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1、样本平均数的方差的推导精品资料样本平均数的方差的推导:假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本Xi，|，Xn，则有E(Xi) X, ； x即每一个样本单位都是与总体同分布的。在此基础上,仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3证明样本平均数以总体平均数为期望值。nE(X) E(X1x2勺）1-E(Xi X2Xn)nE(xi) E(X2)|E(g1 n1(X X III X)n11接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。在此，需要注意方差的计算公式为:E(X E(X)2以下需要反复使用这一定义:X E(X E(x)2E(XiX2nXnX)21-E( nE n(XiX2(XiX)(X

2、i2X)E(XiX)2IIIXn)2nX)(X2(X2X) | (XnEg2X)X)2 2X)III (Xn2X)(XijX)(Xj X) E(Xn X)E(XX)(XjX)12n在证明中,一个关键的步骤是E(X X)(Xji jX) 0,其原因在于这一项事实上是Xi与Xj的协方差。由于任意两个样本都 是相互独立的，因此其协方差均为 0如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差小于0。此时样本均值的方差为X1 N nn N 1样本方差的期望:证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。n(Xi X)2先构造一个统计量为S ±J，我们来求它的期望。根据方差的简捷计算公式：E(S) -Ex2 nX2 1nn可得2E(Xi) nE(x )其中，同样运用简捷计算公式，可以得到:E(Xi2):(E(Xi)22X2 ；XX ；E(X2):(E(X)22X X2n原式化为1E(S) 1nn( X X2)2n( X X2)n2X(X X )( - X )nn 12Xn

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