目标】1通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率 （重点）2 了 解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义 （难点）3 了 解平均变化率的正负（易混点） IT问题导学 - 知识点一函数的平均变化率 在吹气球时，气球的半径 r（单位：dm）与气球空气容量（体积）V（单位：L）之间的函数关系是 r（V） =3囂 思考 1 当空气容量 V 从 0 增加到 1 L 时，气球的平均膨胀率是多少? 思考 2 当空气容量从 Vi增加到 V2时，气球的平均膨胀率是多少? 梳理 一般地，函数 y= f（x）在区间xi, X2上的平

2、均变化率为 _ ，其中 _ 是函数值的改变量. 知识点二平均变化率的意义 思考如何用数学反映曲线的“陡峭”程度?导数及其应用 3J导数的概念 梳理 平均变化率的几何意义：设 A(Xi, f(xi), B(X2, f(X2)是曲线 y= f(x)上任意不同的两点, 题型探究 类型一求函数的平均变化率 例 1 (1)已知函数 f(x) = 2x2 + 3x 5. 求：当 Xi = 4, X2= 5 时，函数增量 厨和平均变化率 求：当 xi = 4, X2= 4.1 时，函数增量 厨和平均变化率 岂 2 1 求函数 y = f(x)= x2在 x= 1,2,3 附近的平均变化率，取 Ax都为 3,

3、哪一点附近的平均变化率 最大？ 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1) 先计算函数值的改变量 Ay= f(x2) f(x1); (2) 再计算自变量的改变量 Ax= x2 X1； Ay f(X2 f(X1 ) (3) 得平均变化率-y= . AX X2 X1 跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x) = x2 + 2x 5 的图象上的一点 A( 1， 6)及邻近一点 B( 1 + Ax, 6 + Ay)，则-. Ax - 如图所示是函数 y= f(x)的图象，则函数 f(x)在区间1,1上的平均变化率为 _ ;函 函数 y= f(x)的平均变化率|y= _为割线 AB 的斜率. 数 f(x)

4、在区间0,2上的平均变化率为 _ . 类型二平均变化率的应用 例 2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s) 存在函数关系 h(t) = - 4.9t1 2+ 6.5t+ 10. (1)求运动员在第一个 0.5 s 内高度 h的平均变化率； 求高度 h在 1 w tw 2 这段时间内的平均变化率. 反思与感悟 结合物理知识可知，在第一个 0.5 s内高度 h的平均变化率为正值，表示此 时运动员在起跳后处于上升过程；在 1W tw2 这段时间内，高度 h的平均变化率为负值，表 示此时运动员已开始向水面下降.事实上平均变化率的值可正、可负也可以是 0

5、. (2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度 (重量)的 平均变化率等等解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量. 跟踪训练 2 2012 年冬至 2013 年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱， 根据某市农业部门 统计，该市小麦受旱面积如图所示，据图回答： 1 2012 年 11 月至 2012 年 12 月间，小麦受旱面积变化大吗？ 2 哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？ 从 2012 年 11 月至 2013 年 2 月间，与从 2013 年 1 月至 2013 年 2 月间，试比较哪个时间 段内，小麦受旱面积增幅较大？ 当室训练 1若函数 f(x)

6、 = x2的图象上存在点 P(1,1)及邻近的点 Q(1 + Ax,1+ Ay),则的值为 _ 2 圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时，圆的面积 S 的平均变化率为 4 .如图，函数 y= f(x)在X1, X2 , X2, X3, X3, X4这几个区间内，平均变化率最大的一个区 间是 _ 5.甲企业用 2 年时间获利 100 万元，乙企业投产 6 个月时间就获利 30 万元，如何比较和评 价甲、乙两企业的生产效益？ (设两企业投产前的投资成本都是 10 万元) 厂规律与育法 - 1 .准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量 Ay 与自变量 取值增量AX

7、的比值涉及具体问题，计算 Ay 很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括 号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法. 2 .函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用， 如平均速度、平均劳动生产率、 面积体积 变化率等解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意 是相对什么量变化的. 提醒：完成作业 第 3 章 3.1 3.1.1 问题导学 知识点一 思考 1 平均膨胀率为1 疋0.62 = 0.62 (dm/L). 1 - 0 1 思考 2 平均膨胀率为r V2 - rV1. V2 V1 梳理 fx2fx1 X2 x1 y= f(x2) f(x1) 知识点二 思

8、考 如图，表示 A、B 之间的曲线和 B、C 之间的曲线的陡峭程度， 可以近似地用直线的斜 率来量化. 如用比值yC 沧近似量化 B、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在 XB, xc上的平 xc xB 均变化率. 梳理 fX2 fX1 = fX1+ & fX1 X2 X1 Ax 题型探究 例 1 解因为 f(x) = 2x2 + 3x 5, 所以 Ay= f(x1 + Ax) f(x” 2 2 =2(x1 + Ax) + 3(X1 + Ax) 5 (2x1 + 3x1 5) 2 =2( Zx)2+ 2x1 Ax + 3 Ax =2( Ax)2+ (4x1 + 3) Ax. A

9、y 2 Ax 2+ 4x1 + 3 Ax Ax= Ax =2 Ax+ 4x1 + 3. 当 X1 = 4, X2= 5 时，Ax= 1 ,答案精析 2 y= 2( Ax) + (4xi + 3) Ax= 2+ 19= 21, 当 x1 = 4, x2= 4.1 时，Ax= 0.1, Ay= 2( Ax)2+ (4x1 + 3) Ax =0.02+ 1.9 = 1.92. Ay -=2 Ax+ 4x1 + 3= 19.2. Ax (2)在 x= 1 附近的平均变化率为 2 f(1+Ax 厂 f(1 ) (1 +Ax ) 1 k1 = AX = AX =2 + Ax; 在 x=2 附近的平均变化率为 2 2 f 2+ Ax f 2 2+ Ax 2 k2= Ax = A =4 + Ax; 在 x=3 附近的平均变化率为 f 3+ Ax f 3 3+ Ax 2 32 k3= Ax = A =6 + Ax. 、， V 1 7 当 Ax= 3 时，k1 = 2+ 3= 3, 1 13 1 19 k2= 4 + 3= , k3= 6+ 3=. 由于 k1k2k