正态分布习题与详解非常有用-必考点

1、1.若 x N(0,1),求(I) P(-2.32< x<1.2) ; (2) P(x>2).解： P(-2.32< x<1.2)= ：(1.2)- ：(2.32)=：(.2)-1-门(2.32)=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2) P(x>2)=1- P(x<2)=1- ：(2)=l-0.9772=0.0228.2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在 N(1,4)下，求 F(3) 2 ,(2)在 N (卩，b)下，求 F( (1 (X,卩+ (T);31解：(1) F =*上()=(1 )= 0.84132M +<

2、T(2)F(o)=()=(1 )= 0.8413a卩一 4F( o) = ：:()=Q ( 1) =1 (1) = 1 0.8413 = 0.1587CTF( 1一 o, o) =F( i+ o) F( 1一 o) = 0.8413 0.1587 = 0.6826，求总体落入区，它是偶函数,3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为间(1.2 , 0.2)之间的概率 .(0.2) =0.5793,(1.2) =0.88481(X”2解：正态分布的概率密度函数是f(X) =, e 卒，x (亠，垃)v'2兀 CT1说明1= 0, f (x)的最大值为f (”)=，所以o

3、= 1，这个正态分布就是标准正态分 ；2 ；布+P(1.2 ：x ：0.2) =(0.2) -门(一1.2) =(0.2)-1 一门(1.2) =(0.2)：(.2)-1= 0.5793 0.8848 -1 = 0.46424.某县农民年平均收入服从J =500元，二=200元的正态分布* (1)求此县农民年平均收入在500 520元间人数的百分比；(2)如果要使此县农民年平均收入在(-a/ ' a )内的概率不少于 0.95，贝U a至少有多大？(0.1 ) =0.5398,(1.96 ) =0.975解：设表示此县农民年平均收入，则 N(500,2002)-P(500：520)=门

4、(520一50°)-门(500一50°)=门(0.1)-门(0)=0.53980.5 = 0.0398 ( 2 )200 200vaaaP(-a ：a) =G()-：()=2：()-1 _0.95 ,200 200 200a.：()_ 0.975 +200查表知： 旦 _1.96= a _392 .2001设随机变量(3,1),若厂加；呪=则P(2<X<4)=(A)( B)l PC. l-2pD.2 2【答 案】 C 因为 沢乞汽：.二二(,所 以 P(2<X<4)= 门；：丄；门；,选C.2. (2010新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.

5、9，现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A. 100B. 200C. 300D. 400答案B解析记不发芽的种子数为了，贝U旷B(1 000 , 0.1)，所以E( 3= 1 000 X(M100 ,而 X= 2 3 故 E(X)= E(2 3 = 2 曰 3 = 200,故选 B.3.设随机变量 3的分布列如下:B.A.9d69 C.3答案D解析由条件a, b, c成等差数列知，2b= a+ c,由分布列的性质知 a+ b + c= 1,11111(v2 1( r2 1( r2又 E( 3 = a + c= 3,解得 a =

6、6， b = 3, c = ?,：D( 3 = gX - 1 -§ + § 0-§ + ? 1 359.4. (2010上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为6，则口袋中白球的个数为 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 2答案A解析设白球x个，则黑球7-x个，取出的2个球中所含白球个数为E,则E取值0,1,2 ,C7x7 x 6 XP( E0) = C7 =42，x7 xP(E1)=旷x 7 - x2T-=1 x142.'0 x7-x 6-x4221x 42'x = 3.5.小明每次射击的

7、命中率都为p，他连续射击n次，各次是否命中相互独立，已知命中次数E的期望值为4,方差为2，则p( &1)=()25592477A.256 b.256 C.256 D.64答案C解析由条件知旷B(n, P),E E = 4,np = 4DE= 2np p = 2解之得，p =1, n= 8,P( O1) = 1 P = 0) P(E= 1)15 = 2472 = 256./(x+4)-/(x),且 /(O) = 0,即函数的周期是 4.所以 /(6)= /(2) = -/(0) = 0 ；所5已知三个正态分布密度函数的图象如图1X 卩枷X)2 nJ 2o2 (x R i = 1,2,3)

8、所示，则（）A.炸<1=1,01 = C2> 03B.炸>1 =1,01 = C2< 03C.(11 =1<1,01< 02= 03D.pi<1=1,01 = 02< 03答案D解析正态分布密度函数（j）2（X）和$3（X）的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均故有卩1<国数相同，故 遊=耳又$2（X）的对称轴的横坐标值比$1（X）的对称轴的横坐标值大, =3.又O越大，曲线越 矮胖” O越小，曲线越 瘦高”由图象可知，正态分布密度函数（j）1（X）和$2（X）的图象一样瘦高” $3（X）明显 矮胖”从而可知01 =o2<6命题;n

9、.w 的否定是：“”； 若V汀.；：-：'!、',则 U 的最大值为4; 定义在r上的奇函数-:满足r二 h则的值为0； 已知随机变量服从正态分布,则 进匚5 7厂冬-工:；其中真命题的序号是（请把所有真命题的序号都填上）.【答案】 命题的否定是：“”所以正确.若讥:二韧汀：，则滾;总二涼J:亠丈J ,即必二；-丄g > ；1 ；£； > :.所以打+ Br,即-：'1< 卜）,解得： "：'：,则.'：；.<的最小值为4；*所以错误.定义在 R上的奇函数满足$汶迁尸-：H ,则以正确.已知随机变量 服从正态分

10、布1；1.1.：.门. v： m ,则 巴:-?-匸丨所以 片：飞n所以正确,所以真命题的序号是.7、在区间 一 |上任取两数 m和n,则关于x的方程，；.：. - - ；!有两不相等实根的概 率为.【答案】一由题意知I - L ! ' 要使方程一 Ln-：!有两不相等4实根,则；4甘一討匸打，即，忆一?,：竽.2.：川心.作出对应的可行域,如图直线''!,：；：; 4 Y ,当川 1 时,所以盜£、. I I 1 I、,所以方程.1, n 汀有两不相等实根的概率为2 2 2尬_ C2x244片Ur1- -7J :51一2-°、-1&下列命题

11、：' ;(2)不等式"仆|左-己耸恒成立,则沁V ;随机变量X服从正态分布N(1,2),则 -二'二?已知a,bER2u + b,则？ +丄鼻8.其中正确命题的序号为 .a b【答案】(3)In”； =ln2,所以错误.(2)不等式|龙+ 1|+|兀_3|的最小值为4,所以要使不等式疋斗i <：?_阻于；成立，则,所以正确.(3)正确.(4)小TfllT1 人T1,所以错误，所以正ahahab b确的为3).2已知某篮球运动员2012年度参加了 40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员场中的得分如图所示,则该样本的方差为1i9II 2 3I 31A. 2

12、6B. 25C. 23()D. 18【答案】 D样本的平均数为23,所以样本方差为一 I . _ '、1_ -、''、 ：、一.一 一 |'，选D.3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在.t-.l-：-：内的频数为2*14 '、' S*112样本教据A.B.C.D.【答案】c 样本数据在:':之外的频率为 f 卩：；妙/ :.,所以样本数据在 卜；内的频率为 .：. J蛙.,所以样本数据在|：殳L :;的频数为 飞.凤m菱，选c .4. （ 2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为I的正方形 OABC中第乡姻图任取一点P则点P恰好取自阴影部分的概率为（）1111A. B.C.D.3456【答案】【答案】B根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P恰好取自阴影部分'o24 彳,的概率为一，选 B.5从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数，这个数可以构成等差数列的概率为 .【答案】