正弦定理和余弦定理基础习题大全

1、基本运算类1、ABC 中,A =45；, B =60a =10,则 b 等于2、在厶ABC中，已知a =8 , B= 600, C= 750，则b等于3、 已知 ABC 中，a、b、c分别是角 A、B、C 的对边，a =、2bi3, B=60 ，则 A =4、 在SBC中，a、b、c分别是三内角 A B C的对边，A =75 ,C =45 ,b= 2,则此三角形的最小边长为 5、在 ABC中，B= 30，C= 45 ，c=1，则最短边长为 6、在 ABC中，若边a = 4-、2,c = 4，且角A ，则角c=；47、在 ABC中，已知a =8，B =60，C = 75，则b的值为& 在

2、 ABC 中，a =15， b=10，A=60，则 cosB 二9、在 ABC 中，已知 b -2,c = 1, B = 45°，则 C =.10、 在 ABC 中，一 A， BC = 3， AB = . 6，则一 C =3 11、 在厶ABC 中，A =450,B =3O0,b =2，则 a边的值为 .112、 在ABC 中,若a =3,cosA，则 ABC的外接圆的半径为213、ABC中，A =30【a =8,b =8-、3,则此三角形的面积为 14、已知锐角 ABC的面积为3-. 3，BC =4，CA=3，则角C大小为415、 已知 ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b

3、,c，且a = 2, b = 3,cosB ，则sin A的值为516、 ABC 中，若 AB =5，AC=3, BC=7，贝U A 的大小为17、在 ABC 中，若 b=1，c%3，C =，则 a =322、 在 ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a2 = b2 c2 bc，则A等于23、在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A= , a - 3 , b = 1，则c-324、在厶 ABC 中，若 c = ,2, b 二、6, B =120，则 a等于25、在 ABC 中，a =2,A =30 , C =120，则 ABC 的面积为 26、在 ABC 中，B =

4、30 , AB =2.3, AC =2,那么.ABC 的面积是 27、 在二 ABC 中，AB = 5, BC = 7, AC = 8，则二 ABC 的面积是；28、匚ABC 中，A = 120* ,b = 2,S ABC =2.3，则 a 等于。29、在厶ABC中，已知a =4,b =6,C =120°，则sinA的值是2 ,2 2a +b -c30、已知三角形 ABC的面积S，则角C的大小为4 2 j31、在 ABC中，若.A ,AB=5,BC=7,则- ABC的面积 =;332、 .在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b， c，若b2 ca2 bc,且AC AB=4，则

5、 ABC的面积等于.网IT* 9|33、在ABC中，B=-中，且babc=473，则ABC的面积是334、在厶ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边 AC 上的高为 35、若 ABC的面积为 3，BC =2,C =60°，则边长AB的长度等于 边角互化基础训练ab36、在 ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则 ABC的形状一定是 cosB cos A37、/ABC 中，若 c =2acosB，则 AABC 的形状为38、 在 ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且a =、3bsi nA，则sin B = 39、 在 ABC中，a b c分别是三内

6、角 A B C的对边，且sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB，则角C等于40、°ABC 中，若 sin2 A sin2 B +sin2 C = sin Asin C 那么角 B =u I asin C41、 在ABC 中，A=120 °,AB=5，BC=7，贝U的值为.42、 在ABC中，a、b、c分别是三内角 A B C的对边，且sin2 A-sin2 C = (si nA-si nB)si nB，则角C等于_43、 在厶ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若：.：.j3b-c cosA = acosC，则 cosA =44、ABC

7、的三个内角A, B , C所对的边分别为a, b , c, asinAsin Bbcos2A=.2a，则b =ac cosC45、 已知：在"ABC中，则此三角形为b cos B46、在厶ABC中，若.3a=2bsi nA，则B等于47、已知 A, B, C 是 MBC 的内角，并且有 si n2A+si n2B = si n2C+s in Asi nB，贝U C =48、 在ABC 中，如果 sinA=<3sinC , B = 30 , b = 2，则 ABC 的面积为.49、 在LABC中，a,b,c分别是 A,B,C所对的边，且2asin A = (2bc)sin B +

8、 (2cb)sinC，则角 A的大小为r50、 在ABC中，已知si nA : sinB : sin C=3 : 5 : 7,此三角形的最大内角的度数等于 .余弦定理应用51、 在=ABC中，/B，三边长a, b , c成等差数列，且 ac = 6，则b的值是3cos B-b.52、在 ABC中，若(1)求角B的大小(2 )若b= . 13，a 4，求 ABC的面积cosC 2 a + c3 T T53、 在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，cosB=，且 AB BC = 21 .5(I)求AABC的面积；14( II)若a=7，求角C。45度AJi54、在厶ABC中，内角

9、A, B, C对边的边长分别是 a，b, c，已知c=2，C =-.3(I)若厶ABC的面积等于.3，求a, b ； (II)若sin B=2sin A，求 ABC的面积55、已知 ABC的面积是30，内角A、B、C所对边分别为a、b、c ,12cos A，若 c - b = 1,则a的值是1356、已知：在 ABC 中，A =120 ,a =7,b c=8.(1)求 b,c 的值；(2 )求 sin B 的值.57、在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a =2, c=3, cosB=-4(I)求b的值；(II)求sinC的值.58、已知 ABC的周长为 4(. 21)，且

10、 sinB sinC 二 2sin A.(1)求边长a的值；(2 )若Sabc =3si nA，求cosA的值.59、在ABC中，角A、B、C所对应的边为1(2)若 cosA,b =3c,求 sinC 的值.3a,b,c (1)若 sin(A 訴2cosA,求 A 的值;60、在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且 bcosC = 3acosB 一 ccosB.(1 )求cos B的值;(2 )若BA EC =2，且b= 2 2，求a和c的值.161、已知 ABC中，角A, B,C所对的边a,b,c，已知a = 2 , c = 3, cosB八4(1)求边b的值；求sinC

11、的值。62、在- ABC中，内角A , B, C的对边分别为b, c.已知 cosA-2cosC 丰cosB(I)求sinC的值;sin A(II)若cosB= , LI ABC的周长为5,求b的长.463、在 ABC中，内角A , B, C的对边分别为a, b , c.已知二cosBb(I)求SinC的值;sin A(II)若 cosB= ，b=2， ABC 的面积 So464、在.ABC 中，角 A,B,C 所对的边为 a, b,c，已知 a =2bsinA,c=*3b(1 )求B的值；(2 )若'ABC的面积为2、3，求a,b的值65、 已知ABC的三个内角 A、B、C的对边分别

12、为a,b,c，满足a，c=2b，且2cos2 B =8cosB -5 ,(1 )求角B的大小；(2 )若a =2，求ABC的面积。66、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知：as in A csi nC - . 2asi nC =bs inB。( i )B；(n )若 A=75,b = 2，求ABC 的面积解答基本运算类1、ABC 中，A =45；, B =60；,a =10,则 b等于D5-62、 在厶 ABC 中，已知 a = 8 , B= 600 , C= 750，则 b 等于A. 4. 63、已知 ABC 中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a 二. 2, b = .

13、 3, B = 60，则 A= B. 454、在ABC中，a、b、c分别是三内角 A B C的对边，A=75 ,C =45 ,b= 2,则此三角形的最小边长为2C.2、65、在 ABC中，B= 30，C= 45 ，c=1，则最短边长为(;答案：306、在-ABC中，若边a = 4、2,c = 4，且角A ，则角c=47、在=ABC 中，已知 a = 8, B = 60 , C =75，则 b 的值为（） C. 4、. 6在 ABC中，a =15, b =10, A =60，则 cosB 二()B.辽39、在 ABC 中，已知 b =W2,c =1, B =45°，则 C =.答案：3

14、0 °10、在 ABC 中，.乙 A , BC = 3, AB = 、6，则/ C =311、在厶ABC中，A =45°,B =30°,b =2，则a边的值为答案:12、13、ABC中，A = 30，a = 8,b = 83,则此三角形的面积为（32. 3 或 314、已知锐角 ABC的面积为3.3 , BC =4, CA = 3，则角C大小为(C) 60v15、已知 ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c ,且a =2, b=3,cosB则sin A的值为2答案：-516、 ABC 中，若 AB=5, AC=3, BC=7，贝U A 的大小为（B.12

15、0'17、在'ABC中，若心，c3，C，则.答案:2 2 218、在abc 中，若 ca bab，则/c=D. 12019、在 ABC 中，a2 -c2 b2 二 ab，则 C =()A. 6020、边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是（B.21、若ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 a2 =b2 c2 b,则角A的大小为（）22、在 - ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a2 二 b2 c2 bc,则A等于（) A.12023、ji在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A=, a3c =()B. 21在 ABC中，若a = 3,

16、 cos A，则 ABC的外接圆的半径为（224、25、在'ABC 中，a =2,A =30 , C -120，则 ABC 的面积为(C. 、 3在厶 ABC 中，若 c = .2, b =、6, B =120，则 a 等于26、27、在 ABC 中，AB =5,BC =7,AC =8，则 ABC 的面积是;答案:28、ABC 中，A =120：,b =2,S.abc =2.3，则 a 等于。答案：2、7在ABC 中，B =30 , AB =2 .3, AC =2,那么 ABC 的面积是 (29、在厶ABC中，已知a =4,b =6,C =120°，则sinA的值是A.凹19

17、30、已知三角形ABC的面积S =-4，则角C的大小为0B.4531、在AABC中，若.A ,AB =5,BC =7,则 ABC的面积332、.在 ABC 中，角 A , B,C所对的边分别是a，b， c，若b2c2 二 a2 be,且 AC AB = 4，则 ABC 的面积等于网答案:2、一333、在 MBC 中, B= 3 中,且BA BC =4 3，则ABC的面积是答案：634、在厶ABC中，AB=3 , BC= 13 , AC=4，则边 AC上的高为35、若ABC的面积为-3 , BC =2,C =60°，则边长AB的长度等于36、a在 ABC中，角A、B、C的对边分别为a、

18、b、c，若 -cosB cos AK，则ABC的形状一定是C 等腰三角形或直角三角形37、ABC中，若c =2acosB，则 ABC的形状为（）C.等腰三角形38、在ABC中,角A, B, C所对的边分别是a,b,c，且a = - 3bsin A ,则sin B =39、在ABC中,2 2a b c 分别是三内角 A B C 的对边，且 sin As in C = (si nA-si nB)si nB ,则角答案340、匚ABC 中，若 sin2 Asin2 B sin2 C 二 sin Asin C 那么角 B =341、在ABC 中,A=120，AB=5，BC=7，则如卫的值为sin C答

19、案:42、在 ABC 中,a、b、2 2c分别是三内角 A B C 的对边，且 sin A-sin C = (sinA-sinB)sinB ,则角JTC等于一343、在厶ABC中,角A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若. 3b -c cosA 二 acosC ,则 ccs A 二答案:44、ABC的三个内角AB，C所对的边分别为 a， b，c，asin Asin B + bcos2 A = J2a，则 a45、已知：在"ABC中,c cosCcos B，则此三角形为46、在厶ABC中，若 3a =2bsi nA，则B等于(C.等腰三角形) C. 60 或 1202 2 247

20、、已知 A,B,C 是 ABC的内角，并且有 sin2 A sin2B 二 sin2C，sin AsinB，则 C 二48、在.ABC 中，如果 si nA 二 3si nC , B = 30，b=2，则 ABC 的面积为.答案：.349、在NX a，b，c分别是ABQ斤对的边，且2asinA =(2b-c)sin B(2c")sin C，则角A的大小为350、在ABC中，已知si nA : sinB : sin C=3 : 5 : 7,此三角形的最大内角的度数等于 .120051、 在 ABC中，.B，三边长a, b , c成等差数列，且 ac = 6，则b的值是().6352、

21、在 ABC中，若空B (1)求角B的大小(2 )若b13 , a c = 4，求 ABC的面积cosC 2a+c化简得：ac2 -b2 二-a c 222cosB _ a c "-ac1 Bcos B 一2ac一 2ac 一 2120 ° ( 2 )2 2 2a c-b-b2ac2 . 2 2a b -c2a c2ab答案：解：(1)由余弦定理得b2= -acsi nB23cosB=，且 AB BC = 21 .52 2 2 |a c 2accos B /. 13 (a c) 2ac - 2ac ( ) ac = 3 S abc 253、在ABC中，a、b、c分别是角A、B

22、、C的对边,(I)求AABC的面积；14( II)若a=7，求角C。45度54、在厶ABC中，内角 A B, C对边的边长分别是 a, b, c，已知c = 2 , C二二.3(I)若厶ABC的面积等于 3，求a, b ； (II )若sin B=2s in A，求 ABC的面积a2 b2 -2abcos 4,2 门 ，3a +b ab = 4答案：解：(I)由题意，得由余弦定理得，22 =a2 (2a)2-2 a 2a =3a2， a= ，b=.233 即6分Fabsin巧，3 = 4,23因为(a b)2 3ab =(a b)2 -3 4 = (a b)2 12 =4,所以 a b 二 4

23、,la b = 4,由得 a=b=2.(n)由 sin B=2si nA 得，b=2a.ab =4, j 二absinC 二 覺竺丄2222332355、已知 ABC的面积是30,内角A、B、C所对边分别为a、b、c, cosA12，若 c-b=1，则a的值是.51356、已知：在 ABC 中，A =120 ,a = 7,b c = 8 .求 b,c 的值；（2）求 sin B 的值.答案：解：（1 ）根据题意*b2 +c2 _a2cos A'be = 15解得:b=3时，sin B-沁142bc（2）根据正弦定理'b=5cJ, sinBsin B5一314sin A57、在厶

24、ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，cosB求b的值；（II）求sinC的值.答案：解：（l）由余弦定理b2 = a2 c2-2accosB得 b2 =22 32 -2 2 3 1 =10. . b= - 10.4（II）方法一：由余弦定理得 cosCa2 b2 c24 10-9. 102ab2 2 . 10C是厶ABC的内角,.sin C = 1 - cos2C 二鼻68方法二：；cosBl 且 B 是 ABC 的内角，.si nB.1-cos2B4vT5-、b ccsin BX 43d6根据正弦定理得sin C4sinB si nCb1058、已知 ABC的周长为 4（、一21

25、），且 sinB sinC = 2sin A.（1）求边长a的值;（2 ）若 S.abc =3si nA，求 cos A 的值.答案：解（1 ）根据正弦定理,sin B+si nC=J2s in A 可化为 b + c = J2a.联立方程组a b c = 4（、2 T）又由（1）可知， b c = 4.2 ,由余弦定理得 cos AC a 二 c）2bc - a = 12bc2bc359、在MBC中，角A、B、C所对应的边为a,b, c （1 ）若sin（A 2cosA,求A的值；61（2 ）若 cos A,b =3c,求 si nC 的值3答案：（1）sin （A ：）= 2cos A,

26、sin A 二 3 cos A,cos A 0,ta nA二 3,0 : A ：二.A =i i12222（2）在三角形中,cos A ,b=3c,. a =b c -2bccos A = 8c ,a = 2 2c3由正弦定理得：2 2c = c ，而si nA二1-cos2A=2 2,. si nC1.（也可以先推出直角三角形）sin Asin C33221（也能根据余弦定理得到cosC,0 : C ：二=sinC）3360、在AABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,且 bcosC = 3acosB - ccosB.（1 ）求cosB的值； （2）若BA BC = 2，且b=

27、2.2，求a和c的值.答案：1（I）解：由正弦定理得 a=2RsinA,b=2Rsin B,c = 2RsinC，贝U2Rsin BcosC =6Rsin AcosB 2Rsin CcosB,故 sinBcosC = 3sin AcosB-sinCcosB,可得 sinBcosC sinCcosB = 3sin AcosB,即 sin（B C） =3sin AcosB,可得 si nA =3si n AcosB 又 sin A =0,1因此cosB.-7分31又 cosB,故 ac=6,3（Il）解：由 BA BC=2,可得acosB=2 ,由b2 = a2 c2 -2accosB,可得 a2

28、+c2 =12, 所以（a -c）2 二 0,即 a = c,所以a =c =6.14分161、已知 ABC中，角A, B,C所对的边a,b,c，已知a = 2 , c = 3, cosB八4(1)求边b的值；求sinC的值。,2 2 2 小b+accosC2ab10 4-9.10 8 -sin C3；6862、在 ABC中，内角A ,B, C的对边分别为a,b , c 已知 cosA-2cosC =空cosB(I)求sinC的值;sin A(II)答案:卄r1右 cosB=4bLI ABC的周长为5,求b的长.c“ 2c-a2k si nC-ksi nAk,则 - sin Cb(I)由正弦定

29、理，设sin A sin Bcos A -2cos C2sin C -sin A 卄所以.即(cos A- 2cosC)s in B = (2s in C - sin A)cos B ,cosBksin Bsin B2sin C -sin Asin B化简可得 sin(A B) =2sin( B C).又 A B C =理，所以 sinC =2sin A因此 sin C=2. sin A(II)由 竺9 =2得c=2a.由余弦定得及cosB1得sin A42 2 2b a c -2accosBda2寸所以b =2a.又a b 5,从而a = 1,因此b=2 。= 4a2.63、在 ABC 中,

30、内角cosA-2cosCC的对边分别为a, b , c.已知一2c-acosB(I)求sinC的值;sin A(II)答案:1cosB=4bb=2， ABC的面积So2 k,sin C2ca2ks in Cks in A 2sin Cs in A 十,、，cosA2cosC2si n Csi nA则，所以bksinBsin BcosBsin B(I)由正弦定理，设sin A sin Bksin Bsin BcosB答案：b2 = a2 c2 2accosB=4 9 2 2 3 =10b='、742即(cos A -2cosC)sin B =(2s in C -sin A)cos B，化

31、简可得 sin (A B) =2si n( B C).22. a ,1二 a c -2accosB及cosB ,b = 2,4解得a=1。因此c=2又A B C =二，所以sin C二2sin A因此却匹 二2. sin Ab2(ll )由目匹 =2得c = 2a.由余弦定理si nAZB A_2 , . 2 . 2. 1得4=a +4a -4a x-4又因为 cosB1,且 GB < .所以 si nB=.因此S=acs inB =丄1 2 -15=-144224464、在ABC中，角A, B,C所对的边为a, b,c，已知a = 2bsin代c = .3b(1 )求B的值；(2 )若厶ABC的面积为2 . 3，求a,b的值答案：解：(1)1 a=2bsi nA, sin A = 2si nBsinA= si nB 二一,2B = 30 或 150 , c > b，所以 B = 306 分(2)由 b2 二 a2 c2 -2accos30解得 2b2 -3ab