一道课本例题解法的再探究.doc

1、精品文档你我共享适用于中学数学杂志初中版，投稿日期2007年4月2日一道课本例题证法的再探究河北省邯郸市复兴区赵王城学校刘振杰 佟林邮编 056017电话：E mail ：tonglintonglin题目 如图，过 ABC的顶点 C 任作一直线，与边 AB 及中线 AD分别相交于 F 和 E。求证： AE BF=2AF DE（西南师范大学出版社几何第二册 249 页例 3）AAFFEEGBDC BDC图 1图 2课本证法：如图，过D作 DGAB 交 CF于 G。AEAFDG / ABDEDGDGCDBFCBAD是中线CB2CDAE2AFDEBFAEBF2AFDE思路

2、分析：原证通过作辅助线，构造出相似的基本图形“ A”字型或“ X”字型，得到了成比例线段，再利用比例性质或等式性质而达到了解决问题的目的。那么是否还有其它的解法呢？探究一原证是以 AE、DE、AF为三边构造的“ X”字型而证明的，能否构造“ A”字型证明呢？于是得到另一证法。证法：如图, 作 DGCF 交 AB于 G，则AEAFAFDEGF1BF2 AEBF2AF DEAAGFFEEGBDCBDC图3图4仔细观察原图，循着上述思路我们又可以以 AE、 AF、BF 为三边构造相似的基本图形，而得到证法：如图，过 B 作 BGAD 交 CF延长线于 G,则AFAEAEBFBG2DE AE BF 2

3、AF DE证法 4：如图 5，过 B 作 BG CF交 AD延长线于 G,则AFAEGEBCBF，DE2GEDC AFAEBF2DE AE BF 2AF DE探究二 因为所证四条线段分别共线， 且两共线直线相交于点 A，所以可考虑过点 A 作平行线证之。证法：如图，过 A 作 AGBC交 CF延长线于 G，则AEAGAFAG，DEDCBFBCAAAAAA精品文档你我共享AGAAFAEAEBFGEAE2DEFEFEBDCBDCG图5图6又 BC2DC AE BF 2AF DE证法 8：如图 9，过 C 作 CGAD交 BA延长线于 G,则AEAFGCBCGCGF，2ADBDAE2 AF2AF2

4、AFADGFAB AFBF 2AF AE 2AF DE BF AE BF 2AF DE AE 2AF DE BF AE BF 2AF DE证法 6：如图 7，过 A作 AGCF 交 BC延长线于 G，则AFEGAEGCAFGCDE，BFBCDC又 BC 2DC AE2AFDEBF AEBF2 AFDEAFEBDCG图 7探究三前面我们以所证积式中的三条线段为基本线段构造出基本相似图形而证明，那么是否也能以两条线段为基本线段构造出基本相似图形而证明呢？1. 以 AE、 AF 为基本线段考虑证法：如图，过 C作 CGAB 交 AD延长线于 G，则AEAFAFGEGCABABDCFEBDCG图8图9

5、2. 以 AE、 DE为基本线段考虑证法 9：如图 10，过 E 作 EGAB 交 BC于G,则ABBD ，GEGCGCEGGDBFBC2BD ABGCBF2GD AFBGAEBF2GD2DE AEBF2AFDE证法 10：如图 11，过 E 作 EGBC 交 AB于G，则AEAGGEGEGFADABBD11BCBF22AAAAAA精品文档AAFFEGEB GDCBDC图 10图 11 AEAGGFAFADAB1AF1BFBF22 AEAF2AFDE1BFBF2 AEBF2AF DE3. 以 AF、 BF 为基本线段考虑证法 11：如图 12，过 F 作 FGBC交 AD于 G，则AFAGFG

6、FGGEABADBDCDDE AFAGGEAEAEABADDE2DE AF AE， BF 2DE AEBF2AFDEAAFGFEEBDC BG DC图 12图 13证法 12：如图 13，过 F 作 FGAD 交 BC于G，则 ADABFGBFGFGCBD GDABAFDEDCBDAB AD AB AFDEBF你我共享 AE 2AF DE BF AE BF 2AF DE探究四课本证法和证法都是由结论变为 AEAF，去探究1BF 的替代量 DGDE12BF2而得证的，证法和证法都是由结论变为AFAEBF, 去探究 2DE 的替代量 BG 而得2DE1 AEAF 和证的。而原结论还可变为2DEBF

7、AE2 AF ，那么又如何探寻1AE和2AFDEBF2的替代量呢？而得到1. 探究 1 AE 的替代量2证法 13：如图 14，取 AC的中点为 G，连结DG交 CF于 M，再取 CE的中点为 H，连结 GH，则GH AE，GH1 AE2GM AF ，GM1 AF2DM BF，DM1 BF21 AEGHGM1 AFAF 22DEEDDM1BFBF AEBF2AF DE2AAHFGFGE MEMHBDCBDC图 14图 15证法 14：如图15，分别取 AC、 AF、 BF 的中点为 G、 H、 M，连结 DM、HG，则 HG EF DMAAAAAA精品文档你我共享1 AEGE2HFAF 2DE

8、DE2MFBFAE BF2AF DE2. 探究 2 AF 的替代量证法 15：如图 16，延长 FA 至 G，使 GF=2AF，分别过 G、A 作 GHCF， AM CF，分别交 BC的延长线于、，则 GH AM CF,CH=2MC 2AF GF HC 2MC AE BF BF BC 2DC DE AE BF 2AF DEGAFEBDCMH图 16证法 16：如图 17，分别延长 CA、 CF至 G、H，使 GA=CA，HF=CF,连结 GH,则 GH2AF，GHAB,连结 BG交 CH于 M，则 GM=2AE， BM=2DE GH ABGHAMFEBDC图 17以上各种解法有简有繁，意在活跃思维，开拓思路，希望大家能够一起共同交流探究，促进中学数学的教与学。沁园春·雪北国风光， 千里冰GHGMBFBM封， 万里雪飘。 2 AF 2AE AE BF 2DE DE AE BF 2AF DE望长城内外， 惟余莽莽； 大河上下， 顿失滔滔。A